奧數(shù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因素講義及答案

1、數(shù)的整除（2）質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)教室姓名學(xué)號【知識要點】1、質(zhì)數(shù)與合數(shù)自然數(shù)按其因數(shù)的個數(shù)可以分成三類：（1）單位1：只含有1這一個因數(shù)的自然數(shù)。（2）質(zhì)數(shù)（也稱為素數(shù)）：只含有1與它本身這兩個因數(shù)的自然數(shù)。（質(zhì)數(shù)有無窮多個，不存在最大的質(zhì)數(shù)，但有最小的質(zhì)數(shù)2,而且2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)。）（3）合數(shù)：含有三個或三個以上因數(shù)的自然數(shù)。（4）分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。（5）因數(shù)個數(shù)定理：例如：1980=22 X 32X 5X 11所以：（T 表示因數(shù)個數(shù)） T （佃80） = （ 1+2）X（ 1+2）X（ 1+1 ）X（ 1+1） =36（6）因數(shù)和的

2、定理：例如：1980=22 X 32X 5X 11所以：S （佃80） = （ 2° + 21 + 22 ）X（ 30 + 31 + 32 ）x（ 5° + 51 ）x（ 11° +11）=7X 13 X 6 X 12=6552【典型例題】例1、兩個質(zhì)數(shù)的和是 49,這兩個質(zhì)數(shù)的積是多少？解：因為兩個質(zhì)數(shù)的和 49是奇數(shù)，所以必有一個質(zhì)數(shù)是偶數(shù)，另一個質(zhì)數(shù)是奇數(shù)，而偶數(shù)中只有2是質(zhì)數(shù)，于是另一個質(zhì)數(shù)是49 2=47，從而得到它們的積是 2 X 47=94。例2、有三張卡片，上面分別寫著 2、3、4三個數(shù)字，從中任意抽出一張、兩張、三張，按任意順序排列起來，可以得到

3、不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)，寫出其中的質(zhì)數(shù)。解：由于2+3+4=9是3的倍數(shù)，所以任意排出的三位數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。任意取兩張卡片排出的兩位數(shù)，末尾數(shù)字不能是2和4,只能排3.所以用2、3、4三個數(shù)字排出兩位質(zhì)數(shù)有23和43.取一張卡片排出的質(zhì)數(shù)有2和3所以最后排出的質(zhì)數(shù)有 2、3、23、43這四個。例3、360這個數(shù)的因數(shù)有多少個？這些因數(shù)的和是多少？解：360=2 X 2X 2X 3X 3X 5=23X 32 X 5,所以 360 有（3+1 ）X（ 2+1 ）X（ 1+1） =24 個因 數(shù)。因數(shù)的和是：(1+2+22+23)X( 1+3+32 )X( 1+5) =1170例 4、筐里共有

4、96 個蘋果，如果不一次全拿出，也不一個個地拿；要求每次拿出的個數(shù)同 樣多，拿完時，又正好不多不少，有多少種不同的拿法？解：每次拿的個數(shù)都是 96的因數(shù)(除96和1之外) ，這樣問題轉(zhuǎn)化為求 96的因數(shù)個數(shù)， 將96分解質(zhì)因數(shù)，得96=2 X 2 X 2X 2X 2X 3,除去96和1之外，96的因數(shù)有10個：2、3、4、 6、 8、 12、 16、 24、 32、 48.有 10 種不同拿法?！揪唷坷?、504乘一個自然數(shù)a,得到一個平方數(shù)，求 a的最小值和這個平方數(shù)。解：一個數(shù)的平方數(shù)所含不同的質(zhì)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)。504=23X 32X 7=22X 32X( 2X 7)，還少(2 X

5、7)，使得504X a是個平方數(shù)，所以所求的a的最小值是2X 7=14;這個平方數(shù)是504 X 14=7056 ?！靖傎惏唷坷?6、將下列八個數(shù)平均分成兩組,使這兩組數(shù)的乘積相等,可以怎樣分？說明理由。14, 33, 35, 30, 75, 39, 143, 169.解： 14=2X 7, 33=3X 11, 35=5X 7, 30=2X 3X 5, 75=3X 5X 5, 39=3X 13, 143=11X 13,169=13 X 13這八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后共有質(zhì)因數(shù) 18個(包括相同的)，其中：質(zhì)因數(shù) 2有兩 個,質(zhì)因數(shù) 3有4個,質(zhì)因數(shù) 5有4個,質(zhì)因數(shù) 7有 2個,質(zhì)因數(shù) 11有2個,質(zhì)

6、因數(shù) 13 有 4 個。相同的質(zhì)因數(shù)應(yīng)該平均分?jǐn)傇趦蓚€乘積里,因此可以分為：(1)(14, 75, 33, 169)和( 30, 35, 39, 143)或( 2)(14, 75, 39, 143)和( 30, 35, 33, 169) .【課后分層練習(xí)】A 組：入門級1、 有 7個不同的質(zhì)數(shù),它們的和是60,其中最小的質(zhì)數(shù)是多少？解： 6個奇質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù), 60減去偶數(shù)仍是偶數(shù), 所以剩下的一個質(zhì)數(shù)應(yīng)當(dāng)是唯一的 偶質(zhì)數(shù) 2,即這 7 個數(shù)中最小的是 2.2、 如果“O”是一個質(zhì)數(shù)，“”是一個合數(shù)，下列第(4 )項的值一定是一個質(zhì)數(shù)。(1)0 + (2 )0 口(3)OXD(4 )OX-3、

7、210的因數(shù)有幾個。這些因數(shù)的和是多少？解：210=2 X 3X 5X 7,根據(jù)因數(shù)個數(shù)和及因數(shù)和定理有：210的因數(shù)有(1 + 1) X (1 + 1)X( 1 + 1)X( 1 + 1) =16 個。這些因數(shù)的和是 1+2)X( 1+3)X( 1+5)X( 1+7) =576.2、用 105 個大小相同的正方形拼成一個長方形，有多少種不同的拼法？解：105=3X 5X 7; 105 共有（1 + 1）X（ 1 + 1 ）X（ 1+1） =8 個因數(shù)，所以共有不同8-2=4（種）拼法。3、 有三個學(xué)生，他們的年齡一個比一個大3 歲，他們?nèi)四挲g的乘積是 1620.這三個學(xué)生 的年齡分別是幾歲

8、。解：1620=2X 2X 3X 3X 3X 3X 5=9 X 12X 15他們的年齡分別是 9歲、12歲、15歲。B 組：進(jìn)階級1、2、 哥德巴赫猜想是說：每個大于 2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和，問： 168是哪兩個 兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)之和，并且其中一個的個位數(shù)字是 1？解：個位數(shù)字是 1 的兩位質(zhì)數(shù)有 11， 31， 41， 61， 71；其中 16811=157， 16831=137， 16841=127， 16861=107，都不是兩位數(shù)，只有16871=97是兩位數(shù)，而且是質(zhì)數(shù)，所以 168=71+97.2、 甲、乙二人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)， 規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數(shù)

9、的因 數(shù)。最后不能寫的人為失敗者。 如果甲第一個寫數(shù)， 試問誰一定獲勝？給出一種獲勝的方法。 解：甲必勝。甲先寫 6，這樣除去 6 的因數(shù) 1， 2， 3， 6，乙只能寫 4， 5， 7， 8， 9， 10中的 一個數(shù)，甲心中把（ 4， 5），（7， 9），（8， 10）分組，乙寫任何一組中的某個數(shù)，甲寫這一 組中的另一個數(shù)，則甲總可獲勝。3. 將 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 這九個數(shù)分成三組，第一組數(shù)的連乘積與第三組數(shù)的連乘 積相等，第二組各數(shù)的和是 15，問每組的數(shù)各是多少？解： 2， 4=2X2， 6=2X3， 8=2 X 2 X 2 ，由于兩組的積相等，顯然是

10、4和 6在一組， 1、 2、 5、 7只出現(xiàn)一次，其和正好為 15.這樣 3， 4， 6， 8， 9分成兩組，即為 3， 4， 6和 8， 9.因此三 組數(shù)是：（3， 4， 6）；（1， 2， 5， 7）；（8， 9）。4、1X 2X 3X-X 40 能否被 90909 整除?解：首先將 90909分解質(zhì)因數(shù)，得 90909=3 3X 7X 13X 37。因為33 (=27), 7, 13 , 37都在140中，所以1X 2X 3XX能被90909整除。C 組：挑戰(zhàn)級1、 學(xué)區(qū)舉行團(tuán)體操表演，有 1430名學(xué)生參加，分成人數(shù)相等的若干隊，要求每隊人數(shù)在100 至 200 之間，共有幾種分法？解

11、：按題意，每隊人數(shù)X隊數(shù) =1430,每隊人數(shù)在100至200之間，所以問題相當(dāng)于求 1430 有多少個在100至200之間的因數(shù)。為此，先把1430分解質(zhì)因數(shù)，得1430 = 2X 5X 11X 13。 從這四個質(zhì)數(shù)中選若干個, 使其乘積在 100到200之間, 這是每隊人數(shù), 其余的質(zhì)因數(shù)之積 便是隊數(shù)。 2X5X11=110, 13；2X5X13=130, 11；11X13=143, 2X5=10。所以共有三種分法,即分成 13隊,每隊 110人；分成 11隊,每隊 130人；分成 10隊,每 隊 143 人。2、3、試求不大于 50 的所有因數(shù)個數(shù)為 6 的自然數(shù)。解 ：因為這個數(shù)有六個因數(shù), 6=5+1=(2+1)X( 1+1),所以,當(dāng)這個數(shù)只有一 個質(zhì)因數(shù)a時，這個數(shù)是a5；當(dāng)這個數(shù)有兩個質(zhì)因數(shù)a和b時，這個數(shù)是a2x b。 因為這個數(shù)不大于50,所以對于a5,只有a=2,即25=32;對于a2X b,經(jīng)試算 得到， 22X3=12， 22X5=20， 22X7=28， 22X11=44， 32X 2=18， 32X5=45， 52X2=50。 所以滿足題意的數(shù)有八個： 32, 12, 20, 28, 44, 18, 45, 50