矢量匹配改進

1、矢量匹配改進摘要：本文介紹了矢量匹配過程的修改，它是為了有理函數(shù)頻域響應(yīng)的逼近。修改大大提高了矢量匹配的能力來移居磁極到更好的位置，從而改進其收斂性能和降低最初極集規(guī)范的重要性。這是在更寬松的條件下，通過更換矢量匹配縮放功能的高頻漸近要求來實現(xiàn)的。當被污染的噪聲匹配響應(yīng)時，計算結(jié)果表現(xiàn)出一個很大的性能改進。該過程也證明傳輸線路、網(wǎng)絡(luò)當量和變壓器的寬帶建模是有優(yōu)勢的。關(guān)鍵詞：宏模型，合理近似值，系統(tǒng)識別，矢量匹配（VF）。一引言矢量匹配1, 2已成為一種在頻率領(lǐng)域進行線性系統(tǒng)識別的流行工具。應(yīng)用程序通常成為設(shè)備和子系統(tǒng)的造型，已達到在電力系統(tǒng)中瞬態(tài)分析3 - 5和微波系統(tǒng)信號完整性表征的目的6，

2、7。VF也被用于以下領(lǐng)域的屏蔽分析中：電磁兼容性（EMC）研究8、格林函數(shù)表示9和最優(yōu)樣本計算10。VF本質(zhì)上是SanathananKoerner循環(huán) 11的一個強大的再形成，它運用有理基函數(shù)（局部的組分）代替多項式和極搬遷，而不是權(quán)重12。此外，VF給出了具有保證穩(wěn)定磁極的嵌合，可直接應(yīng)用于多端系統(tǒng)，并且計算機代碼是免費獲得的13。利用時域響應(yīng)14和頻率導(dǎo)數(shù)15的VF新規(guī)劃已經(jīng)得到發(fā)展。VF是基于遷移初期磁極到更好位置的迭代。當使用正確的順序擬合一個有理函數(shù)的頻域響應(yīng)時，磁極通?？梢员痪徛仓玫浇咏鼨C器精度的其最終位置上。然而，在實際應(yīng)用中，它將用較低階函數(shù)來改進響應(yīng)，進而證明一些迭代是需要

3、的。當頻率響應(yīng)包含一個非理性元件（例如，噪聲）時，這種情況可能會惡化，并且在某些情況下，VF的收斂甚至引起熄火。本文表明收斂性質(zhì)可以通過VF的一個小變形得到大大改善。VF的公式化包括一個定標函數(shù)，其在高頻率下接近統(tǒng)一。它表示這個高頻漸近條件在匯聚處有一個非常不良的影響。這個問題通過更換一個更寬松的漸近條件來解決，它僅用來為最小二乘（LS）的問題提供一個不普通的答案。計算結(jié)果表明：該修改在匯聚屬性上提供一個重大的改進。二矢量匹配 我們首先回顧VF的原始提法。我們的目標是近似的頻率響應(yīng)（一般地，是向量；因此，指定VF），配有一個有理函數(shù)，并且條件d和e是可選的。如在1、2所解釋的，在VF首次通過解

4、決在最小平方里發(fā)現(xiàn)的磁極，線性問題當是一個純量，通常是一個矢量，是一組初始極點。（所有在（3）和（4）中的極點和余數(shù)是真實的，或者當d和e是真的時變成復(fù)雜的雙復(fù)共軛）。然后，它可以示出1的極點必須等于零，其中可以計算為特征值的矩陣16，p. 612。在（5）中，A是一個保持初始極點的對角矩陣，b是一個列向量，并且是一個保持余數(shù)的行向量。這個過程可以以迭代的方式、用新的極點替換之前的兩極，應(yīng)用在（2）-（5）的反復(fù)求解上。這極搬遷過程通常在2-3迭代上收斂。極點已經(jīng)確定后，（1）的殘基通過求解對應(yīng)LS極問題為最終計算。圖1.f(s)無噪音的有理逼近三收斂性問題VF極點識別的理由是該解決方案（2）

5、將產(chǎn)生的點作為零極點。如圖1中提到的，當是理性和初始的極數(shù)等于數(shù)的磁極時，這將確實成為現(xiàn)實。然而，當含有非理性的貢獻（例如，噪聲），或者初始極數(shù)低于的順序，它也不可能完全滿足（2）。在這種情況下，（2）的解決方案是一個簡單的具有最小LS的錯誤。因為被乘以并且（2）的右側(cè)是一個未知（有理）函數(shù)，有一個激勵以產(chǎn)生一個其小的幅度，因為這允許減少（2）的左、右面的幅度。與此同時，重定位長距離極點可能要求用一個大的變化幅度。因為由（3）被強迫在高頻率接近統(tǒng)一，的一個大的動態(tài)變化通常導(dǎo)致在某些頻率間隔的大的幅度和一個LS錯誤的增加。我們將以一個簡單的例子證明此問題?？紤]一階有理函數(shù)的嵌合使用初始磁極10H

6、z；。圖1表示通過（2）得到的和。正如所預(yù)期的，在100Hz時（它被作為極點）。（2）擬合誤差接近機器精度應(yīng)當指出，有一個非常大的動態(tài)變異，在低頻逼近10000。圖2表示加入1的隨機噪聲后的相同結(jié)果。新的極點，現(xiàn)在出現(xiàn)在109.6赫茲，而不是在100千赫茲，并且的動態(tài)變化在大大減少，在這種情況下，這是不可能由于噪聲得到零擬合誤差（2）的。如果在圖1中極點已經(jīng)搬遷到正確的位置（100 kHz），的幅度將在低頻時已接近10000，相比于圖2中較小的，將導(dǎo)致（2）中倍率的偏差。增加噪音水平進一步降低了的動態(tài)變化和極點遷移能力。圖2.f(s)的有理逼近 1的噪音 初始的VF在另一方面，如果我們看一下例

7、子，其中有一極點在10赫茲，我們使用的初始極點在100千赫茲，那么在在低頻變（和在高頻率接近統(tǒng)一）時變得非常小的無聲。在嘈雜的情況下，極點在一個重復(fù)中遷移到似近正確的值，因為的動態(tài)變化導(dǎo)致擬合誤差（2）的減少。由此可以得出結(jié)論，在高頻時近似統(tǒng)一該漸近要求，即接近統(tǒng)一，代表LS的問題（2）的不對稱性，從而可以顯著破壞極點遷移過程。四改進VFVF配方（MVF）的修改顯示在以下通過除去LS問題的漸近要求（2）時，給出改進的銜接。這是通過下式替換（3）實現(xiàn)的是已知值。為了避免多解或無解，我們向所得的LS問題添加一個方程公式（8）強制執(zhí)行實部的總和，在其給定的頻率下采樣非零值，沒有任何固定的自由變量。作

8、為MVF收斂，將在所有頻率下近似統(tǒng)一（），類似于初始VF的公式化。注意，在運用式（8）不同右側(cè)時，該過程將起作用，所得的比例將導(dǎo)致式（2）中的相同的比例。由此，它遵循的標準（8）和防止變?yōu)榱惚绕饋?，在LS問題上不強加任何約束。圖3.f(s)的有理逼近 1的噪音 改進的VF等式（8）應(yīng)當相對于的尺寸在LS的問題上被加權(quán)，例如W是指定的權(quán)重的嵌合。因為在迭代中在高頻下不近似統(tǒng)一，（5）必須替換為16, p. 612（10）式的零點計算只適用于非零數(shù)。如果的絕對值被發(fā)現(xiàn)為小于時，解決方案被舍棄并且LS問題用固定值在（7）中再次求解：。我們現(xiàn)在在圖2（圖3）中相同的問題找到新的公式化?？梢钥闯?，所述動

9、態(tài)變化在中大得多，并且接近一個值，該值在高頻時比個體小得多。極點是從10 Hz一步步遷移到70.9kHz的（目標：100kHz），相比于僅109.6Hz的原始VF（圖2）。五實例：頻率依賴網(wǎng)絡(luò)當量（FDNE）A. 例子MVF公式化的優(yōu)點將通過從FDNE識別（圖4）的一個例子展示。的導(dǎo)納矩陣Y計算相對于50 Hz至1 MHz的饋電母線并且我們將改進一個對角元素。原始極點VF將被選擇為復(fù)共軛對線性分布在整個頻率范圍內(nèi)（即50Hz到1 MHz）。為了更好地測試極點遷移性質(zhì)，我們將代替分發(fā)初始磁極（復(fù)雜對）中較低的范圍，50Hz到500kHz之間。這需要VF遷移極點很長距離。B.改進響應(yīng)圖5表示當采用

10、N=50極和15次迭代時所得到的嵌合初始VF?？梢钥闯?，約950kHz的兩個共振峰沒有被捕獲，圖6表示通過使用改性的VF，所有主要的共振峰被嵌合。圖4.三相配電系統(tǒng)（所有的長度以千米為單位）圖5.有理逼近 N =50 原VF（15次迭代）圖6.有理逼近 N =50 修改的VF（15次迭代）圖7表示當采用的VF和MVF時，根均方（rms）誤差作為迭代次數(shù)的函數(shù)?？梢钥闯?，N=50極時，MVF對最終的結(jié)果給出了一個快得多的收斂和更高的精度。當N=100，其改進是小的。在后一種情況下，擬合誤差是小的，因此磁極可以在每次迭代中較長的步驟被重定位。C.噪聲的影響 我們現(xiàn)在在0.10之間增加實值隨機噪聲的

11、響應(yīng)后重復(fù)改進，圖8表示了均方根誤差的迭代次數(shù)的函數(shù)，類似于圖7?？梢钥闯觯c初始VF公式化相比，迭代幾乎根本不降低擬合誤差，甚至高達100。由 MVF，均方根誤差迭代到一個水平，接近有效值減小噪聲本身（0.0058）。MVF的逼近與圖9中（N=50）的初始響應(yīng)相比較。 比較也取得了當初始極點放置在高頻率、復(fù)共軛雙500 kHz和1 MHz之間的線性分布。再次，VF停滯而MVF給了一個收斂甚至比圖8快。圖7.RMS誤差作為迭代次數(shù)的函數(shù)圖8.RMS誤差作為迭代次數(shù)的函數(shù)圖9.通過MVF有理逼近（N=50，30次迭代）圖10.架空線圖11.對h(s)有理逼近：VF和MVF引起偏差（5次迭代，N

12、=7）六實例：傳輸線建模在這個例子中，我們考慮一個25公里單個導(dǎo)體架空線以上有損地面的傳播函數(shù)的擬合（圖10）。對于圖1中的配置，如圖10所示，串聯(lián)阻抗計算，并考慮到在導(dǎo)體和地，并且該并聯(lián)導(dǎo)納的趨膚效應(yīng)y=sC。傳播函數(shù)而獲得 最后，該無損時間延遲，從除去乘以（11）的所述因子其中l(wèi)是線的長度，c是光的速度。 一個理性的近似計算采用七階近似頻率范圍為1Hz-1MHz的擬合h。初始磁極分別作為實部和對數(shù)間隔在嵌合范圍內(nèi)，這是用于傳輸線建?！巴扑]”的選擇。參數(shù)d和e在（1）中被指定為零。圖11表示幅值函數(shù)h(s)與復(fù)雜偏離有理近似的大小，分別在VF和MVF的5次迭代后?？梢钥闯?，MVF給出顯著較小

13、偏差（注意對數(shù)縱坐標軸）。 圖12表示均方根誤差的迭代次數(shù)的函數(shù)。從中可以看出，MVF給出了一個快的多的收斂，盡管最終的結(jié)果（10次迭代）是，在這種情況下，非常相似。一個小的增加擬合誤差迭代4次后觀察MVF。圖12.RMS誤差作為迭代次數(shù)的函數(shù)圖13.VF的改進（N=40，15次迭代） 七實例：變壓器建模 在本例中，我們考慮從測量終端響應(yīng)的雙繞組變壓器建模。的導(dǎo)納矩陣Y是從50Hz到1 MHz4。狀態(tài)空間模型進行擬合Y建立其列16。 當測量低頻率時，難以以指定要使用的VF為初始極點。在低頻率的平滑行為提出使用對數(shù)間隔極點，而在高頻率下的諧振行為提出使用線性隔開極。在實踐中，人們可以擺脫這一困難

14、通過使用對數(shù)和線性隔開的極的組合，但是，這是復(fù)雜的。幸運的是，隨著MVF，所選擇的初始極點的意義大大降低。圖13表示使用作為初始極點Y的20復(fù)雜對，那些50Hz和1MHz之間對數(shù)間隔時經(jīng)過15次迭代由VF獲得的第一列的接頭。（逆LS加權(quán)由4，eq（18），使用以改善其中元件是小的精確度）。然而，仔細看看圖13揭示了接頭的質(zhì)量是顯著較差在高頻率（>100 kHz）的比在低頻，這是在低頻的高濃度初始磁極的結(jié)果。使用MVF時重復(fù)計算。圖14中的放大圖，通過這兩種方法在高頻率的結(jié)果之間直接比較。可以清楚地看出，相對于VF，MVF給出更精確的結(jié)果，這是更好的不確定MVF的性質(zhì)的直接結(jié)果的極點。在較

15、低頻率時兩種方法準確性相似。圖14.擴展視圖：高頻率時的VF和MVF 八討論VF原來的公式化涉及功能，以接近團結(jié)在無限頻率縮放功能。第三節(jié)結(jié)果顯示：這一漸近要求降低遷移初期極點到更好的位置的能力，因為漸近要求結(jié)合所要求的大動態(tài)變化可導(dǎo)致（2）中LS擬合誤差的增加。通過較寬松的準則（第四部分）替換漸近要求時，需要在頻率樣本是非零的實部的總和，這種情況被大大改善。這種新的標準可以在避免細小（空）溶液自由地變化。在VF與MVF的收斂性的進一步討論可以在17中找到。結(jié)果表明：當偏置到搬遷兩極向低頻率時，VF發(fā)生降尺度現(xiàn)象尤其在改進嘈雜的響應(yīng)和使用太低的條件時更是如此。在一般情況下，其結(jié)果是，VF將產(chǎn)生

16、一個比MVF不太精確的最終結(jié)果。MVF的公式化給出了（2）的最小二乘方程的一個附加行和一個附加列的解法，但在另外的計算時是可以忽略不計的。在第五節(jié)改進的VF（MVF）應(yīng)用在一個放置在較低頻帶中并添加的噪聲的初始極點的例子。在這種情況下，VF的收斂很差而MVF的性能仍然可以接受。有人可能會說，這是一個人為的例子，但它很好地展示了與VF融合的問題，并展現(xiàn)了MVF取得的進步。在第六節(jié)中，MVF是通過某一特征方法適用于傳輸線模型，其中的任務(wù)之一是模擬傳播功能。這里，當使用“推薦”的選擇初始極點時，MVF展現(xiàn)出的收斂比VF快得多。有人可能會認為這樣的結(jié)果是微不足道的，因為標量函數(shù)的低階擬合，在任何情況下

17、都很快。然而，某些傳輸線模型依賴于式（11）的補償來優(yōu)化時間延遲。這是在EMTDC和EMTP-RV相域下提供輸電線路/電纜型號的例子，也見18。這樣的程序?qū)е麓罅康母倪M過程，從而使MVF優(yōu)勢更快的收斂。在第七節(jié)，VF應(yīng)用于縱列擬合測量變壓器的響應(yīng)（參數(shù)）。在這種情況下，很難在高頻率下、即使經(jīng)過15次迭代還指定一組良好的初始極點和VF的緩慢收斂速度被得到稍微不準確的結(jié)果。一個顯著的更好的結(jié)果是由MVF實現(xiàn)的。值得注意的是，變壓器模擬的行為可以對模型參數(shù)4的小擾動非常敏感，從而使準確的改進非常重要。最后，它表示提高VF收斂的另一種方法，它是在19引入的一個“艱難的遷移”過程。九結(jié)論 本文提出了VF

18、的變形通過用溫和的求和要求更換的縮放功能的高頻漸近約束。這種替換大大提高VF遷移極點到更好位置的能力，從而減少初始極點選擇的重要性。當高度精確的近似值是不可能時，這種改進是尤其重要的。舉例來說，改進響應(yīng)是噪聲污染。當施加到傳輸線模型和寬帶變壓器的建模時，計算結(jié)果還表明改性VF的顯著優(yōu)點。修改的VF算法是直接的，并且不增加計算成本。13中的MATLAB可以實現(xiàn)。參考文獻1 B. Gustavsen and A. Semlyen, “Rational approximation of frequency domain responses by vector fitting,” IEEE Trans

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