高中數(shù)學第三冊(選修Ⅱ)第3章導數(shù)(第17課時)小結(jié)與復習(一)

1、精品資源課題：小結(jié)與復習(一)教學目的：提高學生綜合、靈活運用導數(shù)的知識解決有關(guān)函數(shù)問題的能力 授課類型：復習課.課時安排：1課時.教 具：多媒體、實物投影儀 .教學過程：一、知識點匯總：1 .知識網(wǎng)絡2 .方法總結(jié)(1)導數(shù)的概念是本章學習的關(guān)鍵，它不但提供了一般的求導方法，并且常 見函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)法則，復合函數(shù)的求導法則等都 是由定義得出的；(2)導數(shù)的概念實質(zhì)是函數(shù)值相對于自變量的變化率，是變量的變化速度在數(shù)學上的一種抽象；(3)在導數(shù)的定義中“比值qy叫做函數(shù)y=f(x)在X0至Ijx0+Ax之間的平 x均變化率”；(4)復合函數(shù)的求導，應分析復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引

2、入中間變量，將復合函數(shù) 分解為基本初等函數(shù)或較簡單寒暑，然后用復合函數(shù)求導法則求導；(5)用導數(shù)方法判別或證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，相對與定義法解決單調(diào)性問題是十分簡捷的；(6)函數(shù)極值的確定，實際是建立在對函數(shù)單調(diào)性的認識基礎(chǔ)上的；(7)在實際問題中，若函數(shù)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較；(8)理解和掌握導數(shù)及其有關(guān)概念是本章學習的基礎(chǔ)；會對簡單的初等函數(shù)進行求導是本章的重點；會求一些實際問題的最大值與最小值是培養(yǎng)能力的關(guān) 鍵.3.概念與公式(1)導數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x = x0處附近有定義，如果 &XT 0時

3、,均與Ax的比2y-(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即9y無限趨近于某個常數(shù)，xx我們把這個極限值叫做函數(shù)y= f (x)在xt x0處的導數(shù)，記作y/ X30，即/f(xo：x) - f (xo)f (x0) = lxm0,x(2)導數(shù)的幾何意義：是曲線y= f(x)上點(x0, f (x0)處的切線的斜率.因此，如果y = f(x)在點xO可導，則曲線y=f(x)在點(x°, f (x°)處的切線方程為 y - f (x°) = f/(x0)(x-x0).(3)導函數(shù)(導數(shù)):如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個xw(

4、a,b),都對應著一個確定的導數(shù)f/(x),從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)f/(x),稱這個函數(shù)f/(x)為函數(shù)y= f (x)在開區(qū)間內(nèi)的 導函數(shù)，簡 稱導數(shù)，(4)可導：如果函數(shù)y = f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都有導數(shù)，則稱函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(5)可導與連續(xù)的關(guān)系： 如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，那么函數(shù)y=f(x)在點 x0處連續(xù)，反之不成立.函數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導性的必要條件，而不是充分條件.(6)求函數(shù)y = f (x)的導數(shù)的一般方法：(1)求函數(shù)的改變量 y = f(x , ：x)-f(x).求平均變化率¥ = f(x -f(x

5、).LXLX(3)取極限，得導數(shù)yJ廠(x)=翦魯.常見函數(shù)的導數(shù)公式：C' = 0 ; (xn)' = nxnJ1; (sin x)'= cosx ； (cosx)'=-sin x*一一. ，、 一 ，、-' '，、 一 '，、(8)法則 1u(x)±v(x) =u(x)±v(x).法則 2 u(x)v(x )4 u 'x V x ) u x VCu(x)/= Cu'(x).法則 3 Hu,T (v#0) .Vy Jv(9)復合函數(shù)的導數(shù)：設(shè)函數(shù)unP (x)在點x處有導數(shù)u' x=中 

6、9; (x),函數(shù)y=f(u)在點x的對應點u處有導數(shù)y' u=f' (u),則復合函數(shù)y=f(中(x)在點x處也有導數(shù)，且 y'x = y'u u'x 或 f' x(平(x)=f' (u)邛'(x).(10)復合函數(shù)求導的基本步驟是：分解求導相乘回代.*11(11)對數(shù)函數(shù)的導數(shù)：(ln x)' = (log a x)'= l o g e.xx(12)指數(shù)函數(shù)白導數(shù)：(ex)'=ex *(ax)' = axlna .(13)函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果

7、在這個區(qū)間內(nèi)y/>0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y/<0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)(14)用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求函數(shù)f(x)的導數(shù)f' (x).令f' (x)>0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f' (x)<0解不等式，得x的范圍， 就是遞減區(qū)間.(15)極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對 x0附近的所 有的點，都有f(x) vf(x°),就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作 y極大值=* 0), x0是極大值點.(16)極小值：一般地，設(shè)

8、函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對 x0附近的所有 的點，都有f(x) >f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作 y極小值=f(x°), x0 是極小值點.(17)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值* ( i)極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.(ii)函數(shù)的極值不是唯一的.即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個.(話)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系,即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，X1是極大值點，X4是極小值點，而f(X4)>f(X

9、1) . (iv)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū) 間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點 .而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可 能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點 .(18)判別f(xo)是極大、極小值的方法：若Xo滿足f '(X。)=0,且在Xo的兩側(cè) f(x)的導數(shù)異號，則X。是f (X)的極值點，f(X。)是極值，并且如果f'(X)在Xo 兩側(cè)滿足“左正右負”，則X。是f (X)的極大值點，f(X。)是極大值；如果f'(X) 在X0兩側(cè)滿足“左負右正”，則X。是f (X)的極小值點，f (X。)是極小值.(19)求函數(shù)f(X)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f&

10、#39; (X) *(2)求方程f' (x)=。的根.(3)用函數(shù)的導數(shù)為 。的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分 成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f' (X)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(X)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(X)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f(X)在這個根處無極值.化。)函數(shù)的最大值和最小值：在閉區(qū)間a,b】上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b】上必有最大值與最小值.在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f (X)不一定有最大值與最小值.函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的.函數(shù)

11、f(x)在閉區(qū)間 hb】上連續(xù)，是f(x)在閉區(qū)間a,b】上有最大值與最小值的 充分條件而非必要條件.(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒 有一個.(21)利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟 ：求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f (x) 的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f (x)在,0上的最值“歡下載二、講解范例:例1設(shè)f (x)=2.1x sin-xx 0,問f (x)在x=0的導數(shù)是否存在?解：lim yx 0x-0=limx 0_ x _0=lim x = 0.x Q -2 . 11lim = lim - x 0 ' Lx x

12、J。x sin - - 0 sin x二 lim -x =0xx)01lim - = lim y =0x 0 Lx x 0 kx即f (x)在x=0處的左右導數(shù)相等， . f (x)在x=0處導數(shù)存在，且f ' (0)=0.例2設(shè)a、b為常數(shù)，問a、b為何值時，函數(shù)f (x尸，ln xax b0 二 x< 2在x=2x 2處可導.解：lim f (x)= limx2 -x2 In x - In 2x -2.1 . x三 limlnx >2-x-221 x -2 lim ln(1 )xp-222xZ21 2 x -2二 limln(1 )x "2 x -22lim

13、f (x) = lim -x2x2 -ax b - ln 2x -2= lima(x - 2) 2a b 一 1n 2x 立x - 2./ 2a b - ln 2.=lim (a)x)2x-22a+bln2=0 , , 2a b ln2、一皿要使lim/a +)存在.則X2x-2lim (ax22a b - ln 2x-2)=a.a.1 a«2b = ln2-1f(x)在x=2處可導.1a = 一2二2a b - ln 2 = 0例3求函數(shù)y=x34x2+3x+1的圖象過橫坐標為 0和1的點處的切線間的夾角解：v' =(x34x2+3x+1)' =3x2 8x+3y&

14、#39; | x=o=3, y' |x=i=3-8+3=- 2設(shè)x=0和x=1處的切線的傾斜角分別為 a、3 . .tan “=3>1=tan45° , 45° <“<90°tan 3 =-1, 90° <3 <180°tan(一尸回jnt1 tan ： tan 二一1一3:2.1 (-1) 3 - 3 a =arctan2( - 0 <3 a <90 )，切線間的夾角為arctan2.例4求函數(shù)y=| x3|的導數(shù).解:x -0x 二 0，當 x>0 時，v =(x3) ' =3

15、x2當 x<0 時，v =(x3)' =- 3x22=lim x = 0x 0 ,-x-02x-0lim = lim( -x ) =0, lim x。一 x-0 x)0 -x_0 x -0y=| x3|在x=0左右兩側(cè)的導數(shù)相等y=| x3| 在 x=0 處可導且 v | x=0=0r 一 2一-3xx < 0y'=<0x = 0 .3x2x 0三、課堂練習：y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且x°ja, b)則g3透 n'0h的值為()A.f ' (x B.2 f ' 0xC.-2 f'x(0)D. 02.f(x)

16、=ax 3+3x2+2,若 f'-1)=4,則 a 的值為()D. 10/3(0,1/4)和(1/2,1)內(nèi)分別為()A. 19/3B.16/3C.13/33 .設(shè)y=8x2-lnx ,則此函數(shù)在區(qū)間A.單調(diào)遞增，單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增，單調(diào)遞增C.單調(diào)遞減，單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減，單調(diào)遞減4 .設(shè) y=tanx ,貝U y'=()A.sec2xB.secx tanx C.1/(1+x2)D.-1/(1+x2)5 .曲線y=x3+x-2在點Po處的切線平行于直線y=4x-1 ,則點Po點的坐標是()A . (0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4)6 .給出下列命題:(1)若函數(shù) f(x)=|x|，則 f ' (0)=0(2)若函數(shù) f(x)=2x2+1 圖象上 P(1,3)及鄰近上點 Q(1+ Ax,3+ Ay),則"y =4+2 A xx(3)