高等數(shù)學及其應用電子教案第二版同濟大學數(shù)學系ch32

1、第二節(jié)第二節(jié) 不定積分的換元積分法不定積分的換元積分法本節(jié)要點本節(jié)要點 本節(jié)通過復合函數(shù)的求導公式本節(jié)通過復合函數(shù)的求導公式, 建立了不定積分的換建立了不定積分的換一、第一類換元法一、第一類換元法二、第二類換元法二、第二類換元法元積分公式元積分公式.一、第一類換元法一、第一類換元法 在這一目中在這一目中, 我們將主要考慮復合函數(shù)的積分問題我們將主要考慮復合函數(shù)的積分問題.我們知道我們知道 221ln1,1xxx221dln1.1xxxcx由此得由此得 又如又如, 考慮積分考慮積分因為因為 1sin2cos2,2xx sin2 d ,x x即有即有積分積分. 一般情況又將如何一般情況又將如何,

2、這就是下面的積分方法這就是下面的積分方法1sin2 dcos2,2x xxc 即將被積函數(shù)寫成復合求導形式即將被積函數(shù)寫成復合求導形式, 從而求出相應的不定從而求出相應的不定第一類換元法第一類換元法.定理定理3.1 設函數(shù)設函數(shù) 有原函數(shù)有原函數(shù)( )f x( ),f x dd.uxfxxxf uu連續(xù)導函數(shù)連續(xù)導函數(shù), 則有積分公式則有積分公式 公式（公式（3.3）給出的方法稱為）給出的方法稱為第一類換元法第一類換元法, 即：即：若被若被積函數(shù)能寫成兩項的乘積積函數(shù)能寫成兩項的乘積, 且其中的一項為復合函數(shù)的且其中的一項為復合函數(shù)的形式形式, 而另一項可以湊成中間變量的導數(shù)形式而另一項可以湊

3、成中間變量的導數(shù)形式, 則可以則可以考慮使用此方法考慮使用此方法.（3.3）( )ux且且 有有 由于由于d( )d ,uxx d( ) d( ) .fxxxfxx因此該公式也經(jīng)常寫成因此該公式也經(jīng)常寫成作變換作變換例例3.16 求積分求積分1d0 .x aaxb解解 111ddxaxbxaxba axb 一般地一般地: 當被積函數(shù)形式為當被積函數(shù)形式為 時時, 則則可考慮可考慮()f axb1d.f axbxf axbca11d axbaaxb1ln.axbca,uaxb即若即若 有原函數(shù)有原函數(shù) 則則 ( )f x( ),f x類似地有類似地有ee de,xxxfxfcsincos dsi

4、n,fxx xfxc111d, 11nnnf xxxf xcnn .1lndln, fxxfxcx2sectandtan, xfxxfxc例例3.17 求積分求積分1d .ln lnlnxxxx1dln lnlnxxxx解解 因因 得得 1ln,xxln lnln.xc1dlnlnlnlnxx1dlnln lnlnxxx例例3.18 求積分求積分2332d .xxx解解2332dxxx33312d23xx4/3312.4xc例例3.19 求積分求積分121e d .xxx121e dxxx解解111e de.xxcx 例例3.20 求積分求積分tan d .x x解解 sintan ddcos

5、xx xxx同理可得同理可得cot dln sin.x xxc1dcosln cos,cosxxcx 例例3.21 求積分求積分221d , xax221d0 .x aax解解 2222111dd1xxaxaxa 22211ddarcsin.1xxxcaaaxxa1arctan.xcaa211d1xaaxa例例3.22 求積分求積分221d0 .x axa解解 因因2211112xaaxaxa221111dd2xxxaaxaxa111dd2xaxaaxaxa11lnlnln.22xaxaxacaaxa，故，故 注意：上面的幾個積分結(jié)果均可以作為基本的積分注意：上面的幾個積分結(jié)果均可以作為基本的

6、積分公式使用公式使用.例例3.23 求積分求積分2d .23xxxx解解 因因22313 ,xxxx故故2131,23431xxxxx從而積分為從而積分為2131dd23431xxxxxxx 331ln41.xxc例例3.24 求積分求積分21d .25xxx解解 因因222512,xxx所以積分為所以積分為22211dd12512xxxxx11arctan.22xc例例3.21例例3.25 求積分求積分32d .1xxx解解 因因33222,111xxxxxxxxx所以積分為所以積分為322dd11xxxxxxx2211ln 1.22xxc注意注意 在三角函數(shù)的積分中在三角函數(shù)的積分中, 利

7、用三角恒等式對三角函利用三角恒等式對三角函2222sincos1, 1tansec,xxxx2211cos1cos2, sin1cos2,22xxxxsin22sin cos ,xxx1coscoscoscos,.2數(shù)做某些變換是積分中經(jīng)常使用的方法數(shù)做某些變換是積分中經(jīng)常使用的方法. 常用的三角公常用的三角公式是式是:例例3.26 計算下列積分計算下列積分: 4cosd ,x x6secd .x x解解 32sind1cosdcosx xxx 31coscos.3xxc 3sind ,x x25sincosd ,xx x22522sincosdsin1sindsinxx xxxx241cos

8、2cosdd2xx xx246sin2sinsindsinxxxx357121sinsinsin.357xxxc11cos412cos2d42xxx134cos2cos4d8xxx262secd1tandtanx xxx1132sin2sin4.84xxxc2412tantandtanxxx3521tantantan.35xxxc例例3.27 求積分求積分csc d ,x xsec d .x x解解 1csc ddsinx xxx1dtanln tan.22tan2xxcx2sec112dd22sin costan222xxxxxx又又,1coscsccot ,sinxxxxcsc dln c

9、sccot.x xxxc即即2sin2sin22tan2sincos2xxxxxd12sec ddcossin2xx xxxx注注 此題中的積分結(jié)果也可作為基本的積分公式使用此題中的積分結(jié)果也可作為基本的積分公式使用.ln csccot22xxcln sectan.xxc例例3.28 求積分求積分cos3 cos2 d .xx xcos3 cos2 dxx x解解11sinsin5.25xxc1coscos5d2xxx積化和差積化和差定理定理3.2 設函數(shù)設函數(shù) f x xt 1dd.txf xxfttt二、第二類換元法二、第二類換元法 0,t對應的區(qū)間上有連續(xù)導數(shù)對應的區(qū)間上有連續(xù)導數(shù), 且

10、且在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), 又又i在在t則有積分公式則有積分公式 （3.4）公式（公式（3.4）又稱為）又稱為第二類換元法第二類換元法. 一般一般, 當被積函數(shù)中含有當被積函數(shù)中含有 等因子時等因子時2222,xaax作代換作代換22,xatanxat；22,axsinxat；作代換作代換22,xasecxat；可通過適當?shù)娜谴鷵Q來求出相應的積分可通過適當?shù)娜谴鷵Q來求出相應的積分. 常用代換有常用代換有:作代換作代換,abx作代換作代換.abxt這類代換的主要目的是消去積分表達式中的根式這類代換的主要目的是消去積分表達式中的根式.例例3.29 求積分求積分22d0 .axx a解解 令

11、令sin ,2 2xat t 22dcoscos daxxat at t由由 22sin,cos,xaxttaa22axxta22cos dat t21cos2 d2att21sin2,22attc原積分為原積分為222221darcsin.22axaxxx axca例例3.30 求積分求積分21d .1xxx解解 做變換做變換 sin ,2 2xt t 則原積分為則原積分為:21d1xxx1costdsin costtt211ln.ln csccotttxccxx例例3.31 求積分求積分22d0 .xaxa解解 令令tan ,2 2xat t 222dsec dsecxat tatxa由由

12、 知知tanxta22axxta則則sec dln sectan.t tttc22sec,axta所以所以 2222dlnxxaxcaaxa同理可證同理可證 222222dlnln.xxaxcxxacaaxa注注 本題中的兩個積分結(jié)果也是常用的積分基本公式本題中的兩個積分結(jié)果也是常用的積分基本公式.22ln.xxac例例3.32 求積分求積分222d0 .xaxxa解解 令令tan ,2 2xat t 則則222222d1secdtansecxat tat atxxa2221cos1dcsc cot dsintttt tata222211csc.axtccaax 本節(jié)又建立了如下的一些積分公式本節(jié)又建立了如下的一些積分公式:tan dln cos,x xxc cot dln sin,x xxcsec dln sectan,x xxxccsc dln csccot,x xxxc2211darctan.xxcaxaa(2121)221darcsin,xxcaax(2222)2211dln,2xaxcxaaxa(23)2222dln.xxxacxa例例3.33 求積分求積分1d .12xxx解解 令令 所以原積分為所以原積分為12dd ,xtxt t 22122ddd1112txtttttxx111dln.111ttcttt故故 1121dl