《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

1、選修 1-1 §橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教材分析圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，它的許多幾何性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)是圓錐曲線與方程的第一節(jié)課，主要學(xué)習(xí)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。它是本章也是整個(gè)解析幾何部分的重要基礎(chǔ)知識(shí)。第一，在教材結(jié)構(gòu)上，本節(jié)內(nèi)容起到一個(gè)承上啟下的重要作用。前面學(xué)生用坐標(biāo)法研究了直線和圓，而對(duì)橢圓概念與方程的研究是坐標(biāo)法的深入，也適用于對(duì)雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)，更是解決圓錐曲線問題的一種有效方法。第二，對(duì)橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對(duì)應(yīng)起來，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合的重要思想。而這種思想，將貫穿于整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。第三，對(duì)橢圓定

2、義與方程的探究過程，使學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理、交流、反思等理性思維過程，培養(yǎng)了學(xué)生的思維方式，加強(qiáng)了運(yùn)算能力，提高了他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。教學(xué)設(shè)計(jì)涼山民中數(shù)學(xué)組：陳肖林教學(xué)課題橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課程類型新知課1. 在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，初步了解了用坐標(biāo)法求曲線的方程及其基本步驟，經(jīng)歷了動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察分析、歸納概括、學(xué)情分析建立模型的基本過程，這為進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ)。2. 在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，橢圓定義的歸納概括、方程的推導(dǎo)化簡(jiǎn)對(duì)學(xué)生是一個(gè)考驗(yàn)，加之高 2015級(jí) 14班是“二層次”的文科班，可能

3、會(huì)有一部分學(xué)生探究學(xué)習(xí)受阻，教師要適時(shí)加以點(diǎn)撥指導(dǎo)。教學(xué)重點(diǎn)感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)方法。教學(xué)難點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能： 理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)； 掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；會(huì)根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo).過程與方法： 讓學(xué)生經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法， 體會(huì)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想； 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比、 聯(lián)想等方法提出問題 .情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 通過具體的情境感知研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的必要性和實(shí)際意義；體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美，培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度 .教學(xué)方法啟發(fā)探索法，講

4、練結(jié)合法教學(xué)手段用 PPT及幾何畫板制作的多媒體課件教學(xué)教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)過程 教學(xué)內(nèi)容（一）創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入由嫦娥二號(hào)繞月飛行的運(yùn)動(dòng)軌跡及現(xiàn)實(shí)生活中的多幅橢圓的圖片引入。（行星運(yùn)行、國(guó)家大劇院等）（二）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，歸納概念橢圓的定義 : 平面上到兩個(gè)定點(diǎn) F1, F2的距離之和為固定值( 大于 |F1F2|) 的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓 .注意 : 橢圓定義中容易遺漏的三處地方：（ 1）必須在平面內(nèi) ;（ 2）兩個(gè)定點(diǎn) - 兩點(diǎn)間距離確定;（ 3）繩長(zhǎng) - 軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定總結(jié)：當(dāng)大于時(shí)橢圓當(dāng)?shù)扔跁r(shí)線段當(dāng)小于時(shí)不存在師生互動(dòng)問：自然界處處存在著橢圓 , 我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢 ?

5、（先請(qǐng)學(xué)生上黑板畫出橢圓，介紹課前數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的方法并利用幾何畫板演示作橢圓）提出問題：“在畫圖的過程中，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變？”讓學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)驗(yàn)，觀察回答：“兩定點(diǎn)間的距離沒變，繩子的長(zhǎng)度沒變，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)?！痹賳枺骸澳銈兡芨鶕?jù)剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸納概括出橢圓的定義嗎？”先讓學(xué)生獨(dú)立思考一分鐘，然后同桌交流，再進(jìn)行全班交流，逐步完善，概括出橢圓的定義。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行分析理解問：“為何固定值要大于兩定點(diǎn)間的距離呢？等于、小于又如何呢？”（學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證并發(fā)表自己意見，我再用課件演示）設(shè)計(jì)意圖借助多媒體生動(dòng)、直觀的演示，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)橢圓的重要性和必要性。同時(shí)，

6、激發(fā)他們探求實(shí)際問題的興趣，使他們主動(dòng)、積極地參與到教學(xué)中來，為后面的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。以活動(dòng)為載體，讓學(xué)生在“做”中學(xué)數(shù)學(xué)，通過畫橢圓，經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，積累感性經(jīng)驗(yàn)。先回顧圓方程推導(dǎo)的步驟，給出求（三）啟發(fā)引導(dǎo)，推導(dǎo)方程動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：?jiǎn)枺涸趺赐茖?dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)嵎匠棠兀繑?shù)對(duì)（ x,y ）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐?探討建立平面直角坐標(biāo);標(biāo)系的方案2、寫出適合條件P （ M） ;啟發(fā)學(xué)生類比求圓的方程3、用坐標(biāo)表示條件P（ M），列出的建系方法，建立適當(dāng)?shù)闹苯欠匠?;坐標(biāo)系。4、化方程為最簡(jiǎn)形式。探討幾種建系方案。最后采用以下兩種方案方案一： 以兩定點(diǎn)的連線為X

7、 軸，其垂直平分線為Y 軸；方案二： 以兩定點(diǎn)的連線為Y 軸，其垂直平分線為X 軸。( 原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單 )( 一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)體現(xiàn)“對(duì)稱美”“簡(jiǎn)潔美”的特點(diǎn)? 寫出動(dòng)點(diǎn) P滿足的條件設(shè) P (x, y) 是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距 |F 1F2|=2c(c>0) ，則 F1 、 F2 的坐標(biāo)分 別是 ( c,0) 、(c,0) .P 與 F1 和 F2 的距離的和為固定值2a(2a>2c)啟發(fā)學(xué)生根據(jù)橢圓的定義，寫出動(dòng)點(diǎn) P 滿足的條件，即：?jiǎn)枺合旅嬖鯓踊?jiǎn)？一般來說：方程中只有一個(gè)二次根式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程

8、的一邊，把其它各項(xiàng)移到另一邊，平方一次；方程中有兩個(gè)二次根式時(shí)，需將它們分散，放在方程的兩邊，使其中一邊只有一個(gè)根式，平方兩次。待大多數(shù)學(xué)生都有了結(jié)果：帶根式的方程的化簡(jiǎn)，學(xué)生會(huì)感到困難 , 這也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。教學(xué)時(shí)，要注意說明這類方程的化簡(jiǎn)方法。|PF1|PF2 |2ax2y21(a c 0)a2a2 c2由于之后，指出：這個(gè)方程還不夠| PF1 | ( x c) 2y2 ,| PF2 |簡(jiǎn)潔對(duì)稱，讓學(xué)生觀察圖形：( x c)2y2問：“你們能從圖中找出得到表示 a、 c、a 2 c2 的線段( x c) 2y2(x c)2y2嗎？”2a問：剛才我們得到了焦點(diǎn)通過觀察，學(xué)生容易得出結(jié)論，

9、并理解了換元的合理性。 這樣不僅使方程具有了對(duì)稱性， 而且使字母 b 也有了明確的幾何意義。從而將方程簡(jiǎn)化為：x2y2a2b2 1（ a>b>0)我們稱它為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。? 總結(jié)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)（ 1 ）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是 1（ 2 ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、 b、 c滿足 a2=b2+c2。（ 3 ）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù) a、 b、 c的值。（ 4 ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中， x2 與 y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。通過表格的形式， 讓學(xué)生對(duì)兩種方程進(jìn)行對(duì)比分析， 強(qiáng)化對(duì)橢圓方程的理解。（附表如下）在 x軸上的橢圓方程，如

10、何推導(dǎo)焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？啟發(fā)：“除了用剛才的方x2y2法 a2b2 1 推導(dǎo)一遍外，還有別的方法嗎？”學(xué)生經(jīng)過觀察思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標(biāo)軸就可以了，從而得到了焦點(diǎn)在Y 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：y 2x2a2b2 1（ a>b>0)在師生互動(dòng)的過程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，使他們的觀察能力、運(yùn)算能力、推理能力得到訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。并感受橢圓方程、圖形的對(duì)稱美，獲得成功的喜悅！通過填表，進(jìn)行對(duì)比總結(jié)，不僅使學(xué)生加深了對(duì)橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)222+ y2標(biāo)準(zhǔn)方程x2+ y2 = 1 a > b > 0x22= 1 a &g

11、t; b > 0abbayyP不圖形F2P同OF12點(diǎn)FxOxF1焦點(diǎn)坐標(biāo)F1 -c , 0 ， F2 c , 0F1 0 , - c ， F2 0, c平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F ， F 的距離的和等相12定義同于常數(shù)（大于 F F ）的點(diǎn)的軌跡點(diǎn)122a、 b、ca22的關(guān)系= b + c焦點(diǎn)位置的判斷分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上（四）、典型例題2 2例 1. 已知橢圓方程為 x + y =1 25 16則(1)a= 5 , b= 4 ,c=3;(2) 焦點(diǎn)在x軸上 , 其焦點(diǎn)坐標(biāo) 為(-3,0)、 (3,0) ,焦 距 為6 。22(3) 若橢圓方程為 x + y =1 , 其16 25焦

12、點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)、(0,-3)(4) 已知橢圓上一點(diǎn) P 到左焦點(diǎn) F1的距離等于6，則點(diǎn) P 到右焦點(diǎn)的距離是4；(5) 若 CD為過左焦點(diǎn) F1 的弦，則?CF1F2的周長(zhǎng)為 16，?F2CD的周為 20。例 2 求兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4 ， 0) 、 (4 ， 0) ，橢圓上一點(diǎn) P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ；解：由已知可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y 21a b 0a2b2例 1 反饋練習(xí)有層次的1、口答：練習(xí)題有助于1 . x2y2學(xué)生更好的熟1，5232練利用橢圓的則 a， b標(biāo)準(zhǔn)方程解；題。2 .x2y 21926則 a， b；2、求以下橢圓的a、 b、c和焦點(diǎn)

13、坐標(biāo)(1) x2y22(2) x212 y26916的頂點(diǎn) B、 C在橢圓已知3.ABCx2y2上 , 頂點(diǎn) A是橢圓的一個(gè)31焦點(diǎn) , 且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊BC上 , 則 ABC的周長(zhǎng)為 ( )A.23B.43C.6D.16例 2 反饋練習(xí)已知 B、C 是兩個(gè)定點(diǎn)，| BC| = 6，且 ABC的周長(zhǎng)等于 16，求頂點(diǎn) A的軌跡方程 .2c4( 4)8，2a10c4，a5.b2a2c252429.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y 21 .259老師和同學(xué)們一起小結(jié)本鞏固所學(xué)（五）、課堂小結(jié)：節(jié)課的內(nèi)容知識(shí)，培小結(jié) 1：繩長(zhǎng)記為2a，兩定點(diǎn)間的距離記養(yǎng)學(xué)生自為2c(c 0).學(xué)能力和（1）當(dāng) 2a>2c 時(shí)，軌跡歸納總結(jié)能力是；（2）當(dāng) 2a=2c 時(shí)，軌跡是；（ 3）當(dāng) 2a<2c 時(shí)，小結(jié) 2：確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面“定位”是指確定x543(6-0,33,0) 、與坐標(biāo)系的相