中考數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)(大題培優(yōu)易錯難題)附答案

1、->旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1 閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的 頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這 個規(guī)律的圖形稱為"手拉手"圖形.如圖1,在"手拉手"圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若ZBAC =Z DAE, AB=AC, AD=AE,貝lj BD = CE（i）在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造"手拉手”圖形來解答下而的問題：如圖 2, AB=BC, Z ABC=Z BDC=60°,求證:AD+CD = BD；如圖3,在A

2、ABC中，AB=AC, Z BAC=m%點(diǎn)E為 ABC外一點(diǎn)，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，Z EBC = Z ACF, ED丄FD,求Z EAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） ZEAF = -m°.2【解析】分析：（1）如圖1中，欲證明BD=EC,只要證明厶DAB竺 EAC即可；（2）如圖2中，延長DC到E,使得DB=DE.首先證明 BDE是等邊三角形，再證明 ABD里 CBE即可解決問題；（3）如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG、EG、EF、FG,延長ED到M,使得 DM=DE> 連接 FM、CM.想辦法ilE明 AF

3、E更 AFG,可得Z EAF=Z FAG=-m°.詳（1）證明：如圖1中, Z BAC=Z DAE, Z DAB=Z EAC, 在厶DAB和厶EAC中,AD=AE< ZDAB=ZEAC ,AB=AC DAB旻厶EAC, BD=EC.(2)證明：如圖2中，延長DC到E,使得DB=DE. BDE是等邊三角形， Z BD二BE, Z DBE=Z ABC=60% Z ABD=Z CBE, AB二BC, ABD旻厶CBE, AD二EC, BD=DE=DC+CE=DC+AD AD+CD=BD(3)如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG、EG、EF、FG,延長ED到M,使得

4、DM二DE,連接 FM、CM.由(1)可知 EAB竺 GAC,/. Z 1=Z 2, BE二CG,TBD二DC, Z BDE=Z CDM, DE二DM, EDB旻 MDC, EM=CM=CG, Z EBC=Z MCD, Z EBC=Z ACF, Z MCD=Z ACF, Z FCM=Z ACB=Z ABC, Z 1=3=Z 2, Z FCG=Z ACB=Z MCF,CF=CF, CG二CM, CFG旻 CFM, FG=FM,TED二DM, DF丄EM, FE=FM=FG,TAE二AG, AF二AF,. AFE旻 AFG, Z EAF=Z FAG=-m°.2點(diǎn)睹：本題考查幾何變換綜合題

5、、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判左和性 質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用"手拉手"圖形中的全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)造"手拉 手"模型，解決實(shí)際問題，屬于中考壓軸題.2. （操作發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，A ABC為等邊三角形，先將三角板中的60。角與Z ACB重合，再將三角板繞 點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0。且小于30。），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于 點(diǎn)D,在三角板斜邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD,線段AB ±取點(diǎn)E,使Z DCE=30°,連接AF, EF. 求ZEAF的度數(shù)： DE與EF相等嗎？請說明理由：（類比探究）

6、（2）如圖2, A ABC為等戯直角三角形，Z ACB=90°,先將三角板的90。角與Z ACB重合， 再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0。且小于45。），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直 角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD,線段AB h取點(diǎn)E,使 ZDCE=45°,連接AF, EF.請直接寫出探究結(jié)果： Z EAF的度數(shù)； 線段AE, ED, DB之間的數(shù)量關(guān)系.c答案】（2） 120°DE二EF； （2）90°AE2+DB2=DE2【解析】試題分析：（2）由等邊三角形的性質(zhì)得岀AC=BC, Z BAC=A B=60°

7、;,求出Z ACF=Z BCD,證明 ACF 卜 BCD,得出Z CAF二乙 B二60。，求出Z E4f=Z BAC+Z CAF=120 證出Z DCf=Z FCE,由SAS證明 DCE呈 FCE,得出DE=EF即可：（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC, Z BAC=Z 8=45°,證岀Z ACF=A BCD,由 SAS 證明 ACF 厶 BCD,得岀Z CAF二乙 8=45% AF=DB 求出Z EAF二乙 BAC+乙 C&F二90°： 證出乙DCE二乙FCE,由SAS證明 DCEX FCE,得出DE二EF；在RtA AEF中，由勾股立 理得岀AE2+AF

8、2=EF2,即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）ABC是等邊三角形，.""兀，Z BAC=Z 8=60° Z DCF=60 :. Z ACF二Z BCD.在厶人”和厶 BCD 中，/ AC=BC, ZACQZ BCD, CF二CD,:.心 ACF BCD (SAS), Z CAF二乙 B二60°, /. Z EAF二乙 B&C+Z CF=120°；DE=EF.理由如下： Z DCF=60°, Z DCE=30°, Z FCE=60° - 30°=30°, .I Z DCE二乙 FCE.在厶

9、 DCE 和厶 FCE 中， CD二CF, Z DCE二乙 FCE, CE二CE, 厶 DCE里厶 FCE (SAS),二 DE二EF；(2)ABC是等腰直角三角形,AACB=90 :.AC=BC,Z BAC=A B=45°. / Z DCF=90°,二乙 ACF二Z BCD.在 ACF 和 BCD 中.T AC=BC,Z&CQZ BCD. CF二CD,:.厶 ACF BCD (SAS) , /. Z CAF二乙 3=45°, AF=DB.:.Z EAF二乙 BAC十Z CAF=90AE2WB2=DE理由如下： Z DCF=90°, Z DCE=

10、45% Z FCE二90° - 45°二45°, /. Z DCE=Z FCE.在厶 DCE 和厶 FCE 中， CD二CF, Z DCE二乙 FCE, CE=CE, :. DCE里 FCE (SAS) , Z. DE二EF在 RtA AEF 中，AE2AF2=EF 又； AF=DB. :. AE2WB2=DE2 3. 如圖 1,在cABCD 中.AB二6, Z 8= « （60°<«<90°）.點(diǎn) E 在 BC 上,連接 &F,把A3E 沿 AE折疊，使點(diǎn)3與AD上的點(diǎn)F重合，連接FF.求證：四邊形AB

11、FF是菱形；如圖2,點(diǎn)M是BC上的動點(diǎn)，連接AM,把線段AM繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)Q得到線段 MN,連接F/V,求別的最小值（用含G的代數(shù)式表示）.（圖 1）® 2）3【答案】（1）詳見解析;（2） FEsin（尹一90。）【解析】【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形得AFII BE,所以Z FAE=Z BEA,由折疊的性質(zhì)得Z BAE=Z FAE, Z BEA=Z FEA,所以Z BAE=Z FEA,故有 ABH FE,因此四邊形 ABEF 是平行四 邊形，又BE=EF,因此可得結(jié)論：1根據(jù)點(diǎn)M在線段BE上和EC上兩種情況證明Z ENG=90。一尹，利用菱形的性質(zhì)得到3ZFEN=尹一90

12、。，再根據(jù)垂線段最短，求出FN的最小值即可.【詳解】（1）V四邊形ABCD是平行四邊形， ADII BC, Z FAE=Z BEA,由折疊的性質(zhì)得Z BAE=Z FAE, Z BEA=Z FEA, BE二EF, Z BAE=Z FEA,ABH FE,四邊形ABEF是平行四邊形，又 BE=EF,四邊形A3FF是菱形：（2）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在線段BE上時，在射線MC上取點(diǎn)G,使MG=AB,連接GN、EN.（因1） Z AMN = Z B = G, Z AMN+Z 2 = Z 1+Z BZ 1 = Z 2又 AM = NM AB = MG ABM旻厶MGN Z B = Z 3, NG = BM MG=

13、AB = BE.I eg=ab = ng1 1 Z 4=Z ENG= (180° -«)=90°«又在菱形ABEF中,AB II EF Z FEC = Z B二a13 Z FEN = Z FEC-Z 4=«- (90。一嚴(yán)=尹_90。如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在線段EC上時，在BC延長線上截取MG=AB,連接GN、EN.同理可得：Z FEN = Z FEC-Z 4=«- (90°尹)=尹一90°3 綜上所述，Z FEN=a-90°當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動時，點(diǎn)N在射線EH上運(yùn)動（如圖3）3當(dāng)FN丄EH時，F(xiàn)N最小，其最小值

14、為FEsin（尹一90。）【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判泄與性質(zhì)以及求最短距離的問題，解題的關(guān)鍵是分類討論得出z FEN3 =2«-90%再運(yùn)用垂線段最短求出FN的最小值.4如圖1,點(diǎn)O是正方形&3CD兩對角線的交點(diǎn)分別延長OD到點(diǎn)G, OC到點(diǎn)F,使 OG=2OD. O&2OC,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接&G, DE.（1）求證：DE±AGt（2）正方形&BCD固泄，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)。角（0。< °<360。）得到正方形 OF",如圖2. 在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0AG，是直角時，求&#

15、176;的度數(shù)：（注明：當(dāng)直角邊為斜邊一半時，這條 直角邊所對的銳角為30度） 若正方形A3CD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求°F長的最大值和此時a的度數(shù)，直接寫 出結(jié)果不必說明理由.G'GBz>【答案】（1）DE丄AG （2）當(dāng)Z 0AG，為直角時，a=30°或150°315°【解析】分析：（1）延長ED交AG于點(diǎn)證明 A0G ZOE,根據(jù)等量代換證明結(jié)論:（2）根據(jù)題意和銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數(shù)值得到Z/lG，O = 30°.分兩種情況 求出。的度數(shù):（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出OA和OF的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出

16、&尸長的最大值 和此時Q的度數(shù).點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn), 0A = 0D 0/1 丄 0D> ,0G=0E9在力0G和A DOE中,0A = 0D山。G = ZDOE = 90。OG = OEA AOG A DOE9 /.AGO =乙DEO OGO +乙G/10 = 90。fZG/10 + ZDEO = 90°.AHE = 90°即 DE 1AG.（2）如圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，乙04Q成為直角有兩種情況:Gr(I加由° °增大到9° °過程中，當(dāng)"佔(zhàn)=90。時,1 1vOA = OD=OG = OGt

17、OA 1在骯()的中，sinZAGO® 2G0 = 3O°04 丄 OD OA LAG'*OD/AGazDOG, = Z/G,O = 30°9即2 30°：(H)Q由90。增大到180。過程中，當(dāng)乙04£ = 90。時, 同理可求乙BOG'= 30。，«= 180° -30° =150°綜上所述，當(dāng)乙°佔(zhàn)=90。時，“30?；?50。如圖3,衛(wèi)D圖3當(dāng)旋轉(zhuǎn)到力、0、F在一條直線上時，4F的長最大,正方形ABCD的邊長為1, OA = OD = OC=OB = -9OG = 2OD

18、9：0G = 0G = gOF = 29 MOE'= 45 ° 此時伉= 315。點(diǎn)睛：考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判左與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，旋轉(zhuǎn)變換的性 質(zhì)的綜合應(yīng)用，有一定的綜合性，注意分類討論的思想.5. 已知AABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB任射線OM上，且OA二6,點(diǎn)D是射線OM 上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時，將AACD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到 BCE,連接 DE.（1）如圖1，猜想：ACDE的形狀是三角形.（2）請證明（2）中的猜想（3）設(shè) 0D二m, 當(dāng)6<m<10時，ABDE的周長是否存在最小值？若存在，求岀 BDE周長的最小值；

19、 若不存在，請說明理由. 是否存在m的值，使ADEB是直角三角形，若存在，請直接寫出m的值：若不存在， 請說明理由.【答案】（1）等邊；（2）詳見解析；（3）2JJ+4：當(dāng)m=2或14時，以D、E、B 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)猜想結(jié)論：（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Z DCf=60°, DC=EC，即可得到結(jié)論：（3）當(dāng)時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到Ca dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD，由垂線段最短得到當(dāng) CD丄時，A BDE的周長最小，于是得到結(jié)論：存在，分四種情況討論：a）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)8重合

20、時，D, B, £不能構(gòu)成三角形；b）當(dāng)0<m<6時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Z ABE=60°, Z BDE<60。,求得Z BED=90°，根據(jù)等邊 三角形的性質(zhì)得到Z DEB=60°,求得Z CEB=30°,求得OD=OA - DA=6 - 4=2=m：c）當(dāng)6<m<10時，此時不存在；d）當(dāng)m>10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Z DBE=60°,求得Z BDE>60°,于是得到m=14.【詳解】（1）等邊；(2) V將厶ACD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到 BCE,Z DCE=60 DC=E

21、C, :. CDE 是等邊三角形.(3) 存在，當(dāng)6<t<10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BE=AD,:.Cdbe=BEWBWE=ABWE=4+DE.由(1)知， CDF 是等邊三角形，二 DUCD,C“痔CD+4,由垂線段最短可知，當(dāng)CD丄時，A BDE的周長最小.此時，CD=2艮 :. BDE 的最小周長二CD+4=2 JJ+4：存在，分四種情況討論：a) 當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)8重合時，D, B, E不能構(gòu)成三角形，.當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)8重合時，不符合 題意：b) 當(dāng) 0<m<6 時，由旋轉(zhuǎn)可知，Z ABE=60°9 Z BDFV60。，二 Z BED二90。，由(1)可知， CD

22、E是等邊三角形，Z DEB=60 :. Z CEB=30° Z CEB二Z CO4, Z CD4二30。ZC&3二60°, :.ZACD=A ADC=30 :. DA=CA=4. OD=OA - DA=6 - 4=2. :. m=2：c) 當(dāng) 6<m<10 時，由Z 08£=120°>90°,此時不存在:d) 當(dāng)m>10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,Z DBE=60又由(1)知Z CDE=60 Z BDE二Z CDE+Z BDC=60°+Z BDC,而Z 8000% /. Z BDE>60 只能Z BDE

23、=90°,從 而Z BCD=30 BD=BC=49 00=14, /. m=14.綜上所述：當(dāng)或14時，以6 E、8為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判泄和性質(zhì)，三角形周長的計(jì)算，直角三角形的判 定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6. 如圖1, A ACB. A AED都為等腰直角三角形，Z AED=Z ACB=90點(diǎn)D在AB上，連 CE, M、N分別為BD、CE的中點(diǎn).(1) 求證：MN丄CE；(2) 如圖2將 AED繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)30。，求證：CE=2MN.圖1【答案】（i）證明見解析;【解析】試題分析：（1）延長DN交AC于F,連BF,推

24、出DEII AC,推出 EDN CFN,推出DE EN DN=，求出DN=FN, FC=ED,得出MN是中位線，推出MNII BF,證 CF CN NFA CAES A BCF,推出Z ACE=Z CBF,求岀Z CBF+Z BCE二90°,即可得出答案;（2）延長DN到G,使DN二GN,連接CG.延長DE、CA交于點(diǎn)K,求出BG=2MN,證 CAE竺 BCG,推岀BG二CE,即可得出答案試題解析：（1）證明：延長DN交AC于F,連BF,圖1TN為CE中點(diǎn)， EN二CN.ACB 和ZkAED 是等腰直角三角形,Z AED=Z ACB=90°, DE二AE, AC=BC, Z

25、 EAD=Z EDA=Z BAC=45% DEII AC, EDN CFNt.DE _EN _ DNCFCNNF ' EN二NC, DN二FN, FC二ED,MN是厶BDF的中位線， MNII BF,TAE二DE, DE=CF, AE=CF, Z EAD=Z BAC=45 Z EAC=Z ACB=90%在厶CAE和厶BCF中，CA=BC< ZCAE=ZBCF ,AE=CF CAE竺 BCF (SAS), Z ACE=Z CBF,-V Z ACE+Z BCE二90。， Z CBF+Z BCE=90°,即BF丄CE, MN II BF,MN丄CE(2) ilE明：延長DN到

26、G,使DN二GN,連接CG,延長DE、CA交于點(diǎn)K,MN是厶BDG的中位線， BG=2MN,在厶EDN和宜GN中，DN=NGZDNE= ZGNC ,EN=NCw EDN牛 CGN (SAS), DE=CG=AE, Z GCN=Z DEN, DE II CG, Z KCG=Z CKE, Z CAE=45°+30°+45°=120 Z EAK=60% Z CKE=Z KCG=30 Z BCG=120%在厶CAE和厶BCG中，AC=BC< ZCAE=ZBCG ,AE=CG CAE更厶 BCG （SAS）, BG二CE, BG=2MN, CE=2MN.【點(diǎn)睛】考查了

27、等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判左，三角形的中位線，平行 線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考査學(xué)生的推理能力.7. （特例發(fā)現(xiàn)）如圖1，在AABC中，AG丄BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB, AC 為直角邊，向AABC外作等腰RtA ABE和等腰RtA ACF,過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂 足分別為P、Q.求證：EP=FQ.（延伸拓展）如圖2,在AABC中，AG丄BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB, AC為 直角邊，向 ABC外作RtA ABE和RtA ACF,射線GA交EF于點(diǎn)H若AB二kAE, AC二kAF, 請思考HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.（深入探究）如圖

28、3,在AABC中，G是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)，向 ABC外作任 意AABE 和AACF,射線 GA 交 EF 于點(diǎn) H若Z EAB=Z AGB, Z FAC二Z AGC, AB二kAE, AC=kAF,上一問的結(jié)論還成立嗎？并證明你的結(jié)論.（應(yīng)用推廣）在上一問的條件下，設(shè)大小恒立的角ZIHJ分別與AAEF的兩邊AE、AF分別 交于點(diǎn)M、N,若AABC為腰長等于4的等腰三角形，其中Z BAC=120°,且Z IHJ=Z AGB=e=60 k=2：求證：當(dāng)ZIHJ在旋轉(zhuǎn)過程中，AEMH、A HMN和 FNH均相似，并直接寫出線段MN的 最小值（諳在答題卡的備用圖中補(bǔ)全作圖）.圖L囹

29、？/ 囲a【答案】（1）證明參見解析:（2）HE=HF： （3）成立，證明參見解析:（4）證明參見解析,MN最 小值為1.【解析】 試題分析：特例發(fā)現(xiàn)：易證AAEP學(xué)“BAG, AF® CAG,即可求得EP二AG,FQ二AG,即可解題；（2）延伸拓展：過點(diǎn)E. F作射線GA的垂線，垂足分別為入Q易證11 ABG“EAP, AACGAFAQ,得到 PEAG, FQ二*AG,二 PE二FQ然后證明1 EPH更心FQH,即可得出HE=HF：深入探究：判斷 PEA厶GAB,得到PE=«AG,1 AQF“CGA, FQ二，得到FQ=AG,再判斷 EPH牛 FQH,即可得出HE二HF：

30、 (4)應(yīng)用推 廣：由前一個結(jié)論得到AAEF為正三角形，再依次判斷 MHN- HFN- MEH，即可得 出結(jié)論試題解析:(1)特例發(fā)現(xiàn)，如圖:F Z PEA+Z PAE二90°, Z GAB+Z PAE=90% /. Z PEA=Z GAB,EHZ EPA=Z AGB, AE=AB, /. & PEA GAB, .I PE二AG,同理， QFA 心 GAC, FQ二AG, PE二FQ：延伸拓展，如圖： Z PEA+Z PAE二90°, Z GAB+Z PAE二90°. /. Z PEA=Z GAB, /. Z EPA=Z AGB.PE AEPEAE1 PE

31、A GAB, " Al39 VAB=kAE, :. AG kAI /. PE=AG,同理, FQ AF1 QFA-GAC, AG AC,. AC二kAF, FQAG, /. PE=FQ> / EP II FQ, Z EPH=Z FQH, Z PHE=Z QHF, /. EPH牛心 FQH, /. HE二HF：深入探究，如圖2,在直線 AG 上取一點(diǎn) P,使得Z EPA= Z AGB,作 FQII PE, T Z EAP+Z BAG=180° - Z AGB,Z ABG+Z BAG=180° - Z AGB, /. Z EAP=Z ABG. / Z EPA=Z AGB /.厶 APE- BGA,PE AE1= 一:.AG Ali. AB二kAE, PEAG,由于Z FQA=Z FAC=Z AGC=180° - Z AGB.同理可得,FQ AF1 AQF-ACGA.AG AC.AC=kAF,二 FQAG,二 EP二FQ, / EPII FQ, Z EPH=Z FQH, Z PHE=Z QHF, /. EPH學(xué) &a