8.1向量的坐標(biāo)表示及其運算（課堂PPT）

1、.18.1向量的坐標(biāo)表示及其運算向量的坐標(biāo)表示及其運算一、基本概念一、基本概念.2* * *實數(shù)與向量的乘積的意義實數(shù)與向量的乘積的意義: :* *實數(shù)實數(shù)與非零向量與非零向量 的乘積是一個向量的乘積是一個向量, ,記作記作: :a. a* *對向量對向量 的模和方向規(guī)定如下的模和方向規(guī)定如下: :a; ; ( (1 1) )aa (2)(2)當(dāng)當(dāng) 時時, , 與與 的方向相同的方向相同; ;0 aa當(dāng)當(dāng) 時時, , 與與 的方向相反的方向相反; ;0 aa(3)(3)當(dāng)當(dāng) 時時, ;, ;0 0a0(4)(4)任何實數(shù)任何實數(shù)與零向量的乘積為與零向量的乘積為 零向量零向量. 00* *兩個非

2、零向量平行的充要條件兩個非零向量平行的充要條件: :) )( ( , ,0ab b/aaa3.3* * *單位向量的定義及其計算公式單位向量的定義及其計算公式: :. aa0a a* *把模為把模為1 1的向量叫做單位向量的向量叫做單位向量. .* *對于任意的非零向量對于任意的非零向量 , ,與它同方向的單位向與它同方向的單位向 量叫做向量量叫做向量 的單位向量的單位向量. .記作記作: :aa.0a* *單位向量的計算公式單位向量的計算公式: :.4 向量作為一種常見的數(shù)學(xué)概念向量作為一種常見的數(shù)學(xué)概念. . 它是即有它是即有大小又有方向的大小又有方向的. .前面已學(xué)習(xí)了其前面已學(xué)習(xí)了其“

3、形形”的的相關(guān)知識相關(guān)知識, ,本節(jié)開始就要研究其本節(jié)開始就要研究其“數(shù)數(shù)”的相的相關(guān)知識關(guān)知識-向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo). . .5引入引入: :1.1.平面內(nèi)建立了直角坐標(biāo)系平面內(nèi)建立了直角坐標(biāo)系, ,點點A A可以用什么來可以用什么來 表示表示? ?2.2.平面向量是否也有類似的表示呢平面向量是否也有類似的表示呢? ?OxyA(a,b)aba.6xyO1 1，在平面直角坐標(biāo)系中，方向與，在平面直角坐標(biāo)系中，方向與x x軸和軸和y y軸軸正方向正方向分別分別相同的兩個相同的兩個單位向量單位向量叫做叫做基本單位向量基本單位向量，分別記為，分別記為ijji、aA11唯唯一一的的2 2) )平平面面

4、內(nèi)內(nèi)任任一一向向量量都都有有與與它它相相等等的的位位置置向向量量。b _思思考考: :與與一一個個位位置置向向量量相相等等的的向向量量有有個個。b 2，以原點，以原點O為起點，為起點，A為終為終點的向量點的向量 為叫做為叫做點點A的的位位置向量置向量，如圖，如圖，OA即為一個即為一個位置向量位置向量.OA1）平面內(nèi)每一點都有對應(yīng)的位置向量。）平面內(nèi)每一點都有對應(yīng)的位置向量。.74321-1-2-3-2246ij），（ 23POPOMON O調(diào)用幾何畫板3i2 j, i jOP 怎怎樣樣用用表表示示位位置置向向量量？MN32ij.8xyOijaMN(x, y)ij 那那么么，對對于于任任一一位位

5、置置向向量量，能能否否用用基基本本位位置置向向量量 、來來進(jìn)進(jìn)行行表表示示呢呢？AONOM jyix OA在上式中，在上式中，向量向量OA能表示成兩個相互垂直的向量能表示成兩個相互垂直的向量i、j 分別乘以實數(shù)分別乘以實數(shù)x、y后組成的和式后組成的和式，該和式稱為，該和式稱為i、j 的的線線性組合性組合，這種向量的表示方法叫做，這種向量的表示方法叫做向量的正交分解向量的正交分解。jyix OA.93，向量的坐標(biāo)表示：，向量的坐標(biāo)表示： xyOAa在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一個向量都存在唯在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一個向量都存在唯一一個與它相等的位置向量一一個與它相等的位置向量. .即即平面內(nèi)任一向

6、平面內(nèi)任一向量都可以用基本單位來表示量都可以用基本單位來表示.jyixOAa (x, y)ij.10, x yaOAA 是是與與 相相等等的的位位置置向向量量的的終終點點橫橫, ,的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo). .( , ).x yAOAOAa 有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)對對可可以以唯唯一一表表示示點點 ，所所以以也也可可以以表表示示位位置置向向量量，因因此此唯唯一一唯唯一一表表示示與與相相等等的的也也可可以以,()(),ax yaaxiy jx y 定定義義: :若若, ,記記稱稱為為 的的坐坐標(biāo)標(biāo)。aOAxiy j (1,0),(0,1),0(0,0)ij 顯顯然然：總結(jié)總結(jié): : 有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對(x,y

7、)(x,y)記作記作: :任意向量任意向量a( (平移平移) ) 位置向量位置向量; ; jyixOA( (唯一確定唯一確定) ) 向量向量 的坐標(biāo)的坐標(biāo). . a.y)(x a, ,由此可得由此可得,相等的向量具有相同的坐標(biāo)。相等的向量具有相同的坐標(biāo)。.11二、向量的坐標(biāo)運算二、向量的坐標(biāo)運算( (有了向量的坐標(biāo)表示之后有了向量的坐標(biāo)表示之后, ,向量的向量的運算就可以轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)的相應(yīng)運算運算就可以轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)的相應(yīng)運算) ) ),(),(,2211yxbyxa 是是一一個個實實數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 11221212()()()()abx iy jx iy jxx iyyj jyixjyixa1111

8、)( 11221212(,)(,)(,)xyxyxxyy 即即：),(),(1111yxyx 向量模的計算公式向量模的計算公式: :.2211yxa上述法則實現(xiàn)了由向量的作圖法運算上述法則實現(xiàn)了由向量的作圖法運算( (形形) )轉(zhuǎn)化為向量的轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)法運算坐標(biāo)法運算( (數(shù)數(shù)) ), ,化繁為簡化繁為簡. . .12例例1. 如圖，寫出向量如圖，寫出向量 的坐標(biāo)的坐標(biāo).cba,.13結(jié)論：結(jié)論：任意向量坐標(biāo)任意向量坐標(biāo) = = 終點坐標(biāo)終點坐標(biāo) - - 起點坐標(biāo)起點坐標(biāo) xyOP(x1, y1)Q(x2, y2)OPOQPQ ),(1212yyxxPQ )()(1122jyixjyix

9、jyyixx)()(1212 即即如圖，設(shè)如圖，設(shè)P(x1, y1) 、 Q(x2, y2)是平是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點，如何面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點，如何用用P P、Q Q的坐標(biāo)來表示向量的坐標(biāo)來表示向量PQPQ？ 4，平面內(nèi)任意兩點平面內(nèi)任意兩點間的向量的坐標(biāo)：間的向量的坐標(biāo)：.14bababa3323, 13 , 2則練習(xí)：.154321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(2,1)B(-3,2)C(-1,3)D(x,y)2,(2 1),( 3,2),( 1 3),ABCDA B CAC BCD 例例 ：已已知知平平行行四四邊邊形形三三個個頂頂點點的的坐坐標(biāo)標(biāo) 分分別別為為 ，

10、求求的的坐坐標(biāo)標(biāo)； 求求頂頂點點 的的坐坐標(biāo)標(biāo)。.1603,( 2,4),(2,1), :123 | 4.P QPQPQPQPQa 例例 ：已已知知平平面面內(nèi)內(nèi)兩兩點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為求求） ；） 的的負(fù)負(fù)向向量量； ）； ） 的的單單位位向向量量6, ( , ),|ax ya 結(jié)結(jié)論論：則則2222(,)xyxyxy007, aaa 的的單單位位向向量量, ,則則22xy .171)(3,-1),(-1,-1),|2-| 2, .ABOAAB OBx OAy OBABx y 練練習(xí)習(xí)：已已知知點點求求: :；若若求求2)2( 4,3),2(3,4), .ababa b 已已知知求求平

11、行的單位向量。與反向的單位向量，求：與，）已知vubavbauba221 , 22 , 13.18復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)：1,1,向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)的的概概念念：axiy j 若若，( , )ax y 記記。11222,(,),(,),P xyQ xyPQ 則則2121(,)xxyy。11223,(,)(,)xyxy1212(,)xxyy11(,)xy 4,( , ),|ax ya 則則2222(,)xyxyxy00aaa 的的單單位位向向量量, ,則則22xy 1122(,),(,),|P xyQ xyPQ 則則| |221212()()xxyy11(,)xy.19第八八章平面向量的坐標(biāo)表示8.1.1 向量

12、的坐標(biāo)表示及其運算向量的坐標(biāo)表示及其運算8.1.2 向量的坐標(biāo)表示及其運算向量的坐標(biāo)表示及其運算.20觀察平行量觀察平行量 ,它們的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？它們的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？iOxyjabc, ,a b c 滿足這一關(guān)系的兩個向量必定平行嗎？滿足這一關(guān)系的兩個向量必定平行嗎？.21必要性：必要性：/ (0)a b a ，由平行向量基本定理知：，由平行向量基本定理知：存在唯一實數(shù)存在唯一實數(shù) ，使，使ba，則，則221111(,)( ,)(,)xyx yxy因此因此12211111()()x yx yxyx y0證：當(dāng)證：當(dāng) 時，充要條件顯然成立，現(xiàn)考慮時，充要條件顯然成立，現(xiàn)考慮0a 0a 的

13、情形，的情形， 此時此時 不全為零，不妨設(shè)不全為零，不妨設(shè)11,x y10 x 平面向量平行條件的坐標(biāo)表示平面向量平行條件的坐標(biāo)表示定理：已知任意向量定理：已知任意向量1122( ,),(,),ax ybxy的充要條件是的充要條件是12210 x yx y/a b .22證：當(dāng)證：當(dāng) 時，充要條件顯然成立，現(xiàn)考慮時，充要條件顯然成立，現(xiàn)考慮0a 0a 的情形，的情形， 此時此時 不全為零，不妨設(shè)不全為零，不妨設(shè)11,x y充分性：充分性：12210 x yx y22111(0)xyy xx則則222211(,)(,)xxyxyx2111( ,)xx yx令令 ，則，則21xxba，因此，因此/

14、a b 證畢證畢10 x 平面向量平行條件的坐標(biāo)表示平面向量平行條件的坐標(biāo)表示定理：已知任意向量定理：已知任意向量1122( ,),(,),ax ybxy的充要條件是的充要條件是12210 x yx y/a b .23特別地，若特別地，若 不平行于坐標(biāo)軸，不平行于坐標(biāo)軸，a110,0 xy，則上式可化為則上式可化為2211xyxy兩個向量平行的充分條件是相應(yīng)坐標(biāo)成比例兩個向量平行的充分條件是相應(yīng)坐標(biāo)成比例.即即abxyOabOy1xx1y2y2xabOyx平面向量平行條件的坐標(biāo)表示平面向量平行條件的坐標(biāo)表示定理：已知任意向量定理：已知任意向量1122( ,),(,),ax ybxy的充要條件是

15、的充要條件是12210 x yx y/a b .24a b 非非零零向向量量 , ,平平行行的的充充要要條條件件：(0)ba 1122(,),(,)axybxy 非非零零向向量量 = =平平行行的的充充要要條條件件：1122(,),(,)axybxy / /abba 2211(,)(,)xyxy 2121xxyy 1221x yx y 消消1221x yx y 說說明明：此此充充要要條條件件對對零零向向量量也也成成立立。三、向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示三、向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示.251:(32 ,5),(9,2),/ / ,atbtabab 例例已已知知且且求求 和和 的的坐坐標(biāo)標(biāo)。.2

16、62:( ,12),(4,5),(- ,10)A kBC kk例例已已知知三三點點共共線線， 求求 的的值值。.27:(4,5),(3,6),3 abkakbab 練練習(xí)習(xí) 已已知知求求實實數(shù)數(shù)使使與與平平行行，并并指指明明方方向向是是同同向向還還是是反反向向。.28例例2. 是坐標(biāo)原點，是坐標(biāo)原點，O( ,12),(4,5),OAkOB (10, )OCk，當(dāng)，當(dāng) 為何值時，為何值時， 三點共線？三點共線？k, ,A B C分析：分析： 三點共線的充要條件是三點共線的充要條件是, ,A B C/AB BC 解：解：(4, 7)ABOBOAk (6,5)BCOCOBk /AB BC (4) (

17、5)6 ( 7)0kk 化簡得：化簡得：29220kk解得：解得：2k 或或11因此因此 時，時， 三點共線三點共線.2k 或或11, ,A B C思考思考 取何值時，取何值時， 能夠構(gòu)成三角形？能夠構(gòu)成三角形？, ,A B Ck.291221212 P PPP PPP PPPP 定定義義：若若點點 是是直直線線上上異異于于 的的任任一一點點，若若實實數(shù)數(shù)使使得得分分為為定定比比 成成立立，則則點點 稱稱為為的的分分點點。 1P 2P P22120,PPPPPPPP 若若點點 與與 重重合合，則則所所以以不不成成立立。四、定比分點定義及公式四、定比分點定義及公式.30圖示圖示P在線段在線段P1

18、P2反向反向延長線上延長線上P在線段在線段P1P2延長線上延長線上P在線段在線段P1P2上上外分點外分點內(nèi)分點內(nèi)分點分點分點的位的位置置P P P12 2P P P12 2P P P12 2關(guān)關(guān)于于分分點點的的情情況況討討論論：0 1 10 1 特特別別的的時時，12PP P為為中中點點；12P PPP 0 時時，10,P P 1PP與與 點點重重合合；1 時時，12,P PPP ,1.P 不不存存在在這這樣樣的的點點所所以以.31練習(xí)：設(shè)線段的長為5cm，寫出點P分有向線段所成的比：21PP點P在 上， 1cm; 點P在 的延長線上， 10cm.21PP21PP21PP|1PP|2PP.32定定比比分分點點公公式式：例：已知 的坐標(biāo)分別為 ,求點P的坐標(biāo) 。),(),(2211yxyx12(1)P PPP 且且1,2P P121211xxxyyy 定定比比分分點點公公式式( , )x y121222xxxyyy =1,=1,中中點點公公式式.3311221,(,),(,)axybxy 復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)：向向量量平平行行的的充充要要條條件件：