高三數(shù)學一輪復習：函數(shù)的奇偶性與周期性含解析

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5函數(shù)的奇偶性與周期性 一、選擇題1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+)上單調遞增的函數(shù)是(b)(a)y=- (b)y=e|x|(c)y=-x2+3(d)y=cos x解析:y=-是奇函數(shù),選項a錯誤;y=e|x|是偶函數(shù)且在(0,+)上單調遞增,選項b正確;y=-x2+3是偶函數(shù)且在(0,+)上單調遞減,選項c錯誤;y=cos x是偶函數(shù)且在(0,+)上有時遞增,有時遞減,選項d錯誤.故選b.2.設f(x)是周期為2的奇函數(shù),當0x1時,f(x)=2x(1-x),則f等于(a)(a)-(b)-(c)(d)解析:由題意得f=-f=-f=-f=-2×&

2、#215;=-.故選a.3.已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在0,1)上單調遞增,記a=f(),b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關系為(a)(a)a>b=c(b)b>a=c(c)b>c>a(d)a>c>b解析:依題意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù),f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1);又f(3)=-f(2)=0,f(1)=-f(0)=0,又f(x)在0,1)上是增函數(shù),于是有f()>f(0)=f(2)=f(3),即a>b=c.故選a.4.(

3、20xx長春調研)設f(x)是定義在r上的增函數(shù),且對于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果實數(shù)m、n滿足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范圍是(a) (a)(9,49)(b)(13,49)(c)(9,25)(d)(3,7)解析:依題意得f(-x)=-f(x),因此由f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0得f(m2-6m+21)<-f(n2-8n)=f(-n2+8n).又f(x)是定義在r上的增函數(shù),于是有m2-6m+21<-n2+8n,即(m-3)2+(n-4)2<4.在坐標平面mon內(nèi)該不等式表示的是以

4、點(3,4)為圓心、2為半徑的圓內(nèi)的點,m2+n2可視為該平面區(qū)域內(nèi)的點(m,n)與原點間的距離的平方,結合圖形可知m2+n2的取值范圍是(9,49),選a.5.(20xx安徽省皖北高三大聯(lián)考)已知周期為2的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上是增函數(shù),則f(-6.5),f(-1),f(0)的大小關系是(b)(a)f(-6.5)<f(0)<f(-1)來源:(b)f(0)<f(-6.5)<f(-1)(c)f(-1)<f(-6.5)<f(0)(d)f(-1)<f(0)<f(-6.5)解析:由條件得f(-6.5)=f(6.5)=f(6+0.5)=f(0.5),

5、f(-1)=f(1),又f(x)在區(qū)間0,1上是增函數(shù),所以f(0)<f(0.5)<f(1),故f(0)<f(-6.5)<f(-1).故選b.6.(20xx山東濟南二模)設偶函數(shù)f(x)對任意xr,都有f(x+3)=-,且當x-3,-2時,f(x)=4x,則f(107.5)等于(b)(a)10(b)(c)-10(d)-解析:由于f(x+3)=-,所以f(x+6)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期等于6,又因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),于是f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=f(3+2.5)=-=-來源:=-=,故選b.二、填空題7.(2013宣城

6、市一模)已知f(x)=asin x+bx+c(a,b,cr),若f(0)=-2,f=1,則f=. 解析:由題設f(0)=c=-2,f=a+b-2=1所以f=-a-b-2=-5.答案:-5解析:由于函數(shù)f(x)的周期為5,所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又f(x)為r上的奇函數(shù),所以f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.答案:-19.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),f(1)=1,則f(3)=. 解析:法一根據(jù)條件可得f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1.法二使用特例法,尋求函數(shù)模型,令

7、f(x)=sin x,則f(x+1)=sin(x+)=cos x,滿足以上條件,所以f(3)=sin =-1.答案:-1三、解答題10.(20xx樂山市第一次調研考試)已知函數(shù)f(x)=-log2是奇函數(shù).(1)求m的值;(2)請討論它的單調性,并給予證明.解:(1)f(x)是奇函數(shù),f(-x) +f(x)=0,即-log2 +-log2 =0,即log2=0,則=1,解得m=1,其中m=-1(舍),經(jīng)驗證當m=1時,f(x)=-log2 (x(-1,0)(0,1)是奇函數(shù).(2)任取x1,x2(0,1),且設x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-log2 -+log2 =(-)+lo

8、g2(-1)-log2(-1).由->0,來源:log2(-1)-log2(-1)>0,得f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1)內(nèi)單調遞減;來源:由于f(x)是奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,所以函數(shù)f(x)在(-1,0)內(nèi)單調遞減.11.已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),且它的圖象關于直線x=1對稱.(1)求證:f(x)是周期為4的周期函數(shù);(2)若f(x)=(0<x1),求x-5,-4時,函數(shù)f(x)的解析式.(1)證明:由函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱,有f(x+1)=f(1-x).即有f(-x)=f(x+2).又函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x).從而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期為4的周期