高考數(shù)學(xué)理一輪知識點專題講座：函數(shù)的奇偶性與周期性含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5【名師面對面】20xx屆數(shù)學(xué)一輪知識點講座：考點6 函數(shù)的奇偶性與周期性（解析版）加（*）號的知識點為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用一、考綱目標(biāo)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.運(yùn)用函數(shù)圖像，理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)的奇偶性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性； 二、知識梳理（一）函數(shù)的奇偶性1.定義：如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x)，那么這個函數(shù)就是偶（奇）函數(shù)；2.性質(zhì)及一些結(jié)論：（1）定義域關(guān)于原點對稱；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱

2、；（3）為偶函數(shù)（4）若奇函數(shù)的定義域包含，則因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；（5）判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響； （6）斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：，（7）設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反（二）函數(shù)的周期性1.定義：若t為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，t叫做這個函數(shù)的一個周期2

3、.簡單理解：一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期，周期函數(shù)的定義域一定是無限集，但是我們可能只研究定義域的某個子集三、考點逐個突破 1奇偶性辨析例1.下面四個結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xr)，其中正確命題的個數(shù)是a1 b.2 c.3 d.4分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此正確，錯誤奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此不正確若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定xr，如例1中的(3)，故錯誤，選a說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域

4、關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)|x|(x21)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)；(5)f(x)(x1).解析 (1)此函數(shù)的定義域為r.f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)，f(x)f (x)，即f(x)是偶函數(shù)(2)此函數(shù)的定義域為x>0，由于定義域關(guān)于原點不對稱，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)此函數(shù)的定義域為2，由于定義域關(guān)于原點不對稱，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(4)此函數(shù)的定義域為1， 1，且f(x)0，可知圖像既關(guān)于原點對稱，又關(guān)于y軸對稱，故此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(5)定義域：1x<

5、1是關(guān)于原點不對稱區(qū)間，故此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)2.奇偶性的應(yīng)用例3.已知函數(shù)對一切，都有，（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，用表示解：（1）顯然的定義域是，它關(guān)于原點對稱.在中，令，得，令，得，即， 是奇函數(shù)（2）由，及是奇函數(shù)，得例4.（1）已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，則的解析式為（2）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，若，且，則 （） 例5設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，（1）討論的奇偶性； （2）求 的最小值解：（1）當(dāng)時， ，此時為偶函數(shù)；當(dāng)時，此時函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（2）當(dāng)時，函數(shù)，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且當(dāng)時，函數(shù)，若，則函數(shù)在上的最小值為，且；若，

6、則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上的最小值綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，當(dāng)，函數(shù)的最小值是3.函數(shù)周期性的應(yīng)用例6設(shè)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 011)解 (1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)當(dāng)x2,0時，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當(dāng)x2,4時，x4

7、2,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.從而求得x2,4時，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 011)0.4.單調(diào)性與奇偶性的交叉應(yīng)用例7.已知定義域為r的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)求a、b的值；若對任意的tr，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍解：f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，f(0)0，即0，b1，f(x)，又由f(1)f(1)知，解得a2.由知f(x)，易知f(x)在(，)上為減函數(shù)又f(x)是奇函數(shù)，從而不等式