高三數(shù)學(xué)教案第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性及極限的

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性及極限的應(yīng)用1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義: 如果函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=x0 處有定義， limf(x)存在，且 lim f( x)=f(x0 )，x x0x x0那么函數(shù)f(x)在點(diǎn) x=x0 處連續(xù) .2 .函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=x0 處連續(xù)必須滿足下面三個(gè)條件.(1)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=x0 處有定義；(2) lim f(x)存在；x x0(3) lim f(x)=f(x0)，即函數(shù)f(x)在點(diǎn) x0 處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值.x x0如果上述三個(gè)條件中有一個(gè)條件不滿足，就說函數(shù)f(x)在點(diǎn) x0處不連續(xù) .那根據(jù)這三個(gè)條件，我們就可以給出函數(shù)在一

2、點(diǎn)連續(xù)的定義3.函數(shù)連續(xù) 性的運(yùn)算:若 f(x) ， g(x) 都在點(diǎn) x 處連續(xù)，則 f(x)± g(x) ， f(x) ?g(x)， f ( x)(g(x) 0)也在點(diǎn)0g ( x)x0 處連續(xù)。若 u(x) 都在點(diǎn) x0 處連續(xù)， 且 f(u) 在 u0=u(x 0)處連續(xù) ,則復(fù)合函數(shù)fu(x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)。4.函數(shù) f(x)在( a， b)內(nèi)連續(xù)的定義：如果函數(shù) f(x)在某一開區(qū)間 (a，b) 內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，就說函數(shù) f(x)在開區(qū)間 (a，b)內(nèi)連續(xù)，或 f(x)是開區(qū)間 (a， b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù).f(x)在開區(qū)間 (a， b)內(nèi)的每一點(diǎn)以及在a、 b 兩點(diǎn)都

3、連續(xù)，現(xiàn)在函數(shù)f(x)的定義域是 a，b，若在 a 點(diǎn)連續(xù)，則f( x)在 a 點(diǎn)的極限存在并且等于f(a)，即在 a 點(diǎn)的左、右極限都存在，且都等于f(a)， f(x)在 (a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處連續(xù)，在a 點(diǎn)處右極限存在等于f(a) ，在 b 點(diǎn)處左極限存在等于f(b).5.函數(shù) f(x)在 a， b上連續(xù)的定義：如果 f(x)在開區(qū)間 ( a，b)內(nèi)連續(xù)，在左端點(diǎn)x=a 處有 limf(x)=f(a)，在右端點(diǎn) x=b 處有x alim f(x)= f(b),就說函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a， b上連續(xù) ,或 f(x)是閉區(qū)間 a， b上的連續(xù)函 x b數(shù).6. 最大值最小值定理如果 f(x

4、)是閉區(qū)間 a， b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間 a， b上有最大值和最小值7.特別注意：函數(shù)f(x) 在 x=x 0 處連續(xù)與函數(shù) f(x)在 x=x 0 處有極限的聯(lián)系與區(qū)別。 “連續(xù)必有極限，有極限未必連續(xù)。 ”二、問題討論點(diǎn)擊雙基1.f（ x）在 x=x0 處連續(xù)是 f（ x）在 x=x0 處有定義的 _條件 .A. 充分不必要B. 必要不充分C.充要D. 既不充分又不必要解析： f（ x）在 x=x0 處有定義不一定連續(xù).學(xué)習(xí)必備歡迎下載答案： Acos2.f（ x） =x 的不連續(xù)點(diǎn)為cosxA. x=02（ k=0,± 1,± 2,）B. x=2k1C.

5、x=0 和 x=2k（ k=0, ± 1,± 2,）2（ k=0, ± 1,±2,）D. x=0 和 x=12k解析：由 cos （ k Z） , x=2)=0,得(kZ.x=k +2k 1x2又 x=0 也不是連續(xù)點(diǎn) ,故選 D答案： D3.下列圖象表示的函數(shù)在x=x0 處連續(xù)的是yyOx0xOx0xyyA. Ox0xOx 0xB. C.D.答案： A4.四個(gè)函數(shù) : f（ x） =1; g（ x） =sinx;f （ x）=|x|;f （ x） =ax3+bx2+cx+d.其中在 x=0x處連續(xù)的函數(shù)是_.（把你認(rèn)為正確的代號(hào)都填上）答案：例 1：討

6、論下列函數(shù)在給定點(diǎn)或區(qū)間上的連續(xù)性1(1) f ( x)ex1(x0)，點(diǎn) x=01；ex11(x0)(2) f ( x)x22( x1)，點(diǎn) x= 1。x4(x1)學(xué)習(xí)必備歡迎下載111ex1解：（ 1）當(dāng) x 0， lim e x0時(shí)，x，因此 lim 1= 1，x 0x0ex11而 limex1=lim(12) =1 ， lim f ( x)limf ( x) ，11x0ex1x0e x1x0x0 f ( x) 在 x=0 處極限不存在，因此f (x) 在 x=0 處不連續(xù)。（ 2） limf (x)lim ( x 22)3， lim f ( x)lim( x4)3 ， f (1) 3，

7、x1x1x1x1 limf ( x)3f (1) ，因此函數(shù)f ( x) 在 x= 1 處連續(xù)。x1【思維點(diǎn)撥】 函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)左、右連續(xù)（閉區(qū)間的端點(diǎn)例外）。例2.(優(yōu)化 P208例1)1(x>0)討論函數(shù) f(x)=0(x=0),在點(diǎn)x處的連續(xù)性(1)0-1(x<0)(2) 討論函數(shù) f(x)=x在區(qū)間 0,3 上的連續(xù)性x-3剖析：（ 1）需判斷 limf（ x） = limf（ x） =f（ 0） .x 0x0（ 2）需判斷 f（ x）在（ 0,3）上的連續(xù)性及在 x=0 處右連續(xù) ,在 x=3 處左連續(xù) .解 :（ 1） lim f （x） = 1,li

8、m f（ x） =1,x 0x0limf（ x）limf（x） ,x0x0 lim f（ x）不存在 . f（ x）在 x=0 處不連續(xù) .x 0（ 2） f（x）在 x=3 處無定義 , f（ x）在 x=3 處不連續(xù) . f （ x）在區(qū)間 0,3上不連續(xù) .練習(xí)：討論函數(shù)x 24f ( x) 在區(qū)間 ( 3,3)f ( x)的連續(xù)性；適當(dāng)定義某點(diǎn)的函數(shù)值，使x2內(nèi)連續(xù)。解： 顯然函數(shù)的定義域?yàn)?(,2) (2, ) ，當(dāng) x2 時(shí)， f ( x)x 2 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 f (x) 在 (,2) 上連續(xù)，在 (2,) 上連續(xù)。而 f ( x) 在 x2 處不連續(xù)。又 limx24lim

9、 ( x2) 4 ，不妨設(shè) f (2)4 ，x2x2x 2x24( x2)此時(shí)， f ( x) 在區(qū)間 ( 3,3)于是x2內(nèi)連續(xù)。f ( x)( x2)4例3.(優(yōu)化 P208例2)設(shè)函數(shù) f(x)=ex(x0)a x (x0)當(dāng)a為何值時(shí) , 函數(shù) f(x) 是連續(xù)的解 : lim f（ x） =lim（ a+x） =a, lim f（ x） =lim ex=1, 而 f（ 0） =a, 故當(dāng) a=1時(shí) ,x 0x 0x0x 0limf（ x）=f （0） ,x 0即說明函數(shù)f（ x）在 x=0 處連續(xù) ,而在 x0 時(shí) ,f （x）顯然連續(xù) ,于是我們可判斷當(dāng)a=1時(shí),f（ x）在（ ,

10、+）內(nèi)是連續(xù)的 .評(píng)述：分段函數(shù)討論連續(xù)性 ,一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限,進(jìn)而斷定連續(xù)性 .例 4.如圖 ,在大沙漠上進(jìn)行勘測(cè)工作時(shí),先選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),然后采用如下方法: 從原點(diǎn)出發(fā) ,在 x 軸上向正方向前進(jìn)a(a>0)個(gè)單位后 ,向左轉(zhuǎn)900,前進(jìn) ar(0<r<1) 個(gè)單位 ,再向左轉(zhuǎn)900 ,以前進(jìn)ar2 個(gè)單位, .,如此連續(xù)下去(1)若有一小分隊(duì)出發(fā)后與設(shè)在原點(diǎn)處的大本營失去聯(lián)系,且可以斷定此小分隊(duì)的行動(dòng)與原定方案相同,則大本營在何處尋找小分隊(duì)?y(2)若其中的 r為變量 ,且 0<r<1 ,則行動(dòng)的最終目的地在怎樣的一條直線上?備用：Ox例題： 利用連續(xù)函數(shù)的圖象特征，判斷方程：2x35x 10 是否存在實(shí)數(shù)根。解：設(shè) f (x)2 x35x1 ，則 f (x) 在 R 上連續(xù)，又f (0)1, f (3)38 0 ，因此在 3， 0 內(nèi)必存在點(diǎn) x0 使得 f (x0 )0 ，所以 x0 是方程 2x35x10 的一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此方程 2x 35x10 有實(shí)根。學(xué)習(xí)必備歡迎下載【思維點(diǎn)撥】 要判斷方程是否有實(shí)根，即判斷對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)yf (x) 的圖象是否與x 軸有交點(diǎn)。