高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：9.4兩個平面平行教案含習(xí)題及答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.59.4 兩個平面平行知識梳理1.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面的兩條相交直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.2.兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面都與第三個平面相交，那么交線平行.點(diǎn)擊雙基1.（2005年春季北京，3）下列命題中，正確的是a.經(jīng)過不同的三點(diǎn)有且只有一個平面b.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線c.垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線d.垂直于同一個平面的兩個平面平行答案：c2.設(shè)a、b是兩條互不垂直的異面直線，過a、b分別作平面、，對于下面四種情況：b，b，.其中可能的情況有a.1種 b.2種 c.3種 d.4種解析：

2、都有可能，不可能，否則有ba與已知矛盾.答案：c3.、是兩個不重合的平面，a、b是兩條不同直線，在下列條件下，可判定的是a.、都平行于直線a、bb.內(nèi)有三個不共線點(diǎn)到的距離相等c.a、b是內(nèi)兩條直線，且a，bd.a、b是兩條異面直線且a，b，a，b解析：a錯，若ab，則不能斷定；b錯，若a、b、c三點(diǎn)不在的同一側(cè)，則不能斷定；c錯，若ab，則不能斷定；d正確.答案：d4.a、b、為三條不重合的直線，、為三個不重合的平面，直線均不在平面內(nèi)，給出六個命題：其中正確的命題是_.（將正確的序號都填上）答案：典例剖析【例1】 設(shè)平面平面，ab、cd是兩條異面直線，m、n分別是ab、cd的中點(diǎn)，且a、c，

3、b、d，求證：mn平面.剖析：因為ab與cd是異面直線，故mn與ac、bd不平行.在平面、中不易找到與mn平行的直線，所以試圖通過證線線平行達(dá)到線面平行這一思路受阻，于是轉(zhuǎn)而考慮通過證面面平行達(dá)到線面平行，即需找一個過mn且與平行的平面.根據(jù)m、n是異面直線上的中點(diǎn)這一特征，連結(jié)bc，則此時ab、bc共面，即bc為溝通ab、cd的橋梁，再取bc的中點(diǎn)e，連結(jié)me、ne，用中位線知識可證得.證明：連結(jié)bc、ad，取bc的中點(diǎn)e，連結(jié)me、ne，則me是bac的中位線，故meac，me，me.同理可證，nebd.又，設(shè)cb與dc確定的平面bcd與平面交于直線cf，則cfbd，necf.而ne平面，

4、cf，ne.又mene=e，平面mne，而mn平面mne，mn平面.【例2】 如下圖，在空間六邊形（即六個頂點(diǎn)沒有任何五點(diǎn)共面）abcc1d1a1中，每相鄰的兩邊互相垂直，邊長均等于a，并且aa1cc1.求證：平面a1bc1平面acd1.證法一：作正方形bcc1b1和cc1d1d，并連結(jié)a1b1和ad.aa1cc1bb1dd1，且aa1ab，aa1a1d1，abb1a1和aa1d1d都是正方形，且acc1a1是平行四邊形.故它們的對應(yīng)邊平行且相等.abca1b1c1，a1b1b1c1.同理，adcd.bb1ab，bb1bc，bb1平面abc.同理，dd1平面acd.bb1dd1，bb1平面ac

5、d.a、b、c、d四點(diǎn)共面.abcd為正方形.同理，a1b1c1d1也是正方形.故abcda1b1c1d1是正方體.易知a1c1ac，a1c1平面acd1.同理，bc1平面acd1，平面a1bc1平面acd1.證法二：證abcda1b1c1d1是正方體，同上.連結(jié)b1d、b1d1，則b1d1是b1d在底面abcd上的射影，由三垂線定理知b1da1c1，同理可證b1dba1，b1d平面a1bc1.同理可證，b1d平面acd1，平面a1bc1平面acd1.思考討論證明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；證明兩個平面垂直于同一條直線.【例3】 如下圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m、

6、n、p分別是c1c、b1c1、c1d1的中點(diǎn)，求證：（1）apmn；（2）平面mnp平面a1bd.證明：（1）連結(jié)bc1、b1c，則b1cbc1，bc1是ap在面bb1c1c上的射影.apb1c.又b1cmn，apmn.（2）連結(jié)b1d1，p、n分別是d1c1、b1c1的中點(diǎn)，pnb1d1.又b1d1bd，pnbd.又pn不在平面a1bd上，pn平面a1bd.同理，mn平面a1bd.又pnmn=n，平面pmn平面a1bd.評述：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵在于選擇或添加適當(dāng)?shù)钠矫婊蚓€.由于m、n、p都為中點(diǎn)，故添加b1c、bc1作為聯(lián)系的橋梁.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1

7、.（2003年上海）在下列條件中，可判斷平面與平行的是a.、都垂直于平面b.內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等c.l、m是內(nèi)兩條直線，且l，md.l、m是兩條異面直線，且l，m，l，m答案：d2.設(shè)平面，a、c，b、d，直線ab與cd交于s，若as=18，bs=9，cd=4，則cs=_.解析：如圖（1），由可知bdac，=，即=，sc=68.如圖（2），由知acbd，=，即=.sc=.答案：68或3.如圖甲，在透明塑料制成的長方體abcda1b1c1d1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊bc于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個命題：水的部分始終呈棱柱狀；水面四邊形efgh的面積不改

8、變；棱a1d1始終與水面efgh平行；當(dāng)容器傾斜如圖乙時，ef·bf是定值.其中正確命題的序號是_.解析：對于命題，由于bc固定，所以在傾斜的過程中，始終有adehfgbc，且平面aefb平面dhgc，故水的部分始終呈棱柱狀（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且bc為棱柱的一條側(cè)棱，命題正確.對于命題，當(dāng)水是四棱柱或五棱柱時，水面面積與上下底面面積相等；當(dāng)水是三棱柱時，則水面面積可能變大，也可能變小，故不正確.是正確的（請給出證明）.是正確的，由水的體積的不變性可證得.綜上所述，正確命題的序號是.答案：4.如下圖，兩條線段ab、cd所在的直線是異面直線，cd平面，ab，m、n分別是ac、bd

9、的中點(diǎn)，且ac是ab、cd的公垂線段.（1）求證：mn；（2）若ab=cd=a，ac=b，bd=c，求線段mn的長.（1）證明：過b作bb，垂足為b，連結(jié)cb、db，設(shè)e為bd的中點(diǎn)，連結(jié)ne、ce，則nebb且ne=bb，又ac=bb，mcne，即四邊形mcen為平行四邊形（矩形）.mnce.又ce，mn，mn.（2）解：由（1）知mn=ce，ab=cb=a=cd，bd=，ce=，即線段mn的長為.5.如下圖，在正方體abcda1b1c1d1中，ab=a.（1）求證：平面ad1b1平面c1db；（2）求證：a1c平面ad1b1；（3）求平面ab1d1與平面bc1d之間的距離.（1）證明：d1

10、b1db，d1b1平面c1db.同理，ab1平面c1db.又d1b1ab1=b1，平面ad1b1平面c1db.（2）證明：a1c1d1b1，而a1c1為a1c在平面a1b1c1d1上的射影，a1c1d1b1.同理，a1cab1，d1b1ab1=b1.a1c平面ad1b1.（3）解：設(shè)a1c平面ab1d1=m，a1c平面bc1d=n，o1、o分別為上底面a1b1c1d1、下底面abcd的中心.則mao1，nc1o，且ao1c1o，mn的長等于平面ad1b1與平面c1db的距離，即mn=a1m=nc=a1c=a.培養(yǎng)能力6.如下圖，直線a直線b，a平面，b平面，平面，平面，a與b所確定的平面不與垂

11、直.如果a、b不是的垂線，則必有.證明：令=直線a，=直線b.分別過a、b上任一點(diǎn)在內(nèi)、內(nèi)作a、b的垂線m、n.根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，m，n.mn.a不垂直于，m，且a、m在內(nèi)，a與m必是相交直線.又b與n在內(nèi)，且有ab，mn，a，m.點(diǎn)評：根據(jù)ab，在、內(nèi)另找一對平行線.由、，聯(lián)想到平面垂直的性質(zhì)定理.本例溝通了平行與垂直、線線與線面及面面之間的聯(lián)系.7.如下圖，已知平面平面平面，且位于與之間.點(diǎn)a、d，c、f，ac=b，df=e.（1）求證：=；（2）設(shè)af交于m，acdf，與間距離為h，與間距離為h，當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r，bem的面積最大?（1）證明：連結(jié)bm、em、be.，平面acf分別

12、交、于bm、cf，bmcf.=.同理，=.=.（2）解：由（1）知bmcf，=.同理，=.s=cf·ad（1）sinbme.據(jù)題意知，ad與cf是異面直線，只是在與間變化位置.故cf、ad是常量，sinbme是ad與cf所成角的正弦值，也是常量，令hh=x.只要考查函數(shù)y=x（1x）的最值即可，顯然當(dāng)x=，即= 時，y=x2+x有最大值.當(dāng)= ，即在、兩平面的中間時，s最大.8.如下圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m、n、e、f分別是棱a1b1、a1d1、b1c1、c1d1的中點(diǎn)，ab=a.（1）求證：平面amn平面efdb；（2）求異面直線be與mn之間的距離.（1）證明：

13、mnef，mn平面efdb.又amdf，am平面efdb.而mnam=m，平面amn平面efdb.（2）解：be平面efdb，mn平面amn，且平面amn平面efdb，be與mn之間的距離等于兩平行平面之間的距離.作出這兩個平面與平面a1acc1的交線ap、oq，作ohap于h.db平面a1acc1，dboh.而mndb，ohmn.則oh平面amn.a1p=a，ap= a，設(shè)a1ap=，則cos=，oh=ao·sin=a· a=a.異面直線be與mn的距離是a.探究創(chuàng)新9.科學(xué)植樹的一個重要因素就是要考慮陽光對樹生長的作用.現(xiàn)在準(zhǔn)備在一個朝正南方向傾角為的斜坡上種樹，假設(shè)樹

14、高為h m，當(dāng)太陽在北偏東而仰角為時，該樹在坡面上的影長為多少米？分析：如下圖，de是高度為h的樹，斜坡ad朝正南方向，ab為東西方向，bc為南北方向.cbd=，acb=，eac=，aed=90°，影長ad=x為未知量.但x難以直接與上述諸已知量發(fā)生聯(lián)系，故設(shè)dac=為輔助未知量，以揭示x與諸已知量之間的數(shù)量關(guān)系，作為溝通橋梁.解：在ade中，=，即=.在acd中，cd=xsin，ac=xcos.在abc中，bc=accos=xcoscos.在bcd中，tan=.由推得x=.由推得tan=tancos，即=arctan（tancos）.代入，即得樹在坡面上的影長.思悟小結(jié)證明兩平面平

15、行的方法：（1）利用定義證；（2）利用判定定理證；（3）利用“垂直于同一直線的兩個平面平行”來證.面面平行常常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行.所以注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，在處理兩異面直線有關(guān)的問題中，通常采用過其中一直線上的一點(diǎn)作另一條直線的平行線或直接連結(jié)的方法，即搭橋的方法，把異面問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而應(yīng)用平面幾何知識加以解決.兩平面平行的性質(zhì)定理是證明空間兩直線平行的重要依據(jù)，故應(yīng)切實掌握好.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.結(jié)合圖形使學(xué)生熟練地掌握兩個平面平行的判定定理及性質(zhì)定理.2.判定兩個平面平行是本節(jié)的重點(diǎn)，除了依據(jù)定義、判定定理外，還可用垂直于同一條直線的兩個平面平行；法向量

16、平行的兩個平面也平行等.3.為了應(yīng)用兩平面平行的條件，往往作第三個平面與它們相交.拓展題例【例1】 下列命題中，錯誤的是a.三角形的兩條邊平行于一個平面，則第三邊也平行于這個平面b.平面平面，a，過內(nèi)的一點(diǎn)b有唯一的一條直線b，使bac.，、的交線為a、b、c、d，則abcd d.一條直線與兩個平面成等角是這兩個平面平行的充要條件解析：d錯誤.當(dāng)兩平面平行時，則該直線與兩個平面成等角；反之，如果一條直線與兩個平面成等角，這兩個平面可能是相交平面.如下圖，直線ab與、都成45°角，但=l.答案：d【例2】 在四棱錐pabcd中，abcd是矩形，pa平面abcd，m、n分別是ab、pc的中點(diǎn).（1）求證：mn平面pad；（2）當(dāng)mn平面pcd時，求二面角pcdb的大小.（1）證明：取cd的中點(diǎn)e