高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：9.10棱柱與棱錐教案含習(xí)題及答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.59.10 棱柱與棱錐知識(shí)梳理1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面的公共邊互相平行的多面體叫做棱柱.側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.2.棱柱的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是平行四邊形；長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方等于由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和.3.一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.4.棱錐中與底面平行的截面與底面平行，并且它們面積的比等于對(duì)應(yīng)高的平方比.在正棱錐中，側(cè)棱、高及側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影構(gòu)成直角三角

2、形.點(diǎn)擊雙基1.設(shè)m=正四棱柱，n=直四棱柱，p=長(zhǎng)方體，q=直平行六面體，則四個(gè)集合的關(guān)系為a.mpnq b.mpqnc.pmnqd.pmqn解析：理清各概念的內(nèi)涵及包含關(guān)系.答案：b2.如圖，在斜三棱柱abca1b1c1中，bac=90°，bc1ac，則c1在底面abc上的射影h必在a.直線ab上 b.直線bc上c.直線ac上d.abc內(nèi)部解析：由acab，acbc1，知ac面abc1，從而面abc1面abc，因此，c1在底面abc上的射影h必在兩面的交線ab上.答案：a3.將邊長(zhǎng)為a的正方形abcd沿對(duì)角線ac折起，使bd=a，則三棱錐dabc的體積為a. b. c. a3 d

3、. a3答案：d4.（2003年春季上海）若正三棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于_.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解析：取bc的中點(diǎn)d，連結(jié)sd、ad，則sdbc，adbc.sda為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，設(shè)為.在平面sad中，作soad與ad交于o，則so為棱錐的高.ao=2do，od=.又vsabc=·ab·bc·sin60°·h=1，h=.tan=.=arctan.答案：arctan5.過(guò)棱錐高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比（自上而下）為_.解析：由錐體平行于底面的截面

4、性質(zhì)知，自上而下三錐體的側(cè)面積之比，s側(cè)1s側(cè)2s側(cè)3=149，所以錐體被分成三部分的側(cè)面積之比為135.答案：135典例剖析【例1】 已知e、f分別是棱長(zhǎng)為a的正方體abcda1b1c1d1的棱a1a、cc1的中點(diǎn)，求四棱錐c1b1edf的體積.解法一：連結(jié)a1c1、b1d1交于o1，過(guò)o1作o1hb1d于h，efa1c1，a1c1平面b1edf.c1到平面b1edf的距離就是a1c1到平面b1edf的距離.平面b1d1d平面b1edf，o1h平面b1edf，即o1h為棱錐的高.b1o1hb1dd1，o1h=a，v=s·o1h=··ef·b1d

5、3;o1h=··a·a·a=a3.解法二：連結(jié)ef，設(shè)b1到平面c1ef的距離為h1，d到平面c1ef的距離為h2，則h1+h2=b1d1=a，v=v+v=·s·（h1+h2）= a3.解法三：v=vvv=a3.特別提示求體積常見方法有：直接法（公式法）；分割法；補(bǔ)形法.【例2】 如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，pa=ab=2，bc=a，又側(cè)棱pa底面abcd.（1）當(dāng)a為何值時(shí)，bd平面pac?試證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)a=4時(shí)，求d點(diǎn)到平面pbc的距離.（3）當(dāng)a=4時(shí)，求直線pd與平面pbc所成的角.剖析：本題

6、主要考查棱錐的性質(zhì)，直線、平面所成的角的計(jì)算和點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識(shí).同時(shí)考查空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力.本題主要是在有關(guān)的計(jì)算中，推理得到所求的問(wèn)題，因而盡量選擇用坐標(biāo)法計(jì)算.解：（1）以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ad、ab、ap所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)a=2時(shí)，bdac，又pabd，故bd平面pac.故a=2.（2）當(dāng)a=4時(shí)，d（4，0，0）、c（0，2，0）、c（4，2，0）、p（0，0，2）、 =（0，2，2），=（4，0，0）.設(shè)平面pbc的法向量為n，則n·=0，n·=0，即（x，y，z）·（0，2，2）=0，（x，y，

7、z）·（4，0，0）=0，得x=0，y=z，取y=1，故n=（0，1，1）.則d點(diǎn)到平面pbc的距離d=.（3） =（4，0，2），cos，n=>0，證，n=，設(shè)直線pd與平面pbc所成的角為，則sin=sin（）=cos=.所以直線pd與平面pbc所成的角為arcsin.【例3】 如圖，設(shè)三棱錐sabc的三個(gè)側(cè)棱與底面abc所成的角都是60°，又bac=60°，且sabc.（1）求證：sabc為正三棱錐；（2）已知sa=a，求sabc的全面積.（1）證明：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，兩個(gè)條件缺一不可.作三棱錐sabc的高

8、so，o為垂足，連結(jié)ao并延長(zhǎng)交bc于d.因?yàn)閟abc，所以adbc.又側(cè)棱與底面所成的角都相等，從而o為abc的外心，od為bc的垂直平分線，所以ab=ac.又bac=60°，故abc為正三角形，且o為其中心.所以sabc為正三棱錐.（2）解：只要求出正三棱錐sabc的側(cè)高sd與底面邊長(zhǎng)，則問(wèn)題易于解決.在rtsao中，由于sa=a，sao=60°，所以so=a，ao=a.因o為重心，所以ad=ao=a，bc=2bd=2adcot60°=a，od=ad=a.在rtsod中，sd2=so2od2=（a）2（a）2=，則sd=a.于是，（ssabc）全=·

9、（a）2sin60°3··a·a=a2.深化拓展（1）求正棱錐的側(cè)面積或全面積還可以利用公式s正棱錐底=cos·s正棱錐側(cè)（為側(cè)面與底面所成的二面角）.就本題cos=，s=a2，所以（ssabc）側(cè)=a2÷=a2.于是也可求出全面積.（2）注意到高so=a，底面邊長(zhǎng)bc=a是相等的，因此這類正三棱錐還有高與底面邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，反之亦真.（3）正三棱錐中，若側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，則變成四個(gè)面都是正三角形的三棱錐，這時(shí)可稱為正四面體，因此正四面體是特殊的正三棱錐，但正三棱錐不一定是正四面體.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2004年全國(guó)，10）已知正

10、四面體abcd的表面積為s，其四個(gè)面的中心分別為e、f、g、h.設(shè)四面體efgh的表面積為t，則等于a. b. c. d. 解析：如圖所示，正四面體abcd四個(gè)面的中心分別為e、f、g、h，四面體efgh也是正四面體.連結(jié)ae并延長(zhǎng)與cd交于點(diǎn)m，連結(jié)ag并延長(zhǎng)與bc交于點(diǎn)n.e、g分別為面的中心，=.=.又mn=bd，=.面積比是相似比的平方，=.答案：a2.p是長(zhǎng)方體ac1上底面a1c1內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)ap與三條棱aa1、ab、ad所成的角為、，則cos2+cos2+cos2的值是a.1b.2c. d.不確定正解析：以ap為一條對(duì)角線截得小長(zhǎng)方體ap，由長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)定理可得cos2+cos

11、2+cos2=1.答案：a3.在正四棱柱abcda1b1c1d1中，e、f、g、h分別是棱cc1、c1d1、d1d、dc的中點(diǎn)，n是bc的中點(diǎn)，點(diǎn)m在四邊形efgh的邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則m只需滿足條件_時(shí)，就有mnac.答案：點(diǎn)m與f重合說(shuō)明：本題答案不唯一，當(dāng)點(diǎn)m在線段fh上時(shí)均有mnac.4.在三棱錐sabc中，asb=asc=bsc=60°，則側(cè)棱sa與側(cè)面sbc所成的角的大小是_.答案：arccos5.三棱錐一條側(cè)棱長(zhǎng)是16 cm，和這條棱相對(duì)的棱長(zhǎng)是18 cm，其余四條棱長(zhǎng)都是17 cm，求棱錐的體積.解：如圖，取ad的中點(diǎn)e，連結(jié)ce、be，ac=cd=17，de=8，ce

12、2=17282=225，be=ce，取bc的中點(diǎn)f，連結(jié)ef，ef為bc邊上的高，ef=12.s=108.ac=cd=17cm，e為ad的中點(diǎn)，cead，同理bead，da平面bce.三棱錐可分為以底面bce為底，以ae、de為高的兩個(gè)三棱錐.vabcd=vabce+vdbce=2·s·ae=2××108×8=576（cm3）.6.（2003年春季北京）如圖，正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，e、f分別為棱ab、bc的中點(diǎn)，efbd=g.（1）求證：平面b1ef平面bdd1b1；（2）求點(diǎn)d1到平面b1ef的距離d.

13、（1）證法一：連結(jié)ac.正四棱柱abcda1b1c1d1的底面是正方形，acbd.又acd1d，ac平面bdd1b1.e、f分別為ab、bc的中點(diǎn)，故efac.ef平面bdd1b1.平面b1ef平面bdd1b1.證法二：be=bf，ebd=fbd=45°，efbd.又efd1d，ef平面bdd1b1.平面b1ef平面bdd1b1.（2）在對(duì)角面bdd1b1中，作d1hb1g，垂足為h.平面b1ef平面bdd1b1，且平面b1ef平面bdd1b1=b1g，d1h平面b1ef，且垂足為h.點(diǎn)d1到平面b1ef的距離d=d1h.解法一：在rtd1hb1中，d1h=d1b1·sin

14、d1b1h.d1b1=a1b1=·2=4，sind1b1h=sinb1gb=，d=d1h=4·=.解法二：d1hb1b1bg，=.d=d1h=.解法三：連結(jié)d1g，則d1gb1的面積等于正方形dbb1d1面積的一半，即·b1g·d1h=b1b2，d=d1h= . 培養(yǎng)能力7.在正三棱柱abca1b1c1中，ab1=bb1，（1）求證：ab1bc1；（2）求二面角abc1c的正切值.（1）證法一：如圖，取bc的中點(diǎn)m，連結(jié)b1m、bc1交于n，則am面bc1.下證bc1b1m.設(shè)bb1=1，則ab1=，ab=bc=，tanb1mb=tanb1bc1.得b1

15、mbb1bn.b1bm=90°=b1nb，即bc1b1m.bc1斜線ab1.證法二：如圖，取b1c1和b1b的中點(diǎn)e與d，連結(jié)ed，則debc1.再取ab的中點(diǎn)g，連結(jié)dg，則dgab1，gde為異面直線ab1、bc1所成的角.下用勾股定理證明gde為直角.取a1b1的中點(diǎn)f，連結(jié)ef、eg、fg，則eg=且de、dg均可表示出.故可知eg2=de2dg2，gde=90°.（2）解：連結(jié)an，則anm為所求二面角的平面角，tananm=3.評(píng)述：本題（1）證法一中可把面bb1c1c單獨(dú)拿出作成平面圖形，則易于觀察b1mb與b1nb的相似關(guān)系.證法二的特點(diǎn)是思路較好.因?yàn)樗C

16、為兩異面直線，作出其所成角為一般方法.8.（2005年春季北京，文16）如圖，正三棱錐sabc中，底面的邊長(zhǎng)是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，m是bc的中點(diǎn).求：（1）的值；（2）二面角sbca的大?。唬?）正三棱錐sabc的體積.解：（1）sb=sc，ab=ac，m為bc的中點(diǎn)，smbc，ambc.由棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，即3×bc×sm=2×bc×am，得=.（2）作正三棱錐的高sg，則g為正三角形abc的中心，g在am上，gm=am.smbc，ambc，sma是二面角sbca的平面角.在rtsgm中，sm=am=×3gm=2gm

17、，sma=smg=60°，即二面角sbca的大小為60°.（3）abc的邊長(zhǎng)是3，am=，gm=，sg=gmtan60°=·= .vsabc= s·sg=··=.（2005年春季北京，理16）如圖，正三角形abc的邊長(zhǎng)為3，過(guò)其中心g作bc邊的平行線，分別交ab、ac于b1、c1.將ab1c1沿b1c1折起到a1b1c1的位置，使點(diǎn)a1在平面bb1c1c上的射影恰是線段bc的中點(diǎn)m.求：（1）二面角a1b1c1m的大??；（2）異面直線a1b1與cc1所成角的大小.（用反三角函數(shù)表示）解：（1）連結(jié)am、a1g.g是正三角形a

18、bc的中心，且m為bc的中點(diǎn)，a、g、m三點(diǎn)共線，ambc.b1c1bc，b1c1am于點(diǎn)g，即gmb1c1，ga1b1c1.a1gm是二面角a1b1c1m的平面角.點(diǎn)a1在平面bb1c1c上的射影為m，a1mmg，a1mg=90°.在rta1gm中，由a1g=ag=2gm，得a1gm=60°，即二面角a1b1c1m的大小是60°.（2）過(guò)b1作c1c的平行線交bc于點(diǎn)p，則a1b1p等于異面直線a1b1與cc1所成的角.由pb1c1c是平行四邊形得b1p=c1c=1=bp，pm=bmbp=，a1b1=ab1=2.a1m面bb1c1c于點(diǎn)m，a1mbc，a1mp=

19、90°.在rta1gm中，a1m=a1g·sin60°=·=.在rta1mp中，a1p2=a1m2+pm2=（）2+（）2=.在a1b1p中，由余弦定理得cosa1b1p=，異面直線a1b1與cc1所成角的大小為arccos.探究創(chuàng)新9.（2004年天津，理19）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，側(cè)棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中點(diǎn)，作efpb交pb于點(diǎn)f.（1）證明：pa平面edb；（2）證明：pb平面efd；（3）求二面角cpbd的大小.解法一：（1）證明：連結(jié)ac交bd于o.連結(jié)eo.底面abcd是正方形，點(diǎn)o是ac的中

20、點(diǎn).在pac中，eo是中位線，paeo.而eo平面edb且pa平面edb，pa平面edb.（2）證明：pd底面abcd且dc底面abcd，pddc.pd=dc，可知pdc是等腰直角三角形.而de是斜邊pc的中線，depc.同樣由pd底面abcd，得pdbc.底面abcd是正方形，有dcbc，bc平面pdc.而de平面pdc，bcde.由和推得de平面pbc.而pb平面pbc，depb.又efpb且deef=e，所以pb平面efd.（3）解：由（2）知pbdf，故efd是二面角cpbd的平面角.由（2）知，deef，pddb.設(shè)正方形abcd的邊長(zhǎng)為a，則pd=dc=a，bd=a，pb=a，pc

21、=a，de=pc=a.在rtpdb中，df=a.在rtefd中，sinefd=，efd=.二面角cpbd的大小為.解法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，d為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)dc=a.（1）證明：連結(jié)ac交bd于g.連結(jié)eg.依題意得a（a，0，0），p（0，0，a），e（0，）.底面abcd是正方形，g是此正方形的中心，故點(diǎn)g的坐標(biāo)為（，0）且=（a，0，a）， =（，0，）.=2.這表明paeg.而eg平面edb且pa平面edb，pa平面edb.（2）證明：依題意得b（a，a，0），=（a，a，a）.又=（0，），故·=0+=0.pbde.由已知efpb，且efde=e，pb平面efd.

22、（3）解：設(shè)點(diǎn)f的坐標(biāo)為（x0，y0，z0）， =，則（x0，y0，z0a）=（a，a，a）.從而x0=a，y0=a，z0=（1）a. =（x0，y0，z0）=a，（）a，（）a.由條件efpb知·=0，即a2+（）a2（）a2=0，解得=.點(diǎn)f的坐標(biāo)為（，），且=（，）， =（，）.·=+=0，即pbfd.故efd是二面角cpbd的平面角.·=+=，且|=·a，|=·a，cosefd=.efd=.二面角cpbd為.思悟小結(jié)1.棱柱是第一章有關(guān)線面關(guān)系的載體，棱柱的計(jì)算證明問(wèn)題常借助于前面的內(nèi)容來(lái)解決.因此要牢固掌握線面間的位置關(guān)系的性質(zhì)、判定.2.三棱錐的等（體）積變換是解決點(diǎn)到面的距離的常見方法之一，同時(shí)也是使計(jì)算簡(jiǎn)化的靈活手法；“割”“補(bǔ)”是解決體積問(wèn)題的常用技巧.正棱錐的四個(gè)“特征”直角