第十六章虛位移原理PPT課件

1、第十六章第十六章虛虛 位位 移移 原原 理理 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 虛位移、理想約束的概念，應(yīng)用虛位移原理求虛位移、理想約束的概念，應(yīng)用虛位移原理求解物體系的平衡問(wèn)題。解物體系的平衡問(wèn)題。 難點(diǎn)難點(diǎn) 廣義坐標(biāo)、廣義力的概念，廣義坐標(biāo)形式的虛廣義坐標(biāo)、廣義力的概念，廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理。位移原理。 在第一篇靜力學(xué)中，我們從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過(guò)力系的簡(jiǎn)化，得出剛體的平衡條件，用來(lái)研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題的一個(gè)原理，它從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理虛位移原理。它是研究平衡問(wèn)題的最

2、一般的原理，不僅如此，將它與達(dá)朗伯原理相結(jié)合，就可得到一個(gè)解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)普遍方程。16-1約束及其分類約束及其分類 一、約束及約束方程一、約束及約束方程 限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的各種條件稱為約束。限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的各種條件稱為約束。 將約束的限制條件以數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，則稱為約束方程。將約束的限制條件以數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，則稱為約束方程。 平面單擺222lyx例如例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)222ryxAA0 , )()(222BABABylyyxx 根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：二、約束的分類二、約束的分類1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束 限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)

3、系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束幾何約束。 如前述的平面單擺和曲柄連桿機(jī)構(gòu)例子中的限制條件都是幾何約束。 當(dāng)約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行限制時(shí)，這種約束條件稱為運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束。例如：例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)。幾何約束：運(yùn)動(dòng)約束：)0(0rxrvryAAA 當(dāng)約束條件與時(shí)間有關(guān)，并隨時(shí)間變化時(shí)稱為非定常約束非定常約束。 約束條件不隨時(shí)間改變的約束為定常約束定常約束。 前面的例子中約束條件皆不隨時(shí)間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束、定常約束和非定常約束例如例如：重物M由一條穿過(guò)固定圓環(huán)的細(xì)繩系住。初始時(shí)擺長(zhǎng) l0 , 勻速v拉動(dòng)繩子。x2+y2=( l0 -vt )2

4、 約束方程中顯含時(shí)間 t 如果在約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（例如運(yùn)動(dòng)約束）而且方程中的這些導(dǎo)數(shù)不能經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算消除，即約束方程中含有的坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不是某一函數(shù)全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達(dá)。 3、完整約束和非完整約束、完整約束和非完整約束 如果約束方程中不含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中雖有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但這些導(dǎo)數(shù)可以經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束完整約束。 在兩個(gè)相對(duì)的方向上同時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)限制的約束稱為雙面約束雙面約束。只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為單面約

5、束單面約束。 例如：例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)， 是微分方程，但經(jīng)過(guò)積分可得到 （常數(shù)），該約束仍為完整約束。 0rxACrxA 4、單面約束和雙面約束、單面約束和雙面約束 幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。 非完整約束一定是運(yùn)動(dòng)約束，但運(yùn)動(dòng)約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2 l2 雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。 我們只討論質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質(zhì)點(diǎn)系所受的約束數(shù)目，n為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)）), 2 , 1( 0),;,(111sjzyxzyxfnnnj16-2自由度自由度 廣義坐標(biāo)廣義

6、坐標(biāo) 一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置：（ x, y, z ) 3個(gè)自由度一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2n) 3n個(gè)自由度 二、二、非自由質(zhì)點(diǎn)系自由度非自由質(zhì)點(diǎn)系自由度 對(duì)一個(gè)非自由質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整約束，（3n-s )個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。 其自由度為 k=3n-s 。 確定一個(gè)受完整約束的質(zhì)點(diǎn)系的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，稱為該質(zhì)點(diǎn)系的自由度的數(shù)目自由度的數(shù)目，簡(jiǎn)稱為自由度自由度。 一、一、自由質(zhì)點(diǎn)系自由度自由質(zhì)點(diǎn)系自由度一般地，受到s個(gè)約束的、由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度為snk 3 通常，n 與 s 很大而k 很小。為了確定質(zhì)點(diǎn)系的位置，用適當(dāng)選擇的k 個(gè)

7、參數(shù)（相互獨(dú)立），要比用3n個(gè)直角坐標(biāo)和s個(gè)約束方程方便得多。 用來(lái)確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)。 例如例如, 前述曲柄連桿機(jī)構(gòu)曲柄連桿機(jī)構(gòu)例子中, 確定曲柄連桿機(jī)構(gòu)位置的四個(gè)坐標(biāo)xA、yA、xB、yB須滿足三個(gè)約束方程,因此有一個(gè)自一個(gè)自由度由度。例如例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，可取曲柄OA的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，則：0 , sincossin , cos222BBAAyrlrxryrx 廣義坐標(biāo)選定后，質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)都可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。 廣義坐標(biāo)的選擇不是唯一的。廣義坐標(biāo)可以取線位移（x, y, z, s等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整約束情況下，廣

8、義坐標(biāo)的數(shù)目就等于自由度數(shù)目。 例如例如：雙錘擺。設(shè)只在鉛直平面內(nèi)擺動(dòng)。2212212221212211)()( ),( , ),(byyxxayxyxyx兩個(gè)自由度 取廣義坐標(biāo)，coscos , sinsincos , sin2211baybaxayax 一般地，設(shè)有由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有k個(gè)自由度，取q1、q2、qk為其廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)及矢徑可表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。),(),(),(),(21212121kiikiikiikiiqqqrrqqqzzqqqyyqqqxx), 2 , 1(ni 16-3虛位移和虛功虛位移和虛功 在給定瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的為約束允許的任意

9、在給定瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的為約束允許的任意的無(wú)限小位移，稱為質(zhì)點(diǎn)系的無(wú)限小位移，稱為質(zhì)點(diǎn)系（在該瞬時(shí)）的虛位移的虛位移。 虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號(hào) 表示虛位移。M 虛位移與真正運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同虛位移與真正運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同。 實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。 實(shí)位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。 實(shí)位移是在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時(shí)間無(wú)關(guān)。 在定常約束下，微小的實(shí)位移必然是虛位移之一。而在非定常約

10、束下，微小實(shí)位移不再是虛位移之一。 質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間存在著一定的關(guān)系, 確定這些關(guān)系通常有兩種方法：(一一) 幾何法幾何法。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的位移與速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。dtvrd (二二) 解析法解析法。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)（ q1,q2,qk），廣義坐標(biāo)分別有變分 ，各質(zhì)點(diǎn)的虛位移 在直角坐標(biāo)上的投影可以表示為kqqq,21irkkiiiikkiiiikkiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx221122112211), 2 , 1(ni例例1 分析圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，點(diǎn)C、A與B的虛

11、位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l )解解：此為一個(gè)自由度系統(tǒng)，取OA桿與x 軸夾角為廣義坐標(biāo)。1、幾何法、幾何法sin21sin2aaPBPCrrlarrBCAC0 , sin2cos , sincos , sin , BBAACCACyaxlylxayaxlrar將C、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo) 的函數(shù)，得0 , cos2sin , cossin , cosBBAACCyaxlylxayax2、解析法、解析法對(duì)廣義坐標(biāo) 求變分，得各點(diǎn)虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：0 ,sin2cos ,sincos ,sinBBAACCyaxlylxayax力 在質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的虛位移 上所作的功稱為

12、虛功虛功，記為 。 FrWzZyYxXWrFW16-4 理想約束理想約束 如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上，質(zhì)點(diǎn)系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。理想約束。 質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束的條件：0iiNrNW理想約束的典型例子如下：1、光滑支承面2、光滑鉸鏈0rNrNWN0rNWN5、剛體在粗糙面上的純滾動(dòng)0)(CNrFNW3、無(wú)重剛桿4、不可伸長(zhǎng)的柔索 16-5 虛位移原理虛位移原理 一、虛位移原理一、虛位移原理 具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移上所作的虛功之和等作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。于零。

13、即0iirF解析式：解析式：0)(iiiiiizZyYxX 證明證明：(1) 必要性：即質(zhì)點(diǎn)系處于平衡時(shí)，必有0iirF 質(zhì)點(diǎn)系處于平衡 選取任一質(zhì)點(diǎn)Mi也平衡。0iiNF對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi 的任一虛位移 ，有ir0)(iiirNF0)(iiirNF0iiiirNrF由于是理想約束0iirF0iirN所以對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：0)(iiiiirRrNF (2) 充分性：即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系滿足 ，質(zhì)點(diǎn)系一定平衡。若 ，而質(zhì)點(diǎn)系不平衡，則至少有第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)不平衡。0iirF0iirF 在 方向上產(chǎn)生實(shí)位移 ，取 ，則iRirdiirdr 0)(iiirNF對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：(理想約束下， )0iirN0 iirF與前題條件矛盾故

14、時(shí)質(zhì)點(diǎn)系必處于平衡。0iirF0 iiiRNF 二、虛位移原理的應(yīng)用二、虛位移原理的應(yīng)用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系；2、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下平衡時(shí)的約束反力；4、求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。例例1 圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長(zhǎng)l，桿重和滑道摩擦不計(jì)，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力大小P和Q之間的關(guān)系。解解：研究整個(gè)機(jī)構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。1、幾何法、幾何法：使A發(fā)生虛位移 ，B的虛位移 ，則由虛位移原理：ArBr0)tg( ArQP由 ，得0Ar tgQP0 BArQrP tg cossin ABBArrr

15、r而AS 得虛功方程：0iirF 2、解析法、解析法 由于系統(tǒng)為單自由度， 可取為廣義坐標(biāo)。cos , sinsin , coslylxlylxABAB , 0BAxQyP0)sincos( lQP0)( iiiiiizZyYxX由：由 ，得0 tgQP得虛功方程：解解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取角及為廣義坐標(biāo)，現(xiàn)用兩種方法求解。 例例2 均質(zhì)桿OA及AB在A點(diǎn)用鉸連接，并在O點(diǎn)用鉸支承，如圖所示。兩桿各長(zhǎng)2a和2b，各重P1及P2，設(shè)在B點(diǎn)加水平力 F 以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角及 。y應(yīng)用虛位移原理，)( 021axFyPyPBDC代入(a)式，得：0)cos2sin()co

16、s2sin2sin(221bFbPaFaPaP解法一：解法一：cos2cos2 , sin2sin2 sinsin2 , coscos2 sin , cos baxbaxbaybayayayBBDDCC而0)( iiiiiizZyYxX由：得虛功方程：由于 是彼此獨(dú)立的，所以： , 0cos2sin0cos2sin2sin221bFbPaFaPaP2212 tg, 22tgPFPPF由此解得：0)cos2sin()cos2sin2sin(221bFbPaFaPaP0 ; 00sincos2DBrPrF而brbrDB , 2代入上式，得2222tgPFbPbF解法二：解法二： 先使 保持不變，而

17、使 獲得變分 ，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。得虛功方程：0iirF 再使 保持不變，而使 獲得變分 ，得到系統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。BDArrr0sinsincos21DCBrPrPrF而arrrarADBC2, 代入上式后，得： 22tg21PPF0)sin2sin2cos(21aPaPaF圖示中：得虛功方程：0iirF例例3 多跨靜定梁，求支座B處反力。解解：將支座B 除去，代入相應(yīng)的約束反力 。BR0211mrPrRrPCBBBBCBBrmrrPrrPR211 得虛功方程：0iirF96118111211121614 , 811 , 21 1BCBEBGBBCBrrrrrrrrr

18、rr而mPPRB961181121 21BBCBBrmrrPrrPR211 例例4 滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動(dòng)桿CD在鉛直滑道上滑動(dòng)。已知=0o時(shí)，彈簧等于原長(zhǎng)，彈簧剛度系數(shù)為5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡時(shí)，加在AB桿上的力偶矩M ？解解：這是一個(gè)已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主動(dòng)力之間關(guān)系的問(wèn)題。將彈簧力計(jì)入主動(dòng)力，系統(tǒng)簡(jiǎn)化為理想約束系統(tǒng)，故可以用虛位移原理求解。 選擇AB桿、CD桿和滑套D的系統(tǒng)為研究對(duì)象。gsllkFFllllD tsec3 . 0s sec3 . 0 )kN( |sec1 | 5 . 1|)m( |sec1 | 3 . 0|cos300600 , )mm(300300600 , 0000角時(shí)時(shí)由虛位移原理，)mkN( cos)cos1 (sin45. 03M0sFM0 tgsec3 . 0|sec1 | 5 . 1M得虛功方程：0iirF 以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)至少有一個(gè)自由度。若系統(tǒng)存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計(jì)入主動(dòng)力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對(duì)象。 若要求解約束反