中考（數(shù)學(xué)）分類十一 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題?？?、重難點(diǎn)題型講練

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理類型十一 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題【典例1】如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)是軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線求拋物線的函數(shù)表達(dá)式:若拋物線與拋物線在軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說明理由【答案】；四邊形可以為正方形，【解析】解： 將三點(diǎn)代入得解得；如圖關(guān)于對(duì)稱的拋物線為當(dāng)過點(diǎn)時(shí)有解得: 當(dāng)過點(diǎn)時(shí)有解得:；四邊形可以為正方形由題意設(shè)，是拋物線第一象限上的點(diǎn)解得:

2、(舍去)即如圖作，于，于四邊形為正方形易證為將代入得解得:(舍去)當(dāng)時(shí)四邊形為正方形.【典例2】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（l，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD（1）求拋物線的解析式（2）若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）在（2）的條件下，作PFx軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【解答】解：（1）拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），拋物線的解析式為y=x2+2x3；（2）由

3、（1）知，拋物線的解析式為y=x2+2x3；C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)D（1，4），E（1，0），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，直線BD的解析式為y=2x6，設(shè)點(diǎn)P（a，2a6），C（0，3），E（1，0），根據(jù)勾股定理得，PE2=（a+1）2+（2a6）2，PC2=a2+（2a6+3）2，PC=PE，（a+1）2+（2a6）2=a2+（2a6+3）2，a=2，y=2×（2）6=2，P（2，2），（3）如圖，作PFx軸于F，F(xiàn)（2，0），設(shè)M（d，0），G（d，d2+2d3），N（2，d2+2d3），以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有FM=MG，|d+2|=|d2

4、+2d3|，d=或d=，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）【典例3】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)FBA=BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNx軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)【解答】解：（1）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為y=x2+2x+6，y=

5、x2+2x+6=（x2）2+8，D（2，8）；（2）如圖1，過F作FGx軸于點(diǎn)G，設(shè)F（x，x2+2x+6），則FG=|x2+2x+6|，F(xiàn)BA=BDE，F(xiàn)GB=BED=90°，F(xiàn)BGBDE，=，B（6，0），D（2，8），E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，BG=6x，=，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有=，解得x=1或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）；當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有=，解得x=3或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）；綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）或（3，）；（3）如圖2，設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，點(diǎn)P為拋物

6、線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2n，n），點(diǎn)M在拋物線y=x2+2x+6的圖象上，n=（2n）2+2（2n）+6，解得n=1+或n=1，滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，2+2）或（2，22）【典例4】如圖，已知拋物線y=ax2+bx3過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），點(diǎn)M、N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MDy軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E過點(diǎn)N作NFx軸，垂足為點(diǎn)F（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx3的表達(dá)式；（2）若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；（3）若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)，且DMN=90

7、°，MD=MN，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)【解答】解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx3，得：，解得，故該拋物線解析式為：y=x22x3；（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x22x3=（x1）24，該拋物線的對(duì)稱軸是x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）如圖，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m22m3），其中m1，ME=|m2+2m+3|，M、N關(guān)于x=1對(duì)稱，且點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2m，MN=2m2，四邊形MNFE為正方形，ME=MN，|m2+2m+3|=2m2，分兩種情況：當(dāng)m2+2m+3=2m2時(shí)，解得：m1=、m2=（不符合題意，舍去），當(dāng)m=時(shí)，正方形的面積為（2

8、2）2=248；當(dāng)m2+2m+3=22m時(shí)，解得：m3=2+，m4=2（不符合題意，舍去），當(dāng)m=2+時(shí)，正方形的面積為2（2+）22=24+8；綜上所述，正方形的面積為24+8或248（3）設(shè)BC所在直線解析式為y=px+q，把點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入表達(dá)式，得：，解得：，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x3，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t22t3），其中t1，則點(diǎn)N（2t，t22t3），點(diǎn)D（t，t3），MN=2tt=22t，MD=|t22t3t+3|=|t23t|MD=MN，|t23t|=22t，分兩種情況：當(dāng)t23t=22t時(shí)，解得t1=1，t2=2（不符合題意，舍去）當(dāng)3tt2=22t時(shí)，

9、解得t3=，t2=（不符合題意，舍去）綜上所述，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1或【典例5】 如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是M（1）求拋物線的解析式；（2）若直線AM與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求CAB的面積；（3）是否存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由【分析】： （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)軸對(duì)稱，可得M的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM的解析式，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（3）根據(jù)正方形的性

10、質(zhì)，可得P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式【解答】：解：（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式y(tǒng)=x22x3；（2）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，得y=（x1）24，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），設(shè)AM的解析式為y=kx+b，將A、M點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，AM的解析式為y=2x+2，聯(lián)立AM與拋物線，得，解得，C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12）SABC=×4×12=24；（3）存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形，由ABPQ是正方形，A（1，0）B（3，0），得P（1，2），Q（1，2），或

11、P（1，2），Q（1，2），當(dāng)頂點(diǎn)P（1，2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x1）22，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（11）22=0，解得a=，拋物線的解析式為y=（x1）22，當(dāng)P（1，2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x1）2+2，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（11）2+2=0，解得a=，拋物線的解析式為y=（x1）2+2，綜上所述：y=（x1）22或y=（x1）2+2，使得四邊形APBQ為正方形【典例6】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD（1）求拋物

12、線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)FBA=BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNx軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)【分析】（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m），由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BF的解析式，聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）設(shè)對(duì)角線MN、P

13、Q交于點(diǎn)O，如圖2所示根據(jù)拋物線的對(duì)稱性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P、Q的位置，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2n，n）由點(diǎn)M在拋物線圖象上，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論【解答】解：（1）將點(diǎn)B（6，0）、C（0，6）代入y=x2+bx+c中，得：，解得：，拋物線的解析式為y=x2+2x+6y=x2+2x+6=（x2）2+8，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m），如圖1所示FBO=FBA=BDE，F(xiàn)OB=BED=90°，F(xiàn)BOBDE，點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)D（2，8）

14、，點(diǎn)E（2，0），BE=64=4，DE=80=8，OB=6，OF=OB=3，點(diǎn)F（0，3）或（0，3）設(shè)直線BF的解析式為y=kx±3，則有0=6k+3或0=6k3，解得：k=或k=，直線BF的解析式為y=x+3或y=x3聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得：或，解方程組得：或（舍去），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，）；解方程組得：或（舍去），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，）綜上可知：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，）或（3，）（3）設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O，如圖2所示點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2n

15、，n）點(diǎn)M在拋物線y=x2+2x+6的圖象上，n=+2（2n）+6，即n2+2n16=0，解得：n1=1，n2=1點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，1）或（2，1）【典例7】如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)【分析】（1）利用待定系數(shù)法

16、求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可【解答】解：（1）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，解得，經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x+3；（2）如圖1，連接PC、PE，x=1，當(dāng)x=1時(shí)，y=4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，則，解得，直線BD的解析式為y=2x+6，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2x+6），則PC2=x2+（3+2x6）2，PE2=（x1）2+（2x+6）2，PC=P