華東師大初中數(shù)學(xué)九年級下冊正多邊形和圓知識(shí)講解提高精選

1、正多邊形和圓一知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2 .理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫正多邊形；3 .會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.要點(diǎn)詮釋：判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：（1）各邊相等；（2）各角相等；缺一不可如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形（正方形是正多邊形）.要點(diǎn)二、正多邊形的重要元素1 .正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以

2、作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓.2 .正多邊形的有關(guān)概念（1） 一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.（2）正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.（3）正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.（4）正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.130°3 .正多邊形的有關(guān)計(jì)算H正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；（1）II360。正n邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；（2）II.正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是（3）要點(diǎn)詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.要點(diǎn)三、正多邊形的性質(zhì)1 .正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有

3、無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形2 .正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2 n個(gè)全等的直角三角形 .3 .正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正 n邊形的中心；.當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4 . 邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.要點(diǎn)四、正多邊形的畫法1 .用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因

4、此作相等的圓心角（即等分頂點(diǎn)在圓心的周角 ）可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.2 .用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖D正四、八邊形.口）D在。中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形 .再逐次平分各么6的平分線交于E）就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊所對的弧 （即作/ AOB.邊形.正六、三、十二邊形的作法通過簡單計(jì)算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在。 。中，任畫一條直徑 AB,分別 以A、B為圓心，以。的半徑為半徑畫弧與。O相交于C、D和E、F,則A、C、E、B、F、

5、D是 。的6等分點(diǎn). .等分點(diǎn)3的。是OD）、B、C或F（、E、A顯然，同樣，在圖（3）中平分每條邊所對的弧，就可把。O 12等分.要點(diǎn)詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn)【典型例題】 類型一、正多邊形的概念1 .如圖所示，正五邊形的對角線AC和BE相交于點(diǎn)M.(1)求證：AC/ ER (2)求證：ME= AE.【思路點(diǎn)撥】 要證AC ED和ME= AE,都可用角的關(guān)系去證，而如果作出正五邊形的外接圓，則 用圓中角的關(guān)系去證比較容易.【解析與答案】作出正五邊形的外接則一5EDC/ EAC=_ 21 = 108° , x 同理，1AB ° 72

6、 360° 的度數(shù)為，0(1)正多邊形必有外接圓,EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半， /1 72° 2 72° ,/AED= 72° X 3 2： / EAC吆 AED= 180° ,2 2)/EMA= 180 /AEB- / EAC= 72/ EAM= / EMA= 72EA = EM【總結(jié)升華】 輔助圓是特殊的輔助線，一般用得很少，當(dāng)有共圓條件時(shí)可作出輔助圓后利用圓的特殊性去解決直線型的問題.】5-6經(jīng)典例題：關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）356969 號：ID高清【.,于點(diǎn)FDC的中點(diǎn)，直線 BE交。0正方形2. （2015?威海模擬）如圖，

7、ABCD內(nèi)接于。O, E產(chǎn)若O O的半徑為，則 BF的長為56.【答案】5 LBF于點(diǎn)F, C【解析】解：連接BD, DF ,過點(diǎn)作CnJ O, OO的半徑為,正方形ABCD內(nèi)接于。V2 , BD=2 , , AD=AB=BC=CD=2 的中點(diǎn)，為 DCE CE=1 , . .描 BE=,. ，X /. 2V5 延 立延CN X BE=ECBC 曰，. . CN X =2 5,CN= 5, BN=. 55 Vl BN=EN=BE匕、v b b,=.的直徑，BD 為OO , ./BFD=90°,仁DEF： CEN EF=EN ,55 近=BF=BE+EF=.，+ 5 故答案為.此題主要

8、考查了正多邊形和圓以及勾股定理以及三角形面 積等知識(shí)，根據(jù)圓周角定理得出正多【點(diǎn)評】邊形邊長是解題關(guān)鍵.舉一反三：】經(jīng)典區(qū)J題3-4號：【高清ID356969關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）【變式】同一個(gè)圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比等于（2:1 . D4 B3A .2. 2 C : . IV3 IV3【答案】B; 1,如圖（1）,連接OA OB過。作設(shè)圓的半徑為 OGLAB;六邊形 ABCD助正六邊形, ./AOB=60 ;眈,. OA=OB OGL AB, T36DPI- ./AOG=30 , .AG=OA?sin30° =1 x=,（或由勾股定理求） .AB=2AG=2&

9、lt; =1, .C=6AB=6. ABCD六邊形 如圖（2）連接 OA OB過O作OGLAB;36DP 六邊形 ABCD助正六邊形，1T ./AOB=6O ,60P,. OA=OB OF, AB,26 ./AOF=30° , 一.,（或由勾股定理求）2/30AG=OG?tan3O° = ：,:.類型二、正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算AB=2AG=2<. C=6AB=6X =4cm/3=6. : 42=: /3 V3ABCD六郵.圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比3.（2016秋？欽州月考）已知。O和OO上的一點(diǎn)A .（1）作。O的內(nèi)接正方形 ABCD和內(nèi)接正六邊形 A

10、EFCGH ;內(nèi)接正十二邊形的一邊.O是ODE上，求證：AD在弧E）題的作圖中，如果點(diǎn) 1）在（2 （.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的作法畫出圖形即可；（2）先求出/ DOE的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.【答案與解析】（1）解：作法：作直徑AC;作直徑 BDLAC;依次連結(jié)A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形ABCD即為。O的內(nèi)接正方形；分別以A、C為圓心，以 OA長為半徑作弧，交。于E、H、F、G;順次連結(jié) A、E、F、C、G、H各點(diǎn).六邊形AEFCGH即為。O的內(nèi)接正六邊形.3636(2)證明：連結(jié) OE、DE .4AOE=60 ° ,AOD=90 ° , /. /DOE= /

11、 AOD / AOE=90 °60° =30 ° . .DE為。O的內(nèi)接正十二邊形的一邊.【總結(jié)升華】 本題考查的是正多邊形和圓, 關(guān)鍵.熟知圓內(nèi)接正四邊形及正六邊形的作法是解答此題的4.如圖（1）所示，圓內(nèi)接 ABC中,AB= BC= CA, OD OE為。的半徑，ODL BC于點(diǎn) F, OE±1.的面積的 ABCOFCGGAC點(diǎn)，求證：陰影部分四邊形的面積是_ 3.圖（1）【答案與解析】連OA OR OC如圖（2）所示,圖C2）則 OA= OB= OG 又 AB= BC= CAAOAE OB竽 OCA11AC,FC=BC= AC于G,由垂徑定理得AQ,又ODL BC于FOE22COF . AG =CF.RtAOGRtAlS S SSS SS,_ABC AOG OCF OCGAOC OCG OFC®邊形3 總結(jié)升華 首先連接 OG根據(jù)垂徑定理的知識(shí)，易證得RtAOCGWRtAOCF設(shè)OG=a根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的知識(shí)，即可求得陰影部分四邊形OFCG的面積與 ABC的面積，繼而求得答案. 舉一反三：【變式】如下圖，若/ DOE保持120°角度不變，求證：當(dāng)/DO遴著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和AABCI.的面積的 ABC的兩條邊圍成的圖形，圖中陰影部分的面積始