卡方檢驗(yàn)應(yīng)用

1、第八章 記數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)法卡方檢驗(yàn)法知識(shí)引入在各個(gè)研究領(lǐng)域中，有些研究問題只能劃分為不同性質(zhì)的類別，各類別沒有量的聯(lián)系。例如，性別分男女，職業(yè)分為公務(wù)員、教師、工人、，教師職稱又分為教授、副教授、。有時(shí)雖有量的關(guān)系，因研究需要將其按一定的標(biāo)準(zhǔn)分為不同的類別，例如，學(xué)習(xí)成績(jī)、能力水平、態(tài)度等都是連續(xù)數(shù)據(jù)，只是研究者依一定標(biāo)準(zhǔn)將其劃分為優(yōu)良中差，喜歡與不喜歡等少數(shù)幾個(gè)等級(jí)。對(duì)這些非連續(xù)等距性數(shù)據(jù)，要判別這些分類間的差異或者多個(gè)變量間的相關(guān)性方法稱為計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法?？ǚ綑z驗(yàn)是專用于解決計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的假設(shè)檢驗(yàn)法。本章主要介紹卡方檢驗(yàn)的兩個(gè)應(yīng)用：擬合性檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。擬合性檢驗(yàn)是用于分析實(shí)際次數(shù)與理

2、論次數(shù)是否相同，適用于單個(gè)因素分類的計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)。獨(dú)立性檢驗(yàn)用于分析各有多項(xiàng)分類的兩個(gè)或兩個(gè)以上的因素之間是否有關(guān)聯(lián)或是否獨(dú)立的問題。在計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)要特別注意取樣的代表性。我們知道，統(tǒng)計(jì)分析就是依據(jù)樣本所提供的信息，正確推論總體的情況。在這一過程中，最根本的一環(huán)是確保樣本的代表性及對(duì)實(shí)驗(yàn)的良好控制。在心理與教育研究中，所搜集到的有些數(shù)據(jù)屬于定性資料，它們常常是通過調(diào)查、訪問或問卷獲得，除了少數(shù)實(shí)驗(yàn)可以事先計(jì)劃外，大部分收集數(shù)據(jù)的過程是難于控制的。例如，某研究者關(guān)于某項(xiàng)教育措施的問卷調(diào)查，由于有一部分教師和學(xué)生對(duì)該項(xiàng)措施存有意見，或?qū)柧肀旧碛衅姡揪筒惶顚憜柧?。這樣該研究所能收回的問

3、卷只能代表一部分觀點(diǎn)，所以它是一個(gè)有偏樣本，若據(jù)此對(duì)總體進(jìn)行推論，就會(huì)產(chǎn)生一定的偏差，勢(shì)必不能真實(shí)地反映出教師與學(xué)生對(duì)這項(xiàng)教育措施的意見。因此應(yīng)用計(jì)數(shù)資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，要特別小心謹(jǐn)慎，防止樣本的偏倚性，只有具有代表性的樣本才能作出正確的推論。 第一節(jié) 卡方擬合性檢驗(yàn)一、卡方檢驗(yàn)的一般問題 卡方檢驗(yàn)應(yīng)用于計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的分析，對(duì)于總體的分布不作任何假設(shè)，因此它又是非參數(shù)檢驗(yàn)法中的一種。它由統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜推導(dǎo)。理論證明，實(shí)際觀察次數(shù)（fo）與理論次數(shù)（fe），又稱期望次數(shù)）之差的平方再除以理論次數(shù)所得的統(tǒng)計(jì)量，近似服從卡方分布，可表示為：這是卡方檢驗(yàn)的原始公式，其中當(dāng)fe越大（fe5）,近似得越好。顯

4、然fo與fe相差越大，卡方值就越大；fo與fe相差越小，卡方值就越??；因此它能夠用來(lái)表示fo與fe相差的程度。根據(jù)這個(gè)公式，可認(rèn)為卡方檢驗(yàn)的一般問題是要檢驗(yàn)名義型變量的實(shí)際觀測(cè)次數(shù)和理論次數(shù)分布之間是否存在顯著差異。它主要應(yīng)用于兩種情況：卡方檢驗(yàn)?zāi)軝z驗(yàn)單個(gè)多項(xiàng)分類名義型變量各分類間的實(shí)際觀測(cè)次數(shù)與理論次數(shù)之間是否一致的問題，這里的觀測(cè)次數(shù)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得多的實(shí)計(jì)數(shù)，理論次數(shù)則是根據(jù)理論或經(jīng)驗(yàn)得到的期望次數(shù)。這一類檢驗(yàn)稱為擬合性檢驗(yàn)。擬合性檢驗(yàn)的零假設(shè)是觀測(cè)次數(shù)與理論次數(shù)之間無(wú)差異。其中理論次數(shù)的計(jì)算一般是根據(jù)某種理論，按一定的概率通過樣本即實(shí)際觀測(cè)次數(shù)來(lái)計(jì)算。這里所說(shuō)的某種理論，可能是經(jīng)驗(yàn)規(guī)律

5、，也可能是理論分布。確定理論次數(shù)是卡方檢驗(yàn)的關(guān)鍵。擬合性檢驗(yàn)自由度的確定與兩個(gè)因素有關(guān)：一是分類的項(xiàng)數(shù)，二是在計(jì)算理論次數(shù)時(shí)，所用統(tǒng)計(jì)量或約束條件的個(gè)數(shù)，這兩者之差即為自由度。由于一般情況下，計(jì)算理論次數(shù)時(shí)只用到“總數(shù)”這一統(tǒng)計(jì)量，所以自由度一般是分類的項(xiàng)數(shù)減1。但在對(duì)連續(xù)數(shù)據(jù)分布的配合度檢驗(yàn)中，常常會(huì)用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量來(lái)計(jì)算理論次數(shù)，所以此時(shí)的自由度應(yīng)從總分類項(xiàng)中減去更多的個(gè)數(shù)。按照檢驗(yàn)中理論次數(shù)的定義不同，擬合性檢驗(yàn)有以下集中應(yīng)用。 二、檢驗(yàn)無(wú)差假設(shè)所謂無(wú)差假設(shè)，是指各項(xiàng)分類的實(shí)計(jì)數(shù)之間沒有差異，也就是說(shuō)各項(xiàng)分類之間的概率相等（均勻分布），因此理論次數(shù)完全按概率相

6、等的條件來(lái)計(jì)算。即任一項(xiàng)的理論次數(shù)都等于總數(shù)/分類項(xiàng)數(shù)。因此自由度也就等于分類項(xiàng)數(shù)減1。【例1】 隨機(jī)地將麻將色子拋擲300次，檢驗(yàn)該色子的六個(gè)面是否均勻。結(jié)果1-6點(diǎn)向上的次數(shù)依次是，43，49，56，45，66，41。解：每個(gè)類的理論次數(shù)是 300/6 = 50，代入公式：因此，在0.05的顯著性水平下，可以說(shuō)這個(gè)色子的六面是均勻的?！纠?】 隨機(jī)抽取60名高一學(xué)生，問他們文理要不要分科，回答贊成的39人，反對(duì)的21人，問對(duì)分科的意見是否有顯著的差異。解：如果沒有顯著的差異，則贊成與反對(duì)的各占一半，因此是一個(gè)無(wú)差假設(shè)的檢驗(yàn)，于是理論次數(shù)為60/2=30，代入公式：所以對(duì)于文理分科，學(xué)生們的

7、態(tài)度是有顯著的差異的。 三、檢驗(yàn)假設(shè)分布的概率這里的假設(shè)分布可以是經(jīng)驗(yàn)性的，也可以是某理論分布。公式中所需的理論次數(shù)則按照這里假設(shè)的分布進(jìn)行計(jì)算?！纠?】 國(guó)際色覺障礙討論會(huì)宣布，每12個(gè)男子中，有一個(gè)是先天性色盲。從某校抽取的132名男生中有4人是色盲，問該校男子色盲比率與上述比例是否有顯著差異？解：按國(guó)際色覺障礙討論會(huì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，132人應(yīng)該有132/12=11人是色盲，剩下的121人非色盲，代入公式有：因此，在0.05和顯著性水平下，該校男子色盲比率與國(guó)際色覺障礙討論會(huì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果有顯著差異，顯然根據(jù)比例可知該校的色盲率小于國(guó)際色覺障礙討論會(huì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。【例4】 在英語(yǔ)四級(jí)考試中

8、，某學(xué)生做對(duì)了80個(gè)四擇一選擇題中的28題，現(xiàn)在要判斷該生是否是完全憑猜測(cè)做題。解：假如該生完全憑猜測(cè)做題，那么平均而言每道題做對(duì)的可能性是1/4，因此80個(gè)題中平均而能做對(duì)80/4=20題，代入公式有：因此，該生可能會(huì)做一些題。 四、連續(xù)變量分布的擬合性檢驗(yàn)對(duì)于一組連續(xù)數(shù)據(jù)，經(jīng)常需要對(duì)其次數(shù)分布究竟服從哪種理論分布進(jìn)行探討，這一方面的主要應(yīng)用就是在前面經(jīng)常所提到的總體正態(tài)性檢驗(yàn)。首先要將測(cè)量數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表和畫出次分布圖，并據(jù)此選擇恰當(dāng)?shù)睦碚摲植?。這些理論分布是多種多樣的，例如有正態(tài)分布、均勻分布等。然后根據(jù)選擇的理論分布計(jì)算出理論次數(shù)，就可以計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)了。

9、若差異顯著，說(shuō)明所選擇的理論分布不合適，可以再選一個(gè)理論分布進(jìn)行檢驗(yàn)，直至完全擬合。當(dāng)然有時(shí)也只需檢驗(yàn)是否與某確定的理論分布相符，如正態(tài)性檢驗(yàn)（參見教材有關(guān)內(nèi)容）。對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量分布的吻合性檢驗(yàn)，關(guān)鍵的步驟是計(jì)算理論次數(shù)與確定自由度。理論次數(shù)的計(jì)算是按所選理論分布規(guī)律，并利用觀測(cè)數(shù)據(jù)的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量來(lái)計(jì)算各分組（次數(shù)分布表中）理論次數(shù)。自由度則是用分組數(shù)減去計(jì)算理論次數(shù)時(shí)所用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)目。這種擬合性檢驗(yàn)計(jì)算較為繁瑣，不做要求。 五、小理論次數(shù)時(shí)的連續(xù)性校正卡方檢驗(yàn)中，當(dāng)某分類理論次數(shù)小于5時(shí)，卡方統(tǒng)計(jì)量不能很好地滿足卡方分布，此時(shí)需要對(duì)卡方統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行校正，稱為卡方的連續(xù)性校正，其公式如下

10、：盡管采用此方法校正后，卡方統(tǒng)計(jì)量能較為接近卡方分布，不過我們?nèi)匀唤ㄗh在實(shí)際中最好增大樣本的容量，盡量減少出現(xiàn)這種不大服從理論分布的情況。第二節(jié) 獨(dú)立性檢驗(yàn)卡方檢驗(yàn)還可以用于檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上因素（各有兩項(xiàng)或以上的分類）之間是否相互影響的問題，這種檢驗(yàn)稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)。例如要討論血型與性格的關(guān)系，血型有A、B、AB、O四類，性格采用心理學(xué)上的A型性格來(lái)劃分，即有A型和B型兩種，每個(gè)人可能是它們之間交叉所形成的8種類型中的一種，那么倒底它們之間有不有關(guān)系，就可以用卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)。卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上因素（各有兩項(xiàng)或以上的分類）之間是否相互影響的問題。所謂獨(dú)立，即無(wú)關(guān)聯(lián)，互不影響，就

11、意味著一個(gè)因素各個(gè)分類之間的比例關(guān)系，在另一個(gè)因素的各項(xiàng)分類下都是相同的，比如在血型與性格關(guān)系中，如果A型性格人群中各血型的比例關(guān)系，與B型性格人群中各血型的比例關(guān)系相同，就可能說(shuō)血型與性格相互獨(dú)立，當(dāng)然這里的“兩者比例相同”在統(tǒng)計(jì)的意義下，應(yīng)表述為“兩比例差異不超過誤差范圍”，因?yàn)榫退憧傮w之間相互獨(dú)立，收集到兩個(gè)比例完全相同的樣本的可能是很小很小的，甚至是不可能的。相反，若一個(gè)因素各個(gè)分類之間的比例關(guān)系，在另一個(gè)因素的各項(xiàng)分類下是不同的，則它們之間相關(guān)。假如A型性格中A型血的比例高于B型性格中A型血的比例，而且達(dá)到顯著水平，那么就可以說(shuō)血型與性格之間相關(guān)，不相互獨(dú)立。卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的零假設(shè)是

12、各因素之間相互獨(dú)立。因此理論次數(shù)的計(jì)算也是基于這一假設(shè)，具體計(jì)算時(shí)，采用列聯(lián)表的方式，后面將舉例說(shuō)明?！纠?】 某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，表中彩色格子里的數(shù)是原始數(shù)據(jù)的匯總數(shù)，括號(hào)內(nèi)的數(shù)是理論次數(shù)（是按下面將要介紹的原理計(jì)算得來(lái)的），此外的是原始數(shù)據(jù)。 性別(因素2)課外活動(dòng)內(nèi)容(因素1)小計(jì)和(fx)體育文娛閱讀男生21(15.3)11(10.2)23(29.5)55女生 6(11.7) 7(7.8)29(22.5)42小計(jì)和(fy)27185297 由于所有學(xué)生參加三項(xiàng)活動(dòng)的比例是27:18:52，因此如果課外活動(dòng)的選擇與性別沒

13、有關(guān)系的話，男女生參加這三項(xiàng)活動(dòng)的比例也應(yīng)是這同一比例，而男女各自的人數(shù)可以計(jì)算，所以每格內(nèi)的理論次數(shù)的計(jì)算方法如下：男生中參加體育活動(dòng)的理論人數(shù)：55×27/97=15.3參加文娛活動(dòng)的理論人數(shù)：55×18/97=10.2參加閱讀活動(dòng)的理論人數(shù)：55×52/97=29.5女生中參加體育活動(dòng)的理論人數(shù)：42×27/97=11.7參加文娛活動(dòng)的理論人數(shù)：42×18/97= 7.8參加閱讀活動(dòng)的理論人數(shù)：42×52/97=22.5我們將行列的小計(jì)和分別用 fx 和 fy 來(lái)表示，總?cè)藬?shù)用 N 來(lái)表示時(shí)，上述計(jì)算理論次數(shù)的方法可以表示為：f

14、eij = fxi× fyj/N所以，卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式可以表示如下，其中最后一個(gè)式子比較便于計(jì)算，fxy 表示每格的原始數(shù)據(jù)。由于在計(jì)算理論次數(shù)時(shí)，用了按每個(gè)因素分類的小計(jì)和（fx 和 fy，其個(gè)數(shù)分別記為 R 個(gè)和 C 個(gè)），和總和 N ，而總和又可由按每個(gè)因素分類的小計(jì)和計(jì)算得來(lái)，因此若從總分類個(gè)數(shù)R×C中減去 R+C，則將總和重復(fù)減去了，因此要補(bǔ) 1 個(gè)自由度回來(lái)，所以最終獨(dú)立性檢驗(yàn)的自由度表示為：上述例題最終計(jì)算得：或者：這兩個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果有一點(diǎn)點(diǎn)差異，這完全是計(jì)算誤差即四舍五入引起的。df = (3-1)(2-1) = 2，而20.05(2) = 5.99，

15、所以在0.05的顯著性水平下，拒絕零假設(shè)，即可以認(rèn)為性別與課外活動(dòng)內(nèi)容有關(guān)聯(lián)，或者說(shuō)男女生在選擇課外活動(dòng)上存在顯著的差異。 四格表獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)于兩個(gè)都只作兩項(xiàng)分類的因素，它們的數(shù)據(jù)整理成的是一個(gè) 2×2 的表格，一般稱為四格表，對(duì)于四格表教材里給出了一個(gè)更簡(jiǎn)潔的公式：公式中，a、b、c、d的規(guī)定要求是a和d必須呈對(duì)角線。該公式的含義非常明確，即當(dāng)對(duì)角線單元格中的次數(shù)差異越大時(shí)，卡方檢驗(yàn)越容易顯著，自然也就意味著兩變量間的關(guān)聯(lián)越密切。掌握了一般的R*C表計(jì)算后，四格表計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單地多。這里不再展開。注意，在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，同樣存在某格的理論次數(shù)小于等于 5 的問題，如同擬合性檢

16、驗(yàn)中一樣，我們?nèi)匀唤ㄗh在實(shí)際中最好增大樣本的容量，盡量減少出現(xiàn)這種不大服從理論分布的情況。此外，在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若拒絕了零假設(shè)，即各因素之間有關(guān)聯(lián)，則如同方差分析中僅判定了存在交互作用一樣，只是一個(gè)總體的結(jié)果，并不能回答具體關(guān)聯(lián)的形式的問題。如果各因素之間獨(dú)立，則到此為止，若各因素間有關(guān)聯(lián)，還應(yīng)該作進(jìn)一步的分析，具體搞清楚各變量的次數(shù)間是如何關(guān)聯(lián)的。對(duì)此卡方檢驗(yàn)有一些辦法，但不如參數(shù)檢驗(yàn)中那樣嚴(yán)格?？ǚ姜?dú)立性檢驗(yàn)一般也僅限于兩變量間的關(guān)聯(lián)考察，對(duì)于多個(gè)名義型變量，往往采用分拆一個(gè)變量分別進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的辦法，然后試圖整合多次檢驗(yàn)的結(jié)果。這種做法就顯得更牽強(qiáng)一些。 品質(zhì)相關(guān)卡方檢驗(yàn)既然

17、是用來(lái)解決變量間關(guān)聯(lián)性的，則也可以構(gòu)造和積差相關(guān)或等級(jí)相關(guān)系數(shù)一樣的相關(guān)程度的度量，稱為品質(zhì)相關(guān)。常用的品質(zhì)相關(guān)有以下幾種：1、相關(guān)系數(shù)相關(guān)只適用于四格表，它要求兩變量是不同性質(zhì)的。相關(guān)的公式實(shí)際上是根據(jù)四格表的卡方值變換而來(lái)的，通過變換使得其取值大約在正負(fù)1之間，這樣便于聯(lián)系一般的相關(guān)系數(shù)的含義進(jìn)行解釋。在卡方檢驗(yàn)一節(jié)，我們?cè)v到卡方值的大小反映了實(shí)際次數(shù)與理論次數(shù)之間差異的大小，而獨(dú)立性檢驗(yàn)中的理論次數(shù)是根據(jù)兩變量獨(dú)立的假設(shè)計(jì)算出來(lái)的，因此卡方值的大小也就反映了兩變量距獨(dú)立有多遠(yuǎn)，離獨(dú)立越遠(yuǎn)就越相關(guān)，因此卡方值本身就反映了兩變量間相關(guān)的程度。相關(guān)的計(jì)算公式如下：相關(guān)系數(shù)依分子的正負(fù)號(hào)可取正負(fù)值。不過，所有的品質(zhì)相關(guān)幾乎都不是獨(dú)立構(gòu)造的，而都是對(duì)卡方檢驗(yàn)中卡方統(tǒng)計(jì)量的變換。因此實(shí)際上，只要進(jìn)行了卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，則這兩步過程就一次解決了。計(jì)算品質(zhì)相關(guān)系數(shù)只是為了更好地理解兩變量間關(guān)系的密切程度。2、列聯(lián)相關(guān)C系數(shù)列聯(lián)相關(guān)實(shí)際上是將相關(guān)的適用情況從四格表擴(kuò)展到一般的列聯(lián)表。列聯(lián)相關(guān)公式的來(lái)歷也基本上與相關(guān)相同。列聯(lián)相關(guān)公式為：該系數(shù)的取值也在0和1之間，不會(huì)取到1。與使用相關(guān)一樣，使用列聯(lián)相關(guān)之前，最好先檢驗(yàn)兩變量是否相關(guān)，只有兩變量相關(guān)