2019屆高考數(shù)學(xué)專題十七圓錐曲線的幾何性質(zhì)精準培優(yōu)專練理(1)

1、培優(yōu)點十七 圓錐曲線的幾何性質(zhì)1 .橢圓的幾何性質(zhì) 例1：如圖，橢圓千+£ = 15>>0）的上頂點、左頂點、左焦點分別為3、A、尸，中心為。,其離心率為爭則 S&im : Swfo =（）B.D.（26-3）:2【答案】B【H 析】由 AABF = AABO - S&BFO '得 §"8尸：S,BFO =-） := （" 一 be） ： be 而：=手，所以S4必：5必依=（24一3）:3,故選B.2 .拋物線的幾何性質(zhì)例2：已知拋物線C:y2=2pM>0）的焦點為/，準線=點M在拋物線C上，點、M在直線/*

2、= -1上的射影為A,且直線AF的斜率為-6,則MAP的而積為（）A.小B. 273C. 4小D. 8小【答案】C【解析】設(shè)準線/與x軸交于點N,所以|FN| = 2,因為直線AF的斜率為-逃，所以NA/W = 60。，所以|A日=4,由拋物線定義知，|用山=|日，且NM4P = NARV = 60。，所以%產(chǎn)是以4為邊長的正三 角形，其面積為£x42=43.故選C.3 .雙曲線的幾何性質(zhì)22例3：已知點P是雙曲線= 1的右支上一點，M，N分別是圓(x + 10 +)J=4和10+ y2 = 1上的點，則1PMi-1尸N|的最大值為.【答案】1522【解析】在雙曲線二一二=1中，”

3、=6, Z? = 8, c = 10 ,36 64.£(-10,0),5(10,0), |P耳卜|尸周二%=12,-MP<PF + MF,9 PN>PF2-NF2f .,尸必一|尸義區(qū)|尸聞+附耳|一|明| + |陷| = 15.對點增分集訓(xùn)一、單選題1 .拋物線產(chǎn)=2/狀(>。)上的動點。到其焦點的距離的最小值為1，則=()A. 1B. 1C. 2D. 42【答案】C【解析】拋物線丁 =2px(>0)上的動點0到其焦點的距離的最小值即到準線的最小值，很明顯滿足最小值的點為拋物線的頂點，據(jù)此可知： = 1. ：.p = 2.本題選擇C選項.22 .設(shè)點1 K是

4、雙曲線丁-m=1的兩個焦點，點尸是雙曲線上一點，若31Pzi = 4|P號，則人人的面積等于()A. 573D. 2>/10【答案】B【解析】據(jù)題意，|P6=3|尸段,且日娟-|尸甲=2,解得|P"| = 8, |P號=6. 3又任用=4,在中由余弦定理，得cosN"G =四廣+|”-上父72 咫 |從而sin/RPF2 = J cos?尸工=塵,所以 =_Lx6x8xd2 二 3jIT ,故選 B.8283 .經(jīng)過橢圓/+2/=2的一個焦點作傾斜角為45。的直線1,交橢圓于M, N兩點，設(shè)0為坐標原點，則而等于（）【答案】C【解析】橢圓方程為5+ /=1，"

5、;=戊， =1，° = 1，取一個焦點尸（1，。），則直線方程 為 y = x-l，1,故選C. 3代入橢圓方程得3-4% = 0, M（O,-1）,嗚.撲所以甌麗4 .過拋物線卡=狀（，。）的焦點作直線交拋物線于P, 0兩點，若線段P。中點的橫坐標為3, |尸。| =艮，則6=（）A. 4B. 6C. 8D. 10土也=3,【答案】B【解析】設(shè)PQ的坐標分別為（內(nèi),凹），（上,為），線段尸。中點的橫坐標為3,則PQ = a, + x2 + /? = 6 + =,由此解得? = 6.故選 B.225 .己知雙曲線二-二=1（a0力0）的右焦點為尸，點A在雙曲線的漸近線上，4OAF是

6、cC bb. ？-r=i3X2 y2D. - -= 112 4邊長為2的等邊三角形（。為原點），則雙曲線的方程為（）A.7*) 廠廠 14 12【答案】B【解析】雙曲線=-二=1（。0方0）的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上，04/ cC /是邊長為2的等邊三角形（0為原點），可得c = 2, 2 = /,即4 = 3, £=二=3,解得 =1, b =#, cicrer雙曲線的焦點坐標在x軸，所得雙曲線的方程為-工=1,故選B.36 .如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入 以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在尸點第二次變

7、軌進入仍以F為 一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道 in繞月飛行.已知橢圓軌道I和II的中心與尸在同一直線上，設(shè)橢圓軌道I和n的長半軸長分別為，%，半焦距分別為q, G，則有（）A. - =B. % 一- C）C.D. % 一 4）一勒q a2-a a2【答案】C【解析】設(shè)圓形軌道in的半徑為R,-c, = R, £1="二0 = 1-四，. , % % %Gu、一RR=-=1 ，出出，一一由q 知5 工，故選C.2227.已知雙曲線G：土一產(chǎn)=1,雙曲線G：二.一5 = 1（"。）的左、右焦點分別為尸1，F(xiàn)-4cC

8、b“是雙曲線g的一條漸近線上的點，且。為坐標原點，若母二16,且雙曲線G，C2的離心率相同，則雙曲線C2的實軸長是（）【答案】D【解析】雙曲線G：?-V = i的離心率為李，設(shè)外（c,o）,雙曲線c2一條漸近線方程為by = x， a可得怩叫=J" , =b,即有pm=分一二=”,J a2 +b2由Saow,；=16,可得L力= 16,即" = 32,又/+從二秒，且, 二9， 2a 2解得“ =8, b = 4, c = 4邪,即有雙曲線的實軸長為16.故選D.8.已知F是拋物線C：y = 2的焦點，N是x軸上一點，線段RV與拋物線。相交于點M,若2尸A/ = MV,則歸

9、N|=（）A. 1B, 1C. -D.-228【答案】D【解析】由題意得點E的坐標為（o'卜設(shè)點用的坐標（%，%），點N的坐標（。,0）,8）所以向量:正必二卜6，%一（），雨=（。一而,-北），由向量線性關(guān)系可得：3%=。，2y0-l = -y0,解得：y0=l, 代入拋物線方程可得：M=±如，貝1=土也， 由兩點之間的距離公式可得：|W| = 故選D.89.已知橢圓G：二+二=1® 乙。）與雙曲線G：二-二=1（e0也 。）有相同的焦點 不外,點尸是曲線G與C2的一個公共點，2分別是C,和。2的離心率，若，尸外，則4+ ei 的最小值為（A. 22【答案】AB.

10、 4D. 9【解析】由題意設(shè)焦距為2c,橢圓長軸長為2%,雙曲線實軸為2小，令尸在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|P用-引= 2%，由橢圓定義|尸用+歸尸2| =勿4,又,P6'P外，|班+|尸引2=4<2,?+2,得用?+用'daj+a1,將代入，得4 J + <62 =左，2, 4c2 c2 5句+,-=” + 了 = 5"11+工23 + 2 = 2,故選 A.24 2210.已知F為拋物線C:）*=4x的焦點，月，B, C為拋物線C上三點，當內(nèi)+方+收=0時,稱ABC為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有（）A. 0個B. 1個C. 3個D.無數(shù)個【

11、答案】D【解析】拋物線方程為=4x, A, B,。為曲線C上三點, 當E4 + F3 + FC = 0時，尸為AABC的重心, 用如下辦法構(gòu)造BC'連接,并延長至使。=9八 當。在拋物線內(nèi)部時，設(shè)。（玉）,兒），若存在以。為中點的弦BC,則叫 + m2 = 2x0， nt + 叱=2yo ,則，= 4叫，兩式相減化為（勺+公）上二生=4 , 叱2=4叫一】一，的加°="二里=工，所以總存在以。為中點的弦8C,所以這樣的三角形有無數(shù)個，故選D. 叫一叫 先2222U.已知雙曲線1：二一A = iw>o>0）的左右焦點分別為小 居，橢圓：三+工=1 cr l

12、r34的離心率為e,直線MN過點F?與雙曲線交于M, N兩點，若cos/"MN = cosN再用M ,且熟=，則雙曲線口的兩條漸近線的傾斜角分別為（）A. 30% 1500B. 45。，135°C. 60。， 120°D. 15% 1650【答案】C【解析】由題 cos ZFMN = cos N6 F.M：.NFMN = FF2M ,|=| 片外卜 2c , 由雙曲線的定義可得"巴耳"不-為=左-2，, ,橢圓2：千+千=1的離心率為：-W，,器|=e = ；，|N用= 4c.|N引=4c-2a,4r2 + （ 2c 2 f 一 4c2在煙石中

13、，由余弦定理的cos/%.Sy'.）在Nf；&中，由余弦定理可得：cos/片外N =4c" + (4c 2a y 16c cr + c2 4f/c2 - 2c - (4c - 2ci) 2c (2c -a)/6外/+/再e' =冗，/. cos+ cosZFiF2N = 0,即c-a cr +c- -4ac2c 2c(2c-a)整理得2/ +3c2 -7gc =0設(shè)雙曲線的離心率為q,，3q27q+2 = 0,解得q=2或g （舍）.，二2 = 4,.3=/,即2 =退.，雙曲線的漸近線方程為y = ±/x, cra.漸近線的傾斜角為60。，120。

14、.故選C.,>212.已知P為橢圓亍+ ? = 1上一個動點，過點P作圓（x+lf+=i的兩條切線，切點分別是A, B,則P屋尸月的取值范圍為（）A. |收） B- 1-y C.2應(yīng)-3年D. 2>/5-3,+oo）【答案】C【解析】如圖，由題意設(shè)NAP8 = 26,則|尸川=忙回=烹，.PA PB = PA 尸 cos 2夕=- cos 28 = " ""- cos 28,tair 0l-cos26設(shè)cos2d = r,則刀.尸月= ! = (1/) + £ 3N2,(1 /).占一3 二 2點一3,當且僅當1T=2-,即，=1一"

15、;時等號成立，此時cos2d = l - 4. It又當點尸在橢圓的右頂點時，sin/9 = L Acos2 = l-2sin2 = -,39此時尸屋尸月最大，且最大值一xl = .1-Z 9 99.萬方的取值范圍是2"-3.?，故選C.二、填空題13 .已知過拋物線/=-2x的焦點尸，且斜率為"的直線與拋物線交于A、B兩點,則網(wǎng),【答案】-2【解析】由/=-2工知句，由焦點弦性質(zhì)廠:+=2=2, AF BF p而四世=心曳絲1=1_'| 叫AF+BF _L + _L 2 2產(chǎn)I陽214 .已知橢圓;+y=i的左、右焦點為片、K，點片關(guān)于直線，= 一式的對稱點P仍在

16、橢 a圓上，則APFF?的周長為.【答案】272+2【解析】設(shè)氏(c,0), /s(g0)(c>0),片關(guān)于直線)，=-x的對稱點P坐標為(0,c),點尸在橢圓上，則：2 + 1=1,則c = = l,=扇+c? =2 ,則“ = >/?, cr故月打的周長為：歸用+ |P周+ |£5| = 2n +2c = 2"+2.2215 . P為雙曲線1-二=1右支上一點，F(xiàn)F,分別為雙曲線的左、右焦點，且P個P片二0, 491.直線PF2交y軸于點A，則AN毋P的內(nèi)切圓半徑為.【答案】2【解析】尸再，尸&, AAPf；的內(nèi)切圓半徑為r ,，PF + 1PAi-

17、十用=2r , ：.PF2 + 2a + PA-AF = 2r 9A AF2-AFx = 2r-4,由圖形的對稱性知：|A5| = |力用，r = 2.故答案為2.2216.己知直線/與橢圓、+ : = 1（“>0,>0）相切于第一象限的點尸（聞,如）,且直線/與x cr b軸、），軸分別交于點A、B，當403（。為坐標原點）的面積最小時，N6尸外=60。（6、居是橢圓的兩個焦點），若此時在Pf；居中，/片尸工的平分線的長度為正4,則實數(shù)?的 m值是.【答案】-2【解析】由題意，切線方程為爭+滬=1,/a rVo；,_ 1 crlrAOB =彳2順為：十y/一1三2%)'。

18、cr b1 ab*京必J且僅工吟葉邛時,AQ5 （。為坐標原點）的面積最小, 直線/與，軸分別相交于點A, 8,.A ,0 , 8 0.二，.S設(shè)|尸用=x, |P用=y,由余弦定理可得4c2 = A-2 + V2 -xy = 4cJ -3不，：.xy' = -b2 , 3c1. /co >/3 . > 1c3. )7pg =-sin60- = -/.-x2cxy0=/7-,4JXrJ:.y空b,2晅b, 3c 233,/PE的內(nèi)角平分線長度為立，/.lxxx</xl + lxyx m 2 m 2 21 瓜一 6 15,2/.-x x2a =x/ =L更2 2m(%+

19、y) =2 2m2m 9三、解答題 17.設(shè)常數(shù)f >2.在平面直角坐標系xOy中，已知點F(2,0),直線/： x = r,曲線： y設(shè)，=3，。| = 2,線段。的中點在直線FP,求AAOP的面枳； 設(shè)/ = 8,是否存在以口、尸。為鄰邊的矩形FPEQ,使得點上在F上？若存在，求點 戶的坐標: 若不存在，說明理由.【答案】(1) f + 2;(2) 口(3)存在，P 6【解析】(1)方法一：由題意可知：設(shè) 則陽= J(-2f+8/=f + 2, A |BF| = r + 2： 方法二：由題意可知：設(shè)/卜=8x(0<x<f,y>0). /與x軸交于點A、與交于點8 .

20、 P、0分別是曲線與線段AB上的動點.(1)用表示點B到點F距離;(2)(3)由拋物線的性質(zhì)可知：怛日= f + / = f + 2，怛F| = z + 2；(2)尸(2,0), |尸0| = 2, t = 3,則|例=1,M=6，.,.Q(3,回，設(shè)OQ的中點Z), 喟，當 kQF="=一",則直線丑尸方程：y = ->/3(x-2),二一 2 2聯(lián)立卜=-6（“-2）,整理得：3一20% + 12 = 0,y=8x解得：x = |, x = 6 （舍去），.AAQP的面積S = ；xJJ + （ =；/ 22 X（3）存在,設(shè) P .y , E jn ,貝必pf=2_ = *, kf直線。F方程為y 二三二(x 2),.坨=三二(8 2)=登”，Q 8,f 8y丫 8y4y4y根據(jù)方+攻=在，則E二+ 6.=,8 4y，存在以b