2019年四川省內(nèi)江市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

1、2019年四川省內(nèi)江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1 （ 5分）已知集合A=x|x2< 1， B=x| 2x> 1，則A B=（）A （0，1）B（1，+）C （1，+）D（， 1）（0，+）2 （ 5 分）設(shè) i 為虛數(shù)單位，a R，若是純虛數(shù)，則a=（）A 2B2 C 1D13 （ 5 分）下列各組向量中，可以作為基底的是（）A，B，C，D，4 （ 5 分）下列說法中正確的是（）A先把高三年級的2000 名學(xué)生編號：1 到2000，再從編號為1 到 50 的 50 名學(xué)生中隨

2、機抽取1 名學(xué)生， 其編號為m， 然后抽取編號為m+50， m+100， m+150的學(xué)生，這樣的抽樣方法是分層抽樣法B線性回歸直線不一定過樣本中心點C若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r 的值越接近于1D設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（ 10， 0.01） ，則5 （ 5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a 為 2，則輸出的a 值是（）A 2B 1CD165 分）若函數(shù)f（ x） =sin（ 2x+）在上單調(diào)遞減，則的值可能是A 2B CD7A5 分）已知 是銳角，若，則 cos2 = （BCD8 （ 5 分）設(shè)an是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（A若a1=1，a5=4，則a3=2

3、B若a1+a3>0，則a2+a4>0C若a2>a1，則a3>a2 D若a2>a1>0，則a1+a3>2a29 （ 5 分）函數(shù)f（ x） =x2 2|x|的圖象大致是（）BAD10 （ 5 分 ） 已 知 實 數(shù) a， b 滿 足， 則 當(dāng)時 ，的最大值是（）A 5B 2CD11 （ 5 分）當(dāng)x> 0 時，不等式恒成立，則a 的取值范圍是（）A 0，1）（1，+）B（0，+）C （，0 （1，+）D（， 1）（1， +）12 （5 分）設(shè)nN*，函數(shù)f1（x）=xex，f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x）， ，fn+1（x）=fn（x

4、）， 曲線y=fn（x）的最低點為Pn，PnPn+1Pn+2的面積為Sn，則 （）A Sn是常數(shù)列B Sn不是單調(diào)數(shù)列C Sn 是遞增數(shù)列D Sn是遞減數(shù)列二、填空題：本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分13 （ 5 分） （ 1+x） （ 1 x） 6的展開式中，x3的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）14 （ 5 分）甲、乙、丙三位同學(xué)中有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時，甲說：丙沒有申請；乙說：甲申請了；丙說：甲說對了如果這三位同學(xué)中只有一人說的是假話，那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是15 （ 5分）設(shè)函數(shù)，則滿足，則滿足f（ x） +f

5、（ x1）<2 的 x 的取值范圍是16 （ 5 分）已知菱形ABCD的邊長為2，DAB=60°， P 是線段 BD 上一點，則的最小值是三、解答題：本大題共5 小題，共70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17 （ 12 分）設(shè)數(shù)列 an滿足a1+2a2 +4a3+ +2n 1an=n（）求數(shù)列 an的通項公式；（）求數(shù)列 an+log2an的前n 項和18 （12 分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+csinB=0（）求C；（）若，點 D 在邊AB 上，CD=BD，求CD的長19 （ 12 分）某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為

6、了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50 件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值，若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在 100， 120）內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品表 1 是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖 1 是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖表 1：甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值 95， 100) 100，105) 105，110) 110，115) 115，120) 120，125頻數(shù)141920511：乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖（） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；甲套設(shè)備乙套設(shè)備合

7、計合格品不合格品合計1 和圖1，對兩套設(shè)備的優(yōu)劣進行比較；（）將頻率視為概率若從甲套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，隨機抽取3 件產(chǎn)品，記抽到的不合格品的個數(shù)為X，求X的期望E（ X） 附：P（ K2 k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63520（12 分） 已知函數(shù)（fx）=asinx+bcos（xa，bR） ，曲線y=（ fx）在點處的切線方程為：（）求a， b 的值；k R，求函數(shù)21 （ 12 分）已知函數(shù)f（ x） =ex 2，其中e 2.71828 是自然對數(shù)的底數(shù)（）證明：當(dāng)x> 0 時，f（ x）>x 1 ln

8、x；（）設(shè)m 為整數(shù)，函數(shù)g（ x） =f（ x）lnx m 有兩個零點，求m 的最小值 選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程22 （ 10 分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)） ， 曲線 C的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)） 以坐標(biāo)原點O為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（）求直線l 和曲線 C的極坐標(biāo)方程；（）已知直線l 上一點 M 的極坐標(biāo)為（2， ） ，其中射線 OM與曲線 C交于不同于極點的點N，求| MN| 的值 選修4-5：不等式選講23已知函數(shù)f（ x） =| 3x 1|+| x 2| 的最小值為m（）求m 的值；（）設(shè)實數(shù)a， b 滿足2a2+b2=m，證明：2

9、a+b2019年四川省內(nèi)江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1 （ 5分）已知集合A=x|x2< 1， B=x| 2x> 1，則A B=（）A （0， 1）B（1， +） C （1，+） D（， 1）（0， +）【解答】 解：集合A= x| x2<1 =x| 1<x<1 ，B= x| 2x> 1=x| x> 0 ，則 A B= x| x>1 =（1， +），故選B2 （ 5 分）設(shè) i 為虛數(shù)單位，a R，若是純虛數(shù)，則a=（）A

10、 2B2 C 1D1【解答】 解：=是純虛數(shù)，解得a=1故選：C3 （ 5 分）下列各組向量中，可以作為基底的是（）A，B，C，D，【解答】 解：對于A， 是兩個共線向量，故不可作為基底對于B， 是兩個不共線向量，故可作為基底對于C， 是兩個共線向量，故不可作為基底對于D， 是兩個共線向量，故不可作為基底故選：B4 （ 5 分）下列說法中正確的是（）A先把高三年級的2000 名學(xué)生編號：1 到2000，再從編號為1 到 50 的 50 名學(xué)生中隨機抽取1 名學(xué)生， 其編號為m， 然后抽取編號為m+50， m+100， m+150的學(xué)生，這樣的抽樣方法是分層抽樣法B線性回歸直線不一定過樣本中心點

11、C若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r 的值越接近于1D設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（ 10， 0.01） ，則【解答】 解：在 A中，先把高三年級的2000名學(xué)生編號：1 到 2000，再從編號為 1 到 50 的 50 名學(xué)生中隨機抽取1 名學(xué)生，其編號為m，然后抽取編號為m+50， m+100， m +150 的學(xué)生， 這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法，故 A 錯誤；在 B 中，線性回歸直線一定過樣本中心點，故 B 錯誤；在 C 中， 若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r 的絕對值越接近于1，故 C 錯誤；在 D 中，設(shè)隨機變量X 服從正態(tài)分布N（ 10， 0.01） ，則由正態(tài)

12、分布性質(zhì)得，故 D 正確故選：D5 （ 5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a 為2，則輸出的a 值是（【解答】 解：當(dāng)a=2， k=0時，執(zhí)行循環(huán)a= 1，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，k=1；執(zhí)行循環(huán)a= ，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，k=2；執(zhí)行循環(huán)a=2，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，k=3；執(zhí)行循環(huán)a= 1，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，k=4；執(zhí)行循環(huán)a= ，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，k=5；執(zhí)行循環(huán)a=2，不滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故輸出的結(jié)果為2，故選： A6 （ 5 分）若函數(shù)f（ x） =sin（ 2x+）在上單調(diào)遞減，則 的值可能是（）A 2B CD【解答】 解：函數(shù)f（ x） =sin（ 2x+）在上單調(diào)遞減，

13、k Z故選：7 （ 5 分）已知 是銳角，若，則 cos2 = （解 答 】 解 ： 已 知 是 銳 角 ， 若， cos（ ）則cos2=si（n2）=sin（2）=2sin（ ）cos（ ）=2故選：D8 （ 5 分）設(shè)an是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）A若a1=1，a5=4，則a3=2B若a1+a3>0，則a2+a4>0C若a2>a1，則a3>a2 D若a2>a1>0，則a1+a3>2a2【解答】 解：A由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：=a1?a5=4，由于奇數(shù)項的符號相同，可得a3=2，因此不正確8 a1+a3> 0，則a2+a4=q（ a1

14、+a3） ，其正負由q 確定，因此不正確；C若a2>a1，則a1（q1）>0，于是a3a2=a1q（q1） ，其正負由q 確定，因此不正確；D若a2>a1>0，則a1q>a1>0，可得a1>0，q>1 ，1+q2>2q，則a1（1+q2）> 2a1q，即a1+a3> 2a2，因此正確故選：D9 （ 5 分）函數(shù)f（ x） =x2 2|x|的圖象大致是（D解：函數(shù)f（ x）=x2 2|x|，f（ 3） =9 8=1> 0，故排除C， D，f（ 0） = 1， f（） = 2=0.25<1，故排除A，故選： Bx>

15、 0 時， f（ x） =x2 2x，f （ x） =2x 2xln2，故選： B= asin2 + bcos2=sin （ 2+ ） ， 取 值作出實數(shù)a，可 行 域 可 知 | AO| 的 距 離 是 最 大 值 ， 由tan = ， 解 得 A（ 3， 1） ，b 滿足的可行域如圖：A10 （ 5 分 ） 已 知 實 數(shù) a， b 滿 足， 則 當(dāng)?shù)淖畲笾凳牵ǎ〢 5B 2CD【解答】解：當(dāng)CB當(dāng)時，2 0， ，=，時， tan = = ，所以的最大值是：11 （ 5 分）當(dāng)x> 0 時，不等式恒成立，則a 的取值范圍是（）A0，1）（1，+）B（0，+）C（， 0 （1，+）D（

16、， 1）（1， +）【解答】 解：由題意令f（x）=x2+（1a）xalnx2a+a2，則 f （ x） =x+（ 1 a） x=，a< 0 時， f （ x）>0， f（ x）在（0， +）遞增，x 0 時， f（ x） ，故不合題意，a=0時，f（ x） = x2+x> 0，符合題意，a>0 時，令 f （x）>0，解得：x>a，令f （x）<0，解得：0<x<a，故f（x）在（ 0，a）遞減，在（a，+）遞增，故f（x）min=f（a）=a（a1 lna），令h （a）=a1lna，（a>0），故h（ a） =1=，令 h（a）

17、0，解得：a1，令 h（ a）0，解得：0a1，故h （a）在（0，1 ）遞減，在（1 ， +）遞增，故h （ a）h （ 1） =0，故a1lna0，故a 0 時，只要a 1，則h（ a）0，綜上，a 0， 1 ）（1 ， +），故選：A12 （5 分）設(shè)nN*，函數(shù)f1（x）=xex，f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x）， ，fn+1（x）=fn（x）， 曲線y=fn（x）的最低點為Pn，PnPn+1Pn+2的面積為Sn，則 （A Sn是常數(shù)列B Sn不是單調(diào)數(shù)列C Sn 是遞增數(shù)列D Sn是遞減數(shù)列【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f1（ x） =xex，其導(dǎo)數(shù) f1（ x） =（ x

18、） e x+x（ ex） = （ x+1） ex，分析可得在（， 1）上， f1（ x）0， f1（ x）為減函數(shù)，在（1， +）上，f1（ x）0， f1（ x）為增函數(shù)，曲線y=f1（ x）的最低點P1， （1，） ，對于函數(shù)f2（ x） =f1（ x） =（ x+1 ） ex，其導(dǎo)數(shù)f2（x）=（x+1） ex+（x+1）（ex）=（ x+2）ex，分析可得在（， 2）上， f1（ x）0， f1（ x）為減函數(shù)，在（2， +）上，f1（ x）0， f1（ x）為增函數(shù)，曲線y=f1（ x）的最低點P1， （2，） ，分析可得曲線y=fn（ x）的最低點Pn，其坐標(biāo)為（n，） ；則Pn+

19、1（n 1，） ， Pn+2（n 2，） ； | PnPn+1| =，直線PnPn+1 的方程為，即為（e 1） x+en+1y+e n=0，故點Pn+2到直線PnPn+1 的距離d=Sn= | PnPn+1| ?d=，設(shè)g（ n ） =，易知函數(shù)g（ n）為單調(diào)遞減函數(shù)，故 Sn 是遞減數(shù)列，故選： D二、填空題：本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分13 （ 5 分） （ 1+x） （ 1 x） 6的展開式中，x3的系數(shù)是 5 （用數(shù)字作答）【解答】解： （ 1 x） 6展開式的通項公式為Tr+1= ?（x） r，（1+x） （ 1 x） 6的展開式中，x3的系數(shù)是?（1） 3+ ?

20、（1） 2= 20+15= 5故答案為：514 （ 5 分）甲、乙、丙三位同學(xué)中有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時，甲說：丙沒有申請；乙說：甲申請了；丙說：甲說對了如果這三位同學(xué)中只有一人說的是假話，那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是乙 【解答】 解：假設(shè)申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是甲，則甲和丙說的都是假話，乙說的是真話，不滿足題意；假設(shè)申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是乙，則甲和丙說的都是真話，乙說的是假話，滿足題意；假設(shè)申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是丙，則甲、乙、丙說的都是假話，不滿足題意故申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同

21、學(xué)是乙故答案為：乙15 （ 5分）設(shè)函數(shù)，則滿足f（ x） +f（ x 1）<2 的 x的取值范圍是（， 2）【解答】 解：當(dāng)x<0時，f（x）=f（x）=x（x1）=x（x+1） ，若x< 0，則x 1<1，由f（x）+f（x1）<2得x（x+1）（x1）x<2，即2x2< 2，即x2>1，此時恒成立，此時x< 0若x 1，則x 1 0，由f（x）+f（x1）<2得x（x1）+（x1） （x2）<2，即 x2 2x< 0，即0< x< 2，此時 1 x< 2，若0 x< 1，則x 1< 0，

22、則由 f（x）+f（x1）<2 得x（x1）（x1 ）x<2，即 0< 2，此時不等式恒成立，此時0 x< 1，綜上x< 2，即不等式的解集為（，2） ，故答案為：（， 2）16 （ 5 分）已知菱形ABCD的邊長為2，DAB=60°， P 是線段 BD 上一點，則的最小值是【解答】 解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，菱形ABCD的邊長為2，DAB=6°0，可設(shè)P（ 0， b） ，且1 b 1；A（， 0） ，C（，0），D（0，1） ，=（，b），=（，b），=（0，1 b） ，+ =（， 1 2b） ，=3b（12b）=3b+2b2=2，當(dāng)

23、且僅當(dāng)b= 時，取得最小值故答案為：5 小題，共70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17 （ 12 分）設(shè)數(shù)列 an滿足a1+2a2+4a3+ +2n 1an=n an的通項公式； an+log2an的前n 項和解： （）數(shù)列 an 滿足n 2時， （ 2 分）n 2時，2n 1an=1，（ 4 分）n=1 時，an=1 滿足上式 an 的通項公式 ( 6 分) ( 7 分)(a1+log2a1)+ (a2+log2a2)+ (a3+log2a3)+ (an+log2an)， （ 9 分） （ 12 分）18 （ 12 分）ABC的內(nèi)角A， B， C的對邊分別為a， b， c，已知

24、bcosC+csinB=0C；，點 D 在邊 AB 上，CD=BD，求CD的長解： （）bcosC+csinB=0sinBcosC+sinCsinB=0，0< B< sinB> 0，于是cosC+sinC=0，即tanC= 1，0< C< c=5，BCD中，CD=BD，19 （ 12 分）某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50 件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值，若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在 100， 120）內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品表 1 是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖 1 是乙套設(shè)備的樣

25、本的頻率分布直方圖表 1：甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo) 95， 100） 100， 105， 110， 115， 120，值105)110)115)120)125頻數(shù)141920511：乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計合格品不合格品合計1 和圖1，對兩套設(shè)備的優(yōu)劣進行比較；（）將頻率視為概率若從甲套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，隨機抽取3 件產(chǎn)品，記抽到的不合格品的個數(shù)為X，求X的期望E（ X） 附：P( K2 k0)0.150.100.0500.0250.010k

26、02.0722.7063.8415.0246.635解： （）根據(jù)表1 和圖 1 得到列聯(lián)表：甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計合格品484391不合格品279合計5050100 （ 3 分） 將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得； （ 5 分）3.053> 2.706，90%的把握認為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)； （ 6 分）1 和圖 1 可知，甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為， 105， 115）之間，從而甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備； （ 9 分）（）由題知，不合格品的概率為P= = ，且 X B（ 3，） ， （ 11 分）X的數(shù)學(xué)期望為 （ 12 分）20（12 分） 已知函數(shù)（fx）=as

27、inx+bcos（xa，bR） ，曲線y=（ fx）在點 處的切線方程為：（）求a， b 的值；k R，求函數(shù)解： （）由切線方程知，當(dāng)時，y=0，f'（ x） =acosx bsinx，g（ x） =kx sinx， g'（ x） =k cosx，?當(dāng)k 0 時，當(dāng)時， g'（ x）0，故g（ x）單調(diào)遞減， g（ x）在上的最大值為g（ 0） =0；當(dāng)0< k< 1 時， g'（ 0） =k 1< 0，存在，使g'（ x0） =0，當(dāng) x 0， x0）時，g'（ x）<0，故g（ x）單調(diào)遞減，當(dāng)時， g'（

28、x）>0，故g（ x）單調(diào)遞增 g（ x）在上的最大值為g（ 0）或，又 g（ 0） =0，當(dāng)時，g（ x）在上的最大值為g（ 0） =0，當(dāng)時，g（ x）在上的最大值為，?當(dāng)k 1 時，當(dāng)時， g'（ x）0，故g（ x）單調(diào)遞增， g（ x）在上的最大值為綜上所述，當(dāng)時，g（ x）在上的最大值為g（ 0） =0當(dāng) 時， g（ x）在上的最大值為21 （ 12 分）已知函數(shù)f（ x） =ex 2，其中e 2.71828 是自然對數(shù)的底數(shù)（）證明：當(dāng)x> 0 時， f（ x）>x 1 lnx；（）設(shè)m 為整數(shù)，函數(shù)g（ x） =f（ x）lnx m 有兩個零點，求m 的最小值【解答】 解： （）證明：設(shè)h（ x） =ex x 1，則 h'（ x） =ex 1，令 h'（ x） =0，得x=0，當(dāng) x（，0）時，h'（ x）<0， h（ x）單調(diào)遞減，當(dāng) x（0， +）時，h'（ x）0， h（ x）單調(diào)遞增， h（ x）h（ 0） =0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，對任意x R， ex x+1 （ 2 分）當(dāng)x>0 時，f（x）>x1當(dāng)x>1 時，x ln（ x+1）當(dāng)x>0