運(yùn)籌學(xué)第2章線性規(guī)劃的圖解法

1、第二章第二章線性規(guī)劃的圖解法線性規(guī)劃的圖解法 1 1問題的提出問題的提出 2 2圖解法圖解法 3 3線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化 4 4圖解法的靈敏度分析圖解法的靈敏度分析第二章第二章線性規(guī)劃的圖解法線性規(guī)劃的圖解法在管理中一些典型的線性規(guī)劃應(yīng)用在管理中一些典型的線性規(guī)劃應(yīng)用 合理利用線材問題：如何在保證生產(chǎn)的條件下，下料最少 配料問題：在原料供應(yīng)量的限制下如何獲取最大利潤 投資問題：從投資項(xiàng)目中選取方案，使投資回報(bào)最大 產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃：合理利用人力、物力、財(cái)力等，使獲利最大 勞動(dòng)力安排：用最少的勞動(dòng)力來滿足工作的需要 運(yùn)輸問題：如何制定調(diào)運(yùn)方案，使總運(yùn)費(fèi)最小線性規(guī)劃的組成：線性規(guī)劃的組成：

2、目標(biāo)函數(shù) Max F 或 Min F約束條件 s.t. (subject to) 滿足于決策變量 用符號(hào)來表示可控制的因素1 1問題的提出問題的提出例例1. 某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A、B兩種原材料的消耗、資源的限制，如下表：問題：工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少單位、產(chǎn)品才能使工廠獲利最多？線性規(guī)劃模型：線性規(guī)劃模型： 目標(biāo)函數(shù)：Max z = 50 x1 + 100 x2 約束條件：s.t. x1 + x2 300 2 x1 + x2 400 x2 250 x1 , x2 0 一家工廠制造三種產(chǎn)品，需要三種資源：技術(shù)服務(wù)、勞動(dòng)力、行政管理。下表列出了三種單

3、位產(chǎn)品對(duì)每種資源的需要量。今有100h的技術(shù)服務(wù)，600h的勞動(dòng)力和300h的行政管理時(shí)間可供使用。試確定能使總利潤最大的產(chǎn)品生產(chǎn)量的線性規(guī)劃模型。產(chǎn)品資源/h單位利潤/元技術(shù)服務(wù) 勞動(dòng)力行政管理11102102142631564 解：設(shè)三種產(chǎn)品的生產(chǎn)量分別為x1、x2、x3。 線性規(guī)劃模型為： Max z=10 x1+6x2+4x3 S.t. x1+x2+x3100 10 x1+4x2+5x3 600 2x1+2x2+6x3 300 x1,x2,x30例例2 M&D公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，基于對(duì)現(xiàn)有的存儲(chǔ)水平和下一個(gè)月的市場潛力的分析，M&D公司管理層決定A和B的總產(chǎn)量至少要

4、達(dá)到350千克，此外，公司的一個(gè)客戶訂了125千克的A產(chǎn)品必須首先滿足。每千克A、B產(chǎn)品的制造時(shí)間分別為2小時(shí)和1小時(shí)，總工作時(shí)間為600小時(shí)。每千克A、B產(chǎn)品的原材料成本分別為2$和3$。確定在滿足客戶要求的前提下，原材料成本最小的生產(chǎn)計(jì)劃。解：設(shè)產(chǎn)品 A、B 的產(chǎn)量分別為y, x。則，數(shù)學(xué)模型為： 0600235012532y, xyxyxxyxZmin 1 1問題的提出問題的提出 建模過程建模過程1.理解要解決的問題，了解解題的目標(biāo)和條件；2.定義決策變量（ x1 ，x2 ， ，xn ），每一組值表示一個(gè)方案；3.用決策變量的線性函數(shù)形式寫出目標(biāo)函數(shù)，確定最大化或最小化目標(biāo)；4.用一組決

5、策變量的等式或不等式表示解決問題過程中必須遵循的約束條件 一般形式一般形式目標(biāo)函數(shù)： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 約束條件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bm x1 ，x2 ， ，xn 0 max（min） z = c1x1 + c2x2 + + cnxn x1，x2 ， ，xn 0stst. .a11x1 + a12x2 + + a1nxn (或或=,)

6、b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn (或或=,) b2an1x1 + a2nx2 + + annxn (或或=,) bn 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)約束約束條件條件決策決策變量變量xj稱為該問題的決策變量。稱為該問題的決策變量。資源擁資源擁有量有量價(jià)值價(jià)值系數(shù)系數(shù)在目標(biāo)函數(shù)中在目標(biāo)函數(shù)中xj的系數(shù)的系數(shù)cj稱為稱為該決策變量的價(jià)值系數(shù)。該決策變量的價(jià)值系數(shù)。技術(shù)系技術(shù)系數(shù)或工數(shù)或工藝系數(shù)藝系數(shù)aij 稱為該問題的技術(shù)稱為該問題的技術(shù)系數(shù)或工藝系數(shù)。由所有系數(shù)或工藝系數(shù)。由所有aij組成的矩陣稱為約束組成的矩陣稱為約束方程的方程的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣。在問題中，在問題中，xj的取值受的取值受m

7、項(xiàng)資項(xiàng)資源的約束，源的約束，bi稱為第稱為第i項(xiàng)資源項(xiàng)資源的擁有量。的擁有量。其它表示方式其它表示方式x xj j 0 (j=1,2, 0 (j=1,2, ,n) ,n)stst . . max max（minmin） z =z =nj 1c cj jx xj jnj 1a aijijx xj j ( (或或=,) b=,) bi i (i=1,2, (i=1,2, ,m) ,m) max max（minmin） z =z =X X 0 0stst . .CX C=CX C=（c c1 1 , , c c2 2 , , , c, cn n ）P Pj jx xj j ( (或或=,) b=,)

8、 b用用向向量量表表達(dá)達(dá)nj 1P Pj j= =（a a1j 1j , , a a2j 2j , , , a , anjnj）T Tb=b=（b b1 1 , , b b2 2 , , , b , bm m）T T簡簡化化表表示示X=X=（x x1 1 , , x x2 2 , , , x , xn n）T T其中其中X X 0 0stst . .AX AX ( (或或=,) b=,) b用用矩矩陣陣表表達(dá)達(dá)A= A= a a11 11 a a12 12 a a1n 1n a a21 21 a a22 22 a a2n 2n a am1 m1 a am2 m2 a amnmn 矩陣矩陣A A

9、稱為約束方程組（約束條件）的系數(shù)矩陣。稱為約束方程組（約束條件）的系數(shù)矩陣。 max max（minmin） z =z =C CX X C= C=（c c1 1 , , c c2 2 , , , c , cn n ）例例2-1.目標(biāo)函數(shù)： Max z = 50 x1 + 100 x2 約束條件： s.t. x1 + x2 300 (A) 2 x1 + x2 400 (B) x2 250 (C) x1 0 (D) x2 0 (E)得到最優(yōu)解： x1 = 50， x2 = 250 最優(yōu)目標(biāo)值 z = 275002圖圖 解解 法法 對(duì)于只有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問題，可以在平面直角坐標(biāo)系上作圖表示線

10、性規(guī)劃問題的有關(guān)概念，并求解。 下面通過例1詳細(xì)講解其方法：圖解線性規(guī)劃問題步驟 第一步，畫直角坐標(biāo)系 第二步，根據(jù)約束條件畫可行域 第三步，畫過坐標(biāo)原點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)線，斜率為-c1/c2 第四步，確定目標(biāo)函數(shù)值的增大（減?。┓较?第五步，讓目標(biāo)函數(shù)沿著增大（減?。┓较蚱叫幸苿?dòng)，與可行域相交且有最大（最?。┠繕?biāo)函數(shù)值的頂點(diǎn)，即為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解和值。x1x2z=20000=50 x1+100 x2圖z=27500=50 x1+100 x2z=0=50 x1+100 x2z=10000=50 x1+100 x2CBADE二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的確定 怎樣判斷二元一次不等式 表示的是

11、直線 哪一側(cè)的平面區(qū)域？ 0CByAx0CByAx可以用“選點(diǎn)法”確定具體區(qū)域：任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域 畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域： （1）y-2x+1 （2）x-y+20 (1) x0 (2) 6x+5y22 (3)yx 2圖圖 解解 法法 (1)分別取決策變量X1 , X2 為坐標(biāo)向量建立直角坐標(biāo)系。在直角坐標(biāo)系里，圖上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)代表了決策變量的一組值，例1的每個(gè)約束條件都代表一個(gè)半平面。x2x1X20X2=0 x2x1X10X1=02圖圖 解解 法法（2）對(duì)每個(gè)

12、不等式(約束條件)，先取其等式在坐標(biāo)系中作直線，然后確定不等式所決定的半平面。100200300100200300 x1+x2300 x1+x2=3001001002002x1+x24002x1+x2=4003002003004002圖圖 解解 法法（3）把五個(gè)圖合并成一個(gè)圖，取各約束條件的公共部分，如圖2-1所示。100100 x2250 x2=250200300200300 x1x2x2=0 x1=0 x2=250 x1+x2=3002x1+x2=400圖2-12圖圖 解解 法法（4）目標(biāo)函數(shù)z=50 x1+100 x2，當(dāng)z取某一固定值時(shí)得到一條直線，直線上的每一點(diǎn)都具有相同的目標(biāo)函數(shù)值

13、，稱之為“等值線”。平行移動(dòng)等值線，當(dāng)移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，z在可行域內(nèi)實(shí)現(xiàn)了最大化。A，B，C，D，E是可行域的頂點(diǎn)，對(duì)有限個(gè)約束條件則其可行域的頂點(diǎn)也是有限的。x1x2z=20000=50 x1+100 x2圖2-2z=27500=50 x1+100 x2z=0=50 x1+100 x2z=10000=50 x1+100 x2CBADE21112100 xxZ 斜截式價(jià)值系數(shù)的符號(hào)與目標(biāo)函數(shù)直線族的平行移動(dòng) 寫成斜截式比較容易弄清楚移動(dòng)方向 Z=50 x1+100 x2 （+，+）求最大右上方移動(dòng)，求最小左下方移動(dòng) Z=-50 x1-100 x2 （-， -）求最大左下方移動(dòng)，求最小右上方移動(dòng) Z

14、=-50 x1+100 x2 （-， +）求最大左上方移動(dòng)，求最小右下方移動(dòng) Z=50 x1-100 x2 （+， -）求最大右下方移動(dòng)，求最小左上方移動(dòng)21112100 xxZ21112100 xxZ 21112100 xxZ 21112100 xxZx1x2O1020304010203040(300,400)(15,10)最優(yōu)解最優(yōu)解X=(15,10)最優(yōu)值最優(yōu)值Z=850040221xx305 . 121xx0, 0305 . 1402212121xxxxxx例例2-212max300400Zxx246x1x2246最優(yōu)解最優(yōu)解X=(3,1)最優(yōu)值最優(yōu)值Z=5(3,1)006346321

15、212121xxxxxxxx、min Z=x1+2x2例例2-3(1,2)246x1x2246X（2）（3,1）X（1）（1,3）(5,5)006346321212121xxxxxxxx、min Z=5x1+5x2例例2-4有無窮多個(gè)最優(yōu)解有無窮多個(gè)最優(yōu)解即具有多重解即具有多重解,通解為通解為 01 ,)1 ()2() 1 (XXX 當(dāng)當(dāng)=0.5時(shí)時(shí)=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2) 246x1x2246(1,2)006346321212121xxxxxxxx、無界解無界解(無最優(yōu)解無最優(yōu)解)max Z=x1+2x2例例2-5x1x2O10203040102030

16、4050500,050305 .140221212121xxxxxxxx無可行解無可行解即無最優(yōu)解即無最優(yōu)解max Z=10 x1+4x2例例2-6由以上例題可知，線性規(guī)劃的解有由以上例題可知，線性規(guī)劃的解有4種形式種形式：1.有唯一最優(yōu)解有唯一最優(yōu)解(例例2-2例例2-3)2.有多重解有多重解(例例2-4)3.有無界解有無界解(例例2-5)4.無可行解無可行解(例例2-6)1、2情形為有最優(yōu)解情形為有最優(yōu)解3、4情形為無最優(yōu)解情形為無最優(yōu)解2圖圖 解解 法法 重要結(jié)論： 如果線性規(guī)劃有最優(yōu)解，則一定可以在可行域的某個(gè)頂點(diǎn)上找到最優(yōu)解； 無窮多個(gè)最優(yōu)解，在邊界上取得。若將例2-1中的目標(biāo)函數(shù)變

17、為max z=50 x1+50 x2，則線段BC上的所有點(diǎn)都代表了最優(yōu)解； 無界解。即可行域的范圍延伸到無窮遠(yuǎn)，目標(biāo)函數(shù)值可以無窮大或無窮小。一般來說，這說明模型有錯(cuò)，忽略了一些必要的約束條件； 無可行解。若在例2-1的數(shù)學(xué)模型中再增加一個(gè)約束條件4x1+3x21200，則可行域?yàn)榭沼颍淮嬖跐M足約束條件的解，當(dāng)然也就不存在最優(yōu)解了。進(jìn)進(jìn) 一一 步步 討討 論論 例例2 2 某公司由于生產(chǎn)需要，共需要A，B兩種原料至少350噸（A，B兩種材料有一定替代性），其中A原料至少購進(jìn)125噸。但由于A，B兩種原料的規(guī)格不同，各自所需的加工時(shí)間也是不同的，加工每噸A原料需要2個(gè)小時(shí)，加工每噸B原料需要1

18、小時(shí)，而公司總共有600個(gè)加工小時(shí)。又知道每噸A原料的價(jià)格為2萬元，每噸B原料的價(jià)格為3萬元，試問在滿足生產(chǎn)需要的前提下，在公司加工能力的范圍內(nèi)，如何購買A，B兩種原料，使得購進(jìn)成本最低？進(jìn)進(jìn) 一一 步步 討討 論論解：目標(biāo)函數(shù)： Min f = 2x1 + 3 x2 約束條件：s.t. x1 + x2 350 x1 125 2 x1 + x2 600 x1 , x2 0 采用圖解法。如下圖：得Q點(diǎn)坐標(biāo)（250，100）為最優(yōu)解。100200300 400 500 600100200300400600500 x1 =125x1+x2 =3502x1+3x2 =8002x1+3x2 =9002x

19、1+x2 =6002x1+3x2 =1200 x1 x2 Q3線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化便于代數(shù)求解，為后面單純形法求解作準(zhǔn)備。標(biāo)準(zhǔn)化便于代數(shù)求解，為后面單純形法求解作準(zhǔn)備。 一般形式一般形式目標(biāo)函數(shù)： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 約束條件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bm x1 ，x2 ， ，xn 0 標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式目標(biāo)函數(shù)： Max z

20、= c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 約束條件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 0，bi 03線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化 可以看出，線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式有如下四個(gè)特點(diǎn)：目標(biāo)最大化；約束為等式；決策變量均非負(fù)；右端項(xiàng)非負(fù)。 對(duì)于各種非標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題，我們總可以通過以下變換，將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式:3線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化1、決策變量不是非負(fù) 在標(biāo)準(zhǔn)形式中，必須每一個(gè)變量

21、均有非負(fù)約束。1）當(dāng)決策變量xk0，則用-xk代替xk，且xk 02）當(dāng)某一個(gè)變量xj無符號(hào)要求時(shí)，可以令 xj = xj- xj” 其中 xj0，xj”0 即用兩個(gè)非負(fù)變量之差來表示一個(gè)無符號(hào)限制的變量，當(dāng)然xj的符號(hào)取決于xj和xj”的大小。3線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化2、約束條件不是等式的問題： 設(shè)約束條件為 ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi 可以引進(jìn)一個(gè)新的變量s ，使它等于約束右邊與左邊之差 s=bi(ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn )顯然，s 也具有非負(fù)約束，即s0， 這時(shí)新的約束條件成為 ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn+

22、s = bi3線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化 當(dāng)約束條件為 ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi 時(shí)， 類似地令 s=(ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn)- bi 顯然，s 也具有非負(fù)約束，即s0，這時(shí)新的約束條件成為 ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn-s = bi3線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化 為了使約束由不等式成為等式而引進(jìn)的變量s,當(dāng)不等式為“小于等于”時(shí)稱為“松弛變量”；當(dāng)不等式為“大于等于”時(shí)稱為“剩余變量”。如果原問題中有若干個(gè)非等式約束，則將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，必須對(duì)各個(gè)約束引進(jìn)不同的松弛變量。 松弛變量表示未被充分利用的資源，剩余變量

23、表示超過最低限約束的資源多用量。兩者在目標(biāo)函數(shù)中的價(jià)值系數(shù)均為零。只有決策變量影響到目標(biāo)函數(shù)值。 3線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化3.極小化目標(biāo)函數(shù)的問題： 設(shè)目標(biāo)函數(shù)為 Min f = c1x1 + c2x2 + + cnxn (可以)令 z -f ， 則該極小化問題與下面的極大化問題有相同的最優(yōu)解，即 Max z = - c1x1 - c2x2 - - cnxn 但必須注意，盡管以上兩個(gè)問題的最優(yōu)解相同，但它們最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值（最優(yōu)值）卻相差一個(gè)符號(hào)，即 Min f - Max z 4.右端項(xiàng)有負(fù)值的問題： 在標(biāo)準(zhǔn)形式中，要求右端項(xiàng)必須每一個(gè)分量非負(fù)。當(dāng)某一個(gè)右端項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，如 bi

24、0，則把該等式約束兩端同時(shí)乘以-1。如：x1-4x2-5線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)化的步驟【例】將下列線性規(guī)劃化為標(biāo)準(zhǔn)型【例】將下列線性規(guī)劃化為標(biāo)準(zhǔn)型 3213minxxxZ無符號(hào)要求、32132132132100)3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx【解】（）因?yàn)椤窘狻浚ǎ┮驗(yàn)閤3無符號(hào)要求無符號(hào)要求 ，即，即x3取正值也取正值也可取負(fù)值，標(biāo)準(zhǔn)型中要求變量非負(fù)，所以令可取負(fù)值，標(biāo)準(zhǔn)型中要求變量非負(fù)，所以令 0,33333 xxxxx其中 (3)第二個(gè)約束條件是第二個(gè)約束條件是號(hào)，在號(hào)，在號(hào)號(hào) 左左端減去剩余變量端減去剩余變量(Surplus variable)x5，x50。也稱松馳變。

25、也稱松馳變量量3213minxxxZ無符號(hào)要求、32132132132100) 3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx(2) 第一個(gè)約束條件是第一個(gè)約束條件是號(hào)，在號(hào)，在左端左端加入松馳變量加入松馳變量 (slack variable) x4，x40,化為等式；化為等式；(4)第三個(gè)約束條件是第三個(gè)約束條件是號(hào)且常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，因此在號(hào)且常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，因此在左邊加入松左邊加入松馳變量馳變量x6，x60，同時(shí)兩邊乘以，同時(shí)兩邊乘以1。 （5）目標(biāo)函數(shù)是最小值，為了化為求最大值，令）目標(biāo)函數(shù)是最小值，為了化為求最大值，令Z=Z,得到得到max Z=Z，即當(dāng)，即當(dāng)Z達(dá)到最小值時(shí)達(dá)到最

26、小值時(shí)Z達(dá)到最大值，反之亦然。達(dá)到最大值，反之亦然。 綜合起來得到下列標(biāo)準(zhǔn)型綜合起來得到下列標(biāo)準(zhǔn)型 332133maxxxxxZ 05)(233826543321633215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、當(dāng)某個(gè)約束是絕對(duì)值不等式時(shí)，將絕對(duì)值不等式化為兩個(gè)不等當(dāng)某個(gè)約束是絕對(duì)值不等式時(shí)，將絕對(duì)值不等式化為兩個(gè)不等式，再化為等式，例如約束式，再化為等式，例如約束 974321xxx將其化為兩個(gè)不等式將其化為兩個(gè)不等式 974974321321xxxxxx再加入松馳變量化為等式。再加入松馳變量化為等式。 對(duì)于對(duì)于axb(a、b均大于零均大于零)的有界變量化為標(biāo)準(zhǔn)形式

27、有兩種方的有界變量化為標(biāo)準(zhǔn)形式有兩種方法。法。 一種方法是增加兩個(gè)約束一種方法是增加兩個(gè)約束xa及及xb 另一種方法是令另一種方法是令x=xa，則，則axb等價(jià)于等價(jià)于0 xba，增加，增加一個(gè)約束一個(gè)約束xba并且將原問題所有并且將原問題所有x用用x= x+a替換。替換?；瘶?biāo)準(zhǔn)型的步驟總結(jié)1、決策變量非負(fù)2、約束條件為等式3、目標(biāo)函數(shù)極大化4、右端常數(shù)非負(fù)4圖解法的靈敏度分析圖解法的靈敏度分析 靈敏度分析靈敏度分析：建立數(shù)學(xué)模型和求得最優(yōu)解后，研究線性規(guī)劃的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)（系數(shù)）ci , aij , bj 變化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生的影響。4.1 目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù) ci 的靈敏度分析的靈敏度分析 考慮例1的情況， ci 的變化只影響目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率，目標(biāo)函數(shù) z = 50 x1 + 100 x2 在 z = x2 (x2 = z 斜率為0 ) 到 z = x1 + x2 (x2 = -x1 + z 斜率為 -1 )之間時(shí)，原最優(yōu)解 x1 = 50，x2 = 100 仍是最優(yōu)解。 一般情況： z = c1 x1 + c2 x2 寫成斜截式 x2 = - (c1 / c2 ) x1 + z / c2 目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率為 - (c1 / c2 ) ， 當(dāng) -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 時(shí)