等比數(shù)列前項和

1、高老莊集團高老莊集團高老莊 周轉(zhuǎn)不周轉(zhuǎn)不靈靈No problem！第一！第一天給你萬，每天給天給你萬，每天給你投資比前一天多你投資比前一天多萬元，萬元， 連續(xù)一個月連續(xù)一個月(30天天)，但有一個條，但有一個條件：件：猴哥猴哥,能不能幫幫能不能幫幫我我第一天返還第一天返還1 1分，分，第二天返還第二天返還2 2分，分，第三天返還第三天返還4 4分分后一天返還數(shù)為前一天后一天返還數(shù)為前一天的的2 2倍倍 第一天出分入萬；第第一天出分入萬；第二天出分入萬二天出分入萬; ;第三天第三天出出4 4分入萬元；分入萬元；哇，發(fā)哇，發(fā)了了 這猴子會不會又在耍我？這猴子會不會又在耍我？,322221292八戒

2、吸納的資金八戒吸納的資金 返還給悟空的錢數(shù)返還給悟空的錢數(shù) 30S29322222130T46530321(萬元萬元)等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前30項和項和每天投資每天投資100萬元，萬元，連續(xù)一個月連續(xù)一個月(30天天)第一天返還第一天返還1分，分，第二天返還第二天返還2分，分，第三天返還第三天返還4分分后一天返還數(shù)為前一天后一天返還數(shù)為前一天的的2倍倍,322221292八戒吸納的資金八戒吸納的資金 返還給悟空的錢數(shù)返還給悟空的錢數(shù) 30S29322222130T(萬元萬元)等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前30項和項和連續(xù)一個月連續(xù)一個月(30天天)第一天返還第一天返還1元，元，第二天返還第二天返還

3、2元，元，第三天返還第三天返還4元元后一天返還數(shù)為前一天后一天返還數(shù)為前一天的的2倍倍4653032164個格子個格子1223344551667788你想得到什么樣的賞賜？陛下，賞小人一些麥粒就可以。OK請在第一個格子放1顆麥粒請在第二個格子放2顆麥粒請在第三個格子放4顆麥粒請在第四個格子放8顆麥粒 依次類推456781567812334264個格子你認(rèn)為國王你認(rèn)為國王有能力滿足有能力滿足上述要求嗎上述要求嗎每個格子里的麥粒數(shù)都是每個格子里的麥粒數(shù)都是前 一個格子里麥粒數(shù)的一個格子里麥粒數(shù)的2倍, 且共有且共有 64 格子格子.2213263220212?由剛才的例子可知：實際上就是一個以由剛

4、才的例子可知：實際上就是一個以1為首項，為首項，2為公比的等比數(shù)列的前為公比的等比數(shù)列的前64項的求和問題，即：項的求和問題，即： 842164S 636222 把上式左右兩邊同乘以把上式左右兩邊同乘以2 2 得：得：646322842264S16+由由- - 得：得：126464S=184467440737095516151.841910錯位相減法錯位相減法如果造一個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，如果造一個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，那么這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道那么這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道75007500圈，或在太陽和地球之間打個來回。圈，或在太陽和

5、地球之間打個來回。842164S 636222 把上式左右兩邊同乘以把上式左右兩邊同乘以2 2 得：得：646322842264S16+由由- - 得：得：126464S錯位相減法錯位相減法nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaS即即11nqa21qanqSnnqaaSq111)(q-1 1等比數(shù)列等比數(shù)列 ,公比為公比為 ,它的前它的前 項和項和naqn錯位相減法錯位相減法qa11aSn21nqa11nqa21qa21nqaqa1nqa1qqaSnn111)(等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)項和公式的推導(dǎo)思考：那思考：那q=1怎么辦呢？怎么辦呢？提示：提示：q

6、=1說明數(shù)列有什么特點？說明數(shù)列有什么特點？（q1）qqaSnn1111.1.使用公式求和時，需注意對使用公式求和時，需注意對 和和 的情況加以討論；的情況加以討論；1q1q) 1(1)1 () 1(11qqqaqnaSnn2.2.推導(dǎo)公式的方法：錯位相減法。推導(dǎo)公式的方法：錯位相減法。注意：注意：等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)項和公式的推導(dǎo)等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項公式項公式1 qqqaaSnn 11qqaSnn 1)1(1當(dāng)當(dāng)時，時， 或或當(dāng)當(dāng)q=1時，時，1naSn 例例1 1、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 . .,81,41,21（1 1）求前）求前8 8項之和；項之和；（2）求

7、第）求第5項到第項到第10項的和；項的和；（3）求此數(shù)列前）求此數(shù)列前2n項中所有偶數(shù)項的和。項中所有偶數(shù)項的和。例例1 1、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 . .,81,41,21（1 1）求前）求前8 8項之和；項之和；256255211211211)1(8818 qqaS211 a因為因為21 q8 n321415 qaa10466521212112113211)1( qqaS還可以：410SSS （2）求第）求第5項到第項到第10項的和；項的和；例例1 1、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 . .,81,41,21例例1 1、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 . .,81,41,21（3）求此數(shù)列前）

8、求此數(shù)列前2n項中所有偶數(shù)項的和。項中所有偶數(shù)項的和。偶數(shù)項：,641,161,41確定項數(shù)為確定項數(shù)為n，公比為，公比為 ，41首項為首項為412 a所以所以naaaS242 41141141 n1.已知已知na是等比數(shù)列，請完成下表：是等比數(shù)列，請完成下表：a1、q、n、an、Sn中中題號題號a1qnanSn(1) (2)(3)212183246532962561256255636827知三求二知三求二2等比數(shù)列等比數(shù)列1，a，a2，a3，的前的前n項和為項和為()解析解析：要考慮到公比為：要考慮到公比為1的情況，此時的情況，此時Snn.答案答案：D3. 設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的前的前n

9、項和為項和為Sn，a10，若，若S3S62S9，求數(shù)列，求數(shù)列an的公比的公比q.正解正解：當(dāng)：當(dāng)q1時，時，S33a1，S66a1，S99a1，由由S3S62S9，得，得3a16a129a1，所以所以a10，與，與a10矛盾，故矛盾，故q1，糾錯心得糾錯心得：在解題時要認(rèn)真思考，培養(yǎng)細(xì)心的：在解題時要認(rèn)真思考，培養(yǎng)細(xì)心的良好習(xí)慣良好習(xí)慣n+14.4.判斷判斷是非是非n2222132n21211)(nn）（ 2)()(21211n12168421n)(2n5.5.求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n n項的和項的和. .,161814121拓展拓展分組求和分組求和反反思思1614813412211nS)2

10、1(nn解解:)21814121(n)321 (n2) 1( nn211)21(1 21nnnn21122)21()813 ()412()211 (nn4321例2.某商場今年銷售計算機5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000臺(結(jié)果保留到個位)？分析：第1年產(chǎn)量為 5000臺第2年產(chǎn)量為 5000(1+10%)=50001.1臺第3年產(chǎn)量為5000(1+10%) (1+10%)臺21 . 15000第n年產(chǎn)量為臺11 . 15000n則n年內(nèi)的總產(chǎn)量為：121 . 151 . 151 . 155n例例2.某商場第一年銷售計算機

11、某商場第一年銷售計算機5000臺臺,如果平均每年的如果平均每年的銷售量比上一年增加銷售量比上一年增加10%,那么從第一年起那么從第一年起,約幾年內(nèi)約幾年內(nèi)可使總銷售量達(dá)到可使總銷售量達(dá)到30000臺臺(保留到個位保留到個位)?,:增加的百分率相同每年的銷售量比上一年根據(jù)題意解 ,na等比數(shù)列每年的銷售量組成一個所以從第一年起50001a1 . 1%101q30000nSqqaSnnn1)1 (300001 . 11)1 . 11 (5000n即6 . 11 . 1n即6 . 1lg1 . 1lg,n得兩邊取對數(shù)5n得答答:約約5年內(nèi)可以使總銷售量達(dá)到年內(nèi)可以使總銷售量達(dá)到30000臺臺. 畫一

12、個邊長為畫一個邊長為2cm的正方形的正方形, 再將這個再將這個 正方形各邊的中點相連得到第正方形各邊的中點相連得到第2個正方個正方 形形,依此類推依此類推,這樣一共畫了這樣一共畫了10個正方形個正方形, 求求這這10個正方形的面積的和個正方形的面積的和作業(yè)作業(yè)新知深究：新知深究：AAqSnn011qaA1q na naqqaaqqaSnnn11)1 (111當(dāng)當(dāng) 時，時，令令 ，則，則性質(zhì)性質(zhì)1： 數(shù)列數(shù)列 為等比數(shù)列為等比數(shù)列 數(shù)列數(shù)列 的前的前n項和項和*, 10, 0NnqqA且其中, AAqSnnqaqqaSnn1111課本61頁A66396932SSSSSS成等差數(shù)列，解：時，當(dāng)1q

13、qqaqqaqqa1)1 (1)1 (1)1 (2613191)1 ()1 ()1 (2639qqq369-22-2qqq 即：, 02369qqq)0(01236qqq課本61頁A61236qq,214171qaqaqa2582aaa即成等差數(shù)列；852,aaa時，當(dāng)1q，852aaa成等差數(shù)列。852,aaa2582aaa例題解析例題解析 na na, 13 nnmS例例1、若等比數(shù)列、若等比數(shù)列 中，中，21 na na181則則實數(shù)實數(shù)m=.-1練習(xí)：練習(xí)：1、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 的前的前n項和為項和為,6131nnxS則則x的值為的值為.2、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 的前的

14、前n項和為項和為,232aSnn則則a的值為的值為.3、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 的前的前n項和為項和為,5342aSnn則則a的值為的值為.454新知深究：新知深究：例例3：已知等比數(shù)列：已知等比數(shù)列 的前的前n項和為項和為 ，141312111098714aaaaaaaSSnS na14217147,SSSSS求證：求證： 也成等比數(shù)列。也成等比數(shù)列。證明：證明：212019181716151421aaaaaaaSS77654321)(qaaaaaaa14217147,SSSSS147654321)(qaaaaaaa成等比數(shù)列且公比為成等比數(shù)列且公比為 。設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 的公比為的公比為

15、，則，則q na7q對于一般的等比數(shù)列對于一般的等比數(shù)列 ，其前，其前n項項nS nammmmmSSSSS232,也成等比數(shù)列嗎？也成等比數(shù)列嗎？的和為的和為 ，則，則新知深究：新知深究：性質(zhì)性質(zhì)2 在等比數(shù)列在等比數(shù)列 中，中，0nS na,232mmmmmSSSSS也成等比數(shù)列。也成等比數(shù)列。其前其前n項的和為項的和為 ，則，則例題解析：例題解析：例例4、已知各項為正的等比數(shù)列已知各項為正的等比數(shù)列為為39，則該數(shù)列的前，則該數(shù)列的前10項之項之和和為（為（ ）13323A.B.答案：答案：C的前的前5項之和為項之和為3，前，前15項之和項之和1512D.C.1等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，若，若S1010，S2030，則，則S30 ()A70 B90 C100 D120 解析解析：由于：由于S10，S20S10，S30S20成等比數(shù)列成等比數(shù)列(S20S10)2S10(S30S20)，又又S1010，S2030，可得可得S3070.答案答案：A練習(xí)：練習(xí)：2、等比數(shù)列、等比數(shù)列 中，中，,14,1330101030SSSS則則20S.答案：答案：4 na14,1330101030SSSS13, 13010SS解析：解析：203010