第五章機(jī)械振動(dòng)

1、第五章 機(jī)械振動(dòng)1 定義：任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化.2 分類：（1）機(jī)械振動(dòng) 物體圍繞一固定位置往復(fù)運(yùn)動(dòng). （2）周期和非周期振動(dòng)（3）簡諧運(yùn)動(dòng) 最簡單、最基本的振動(dòng).諧振子 作簡諧運(yùn)動(dòng)的物體. 例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動(dòng)等.簡諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解一 關(guān)于振動(dòng)的幾個(gè)概念二 簡諧運(yùn)動(dòng)的基本特征討論的步驟：（1）確定振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置，并以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系。（2）讓系統(tǒng)偏離平衡位置，然后分析系統(tǒng)受力狀況，求出系統(tǒng)所受的合外力。（3）根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，導(dǎo)出簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。kl0 xmoAA00Fx以彈簧振子為例介紹簡諧運(yùn)動(dòng)的基本分析方法和

2、幾個(gè)基本特征。makxFxtx222ddmk2令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(tAxxxFmotx圖tv圖ta圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa1 動(dòng)力學(xué)特征：2 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：3 能量特征：kxF0dd222xtx簡諧運(yùn)動(dòng)方程xatAdtdvatAdtdxvtAx22)cos()sin()cos(常量pkEE 簡諧運(yùn)動(dòng)的判斷（滿足其中一條即可）xtx222dd2）簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述kxF1）物體受線性回復(fù)力作用 平衡位置0 x)s

3、in(tAv)cos(tAx3）簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述（在無外驅(qū)動(dòng)力的情況下）三 簡諧運(yùn)動(dòng)的定義)cos(tAx1 振幅maxxA 2 周期、頻率2T 周期21T 頻率T22 圓頻率)(cosTtAtx圖AAxT2Tto四 描述簡諧運(yùn)動(dòng)的物理量tx圖AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAxxvvvvkmT2彈簧振子周期注意（1）周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)（2）簡諧運(yùn)動(dòng)中， 和 間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系.1） 存在一一對應(yīng)的關(guān)系;),(vxt202）相位在 內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； 3 相位t3）初相位 描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). ) 0( t20( 取 或 ) (2n

4、n相差 為整數(shù) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同.（周期性）22020vxA00tanxv4 常數(shù) 和 的確定A000vv xxt初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取0, 0, 0vxt已知 求討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto1 單擺 如圖所示系統(tǒng)（細(xì)線的質(zhì)量和伸長可忽略不計(jì)），細(xì)線靜止地處于鉛直位置，重物位于O 點(diǎn)時(shí)為平衡位置. 若把重物從平衡位置O 略微移開后放手, 重物就在平衡位置附近往復(fù)的運(yùn)動(dòng)這一振動(dòng)系統(tǒng)叫做單擺. 求單擺小角度振動(dòng)時(shí)的周期lmoA5

5、五 其它形式的簡諧運(yùn)動(dòng)lmoAmglmglMsin22ddtJmgl2mlJ lgt22dd222ddt)cos(mtlg2令令TFPglT2轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)正向正向sin,5時(shí)時(shí)解解2 2 角簡諧振子角簡諧振子0mm固定點(diǎn)固定點(diǎn)懸絲懸絲參考線參考線（ 為扭轉(zhuǎn)系數(shù)）懸絲的恢復(fù)力矩MJT2 角簡諧振子周期（ J 為角簡諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量） 以 為原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)在 軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)xAoxoAcos0Ax 當(dāng) 時(shí)0t0 x六 旋轉(zhuǎn)矢量法xoAtt t)cos(tAx時(shí) 以 為原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)在 軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)xAo)cos(tAx 以 為原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矢量 的端

6、點(diǎn)在 軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)xAo （旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）2T用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的 圖txAAx2AtoabxAA0討論 相位差：表示兩個(gè)相位之差 . 1）對同一簡諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步 2）對于兩個(gè)同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.（解決振動(dòng)合成問題）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它超前落后txo反相例1 一彈簧振子系統(tǒng)，已知 且 時(shí) Akm,0t1）物體從平衡位置向x軸正向運(yùn)動(dòng)2）

7、物體從平衡位置向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)3）物體在正的12最大位移處向x軸正向運(yùn)動(dòng)4）物體在正的12最大位移處向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)求：振動(dòng)方程解：mk)cos(tAx)cos(tmkA以下由旋轉(zhuǎn)矢量法求初相oxA1）物體從平衡位置向 x 軸正向運(yùn)動(dòng)2）物體從平衡位置向x 軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)3）物體在正的12最大位移處向 x 軸正向運(yùn)動(dòng)4）物體在正的12最大位移處向 x 軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)2A2/12/23/43/3)2cos(tmkAx1）)3cos(tmkAx3）)2cos(tmkAx2）)3cos(tmkAx4）例2 已知一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，曲線如圖。求振動(dòng)方程10. 005. 0)(mx)(sto05. 010. 05解：)

8、cos(tAxmA10. 0由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知)34(32oroxs5t時(shí)s0ts5ts0t時(shí)t2t 567)32(25307m)34307cos(10. 0tx5如圖 m = 210-2 kg ,彈簧的靜止形變?yōu)閘 = 9.8cm；t = 0時(shí)，x0= 9.8cm， v0= 0 確定平衡位置： mg=k l 取為原點(diǎn) 令向下有位移 x, 則回復(fù)力)cos(tAx1srad10098.08 .9lgmkXOxm例3求（1）取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；（2）若取 x0=0，v0 0為計(jì)時(shí)零點(diǎn),寫出振動(dòng)方 程，并計(jì)算振動(dòng)頻率。解該振動(dòng)為簡諧振動(dòng)，則lmgk)(xlkmgFkx由初始條件得或

9、, 0)arctan(00 xvm098. 0)(2020vxA由x0=0.098m知srad/10振動(dòng)方程為：(2)按題意 t = 0 時(shí) x0 = 0，v0 011.6Hz22gl0sin0cos 1cosm)10cos(108 . 92tx2m)210cos(108 . 92txXOxmsin()At v)cos(tAx11A1xx01 兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成21xxx22112211coscossinsinAAAAtg)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡諧運(yùn)動(dòng)七 簡諧

10、運(yùn)動(dòng)的合成xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1）相位差212k)2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 討論xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2）相位差) 12(12k) 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx3）一般情況2121AAAAA21AAA2）相位差1）相位差21AAA212k) 1 0( ，k相互加強(qiáng)相互削弱) 1 0( ，k) 12(12k11Axo2 多個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(

11、222tAx)cos(nnntAxA多個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成仍為簡諧運(yùn)動(dòng)1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2, 1,(kkNk2） 2kN1）2 k),2, 1,0(k 個(gè)矢量依次相接構(gòu)成一個(gè)閉合的多邊形 .N討論3 兩個(gè)同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.合振動(dòng)頻率振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112討論 , 的情況 ttAx22cos)22cos

12、2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx2212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA合振動(dòng)頻率振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅 振動(dòng)頻率拍頻（振幅變化的頻率） 4 兩個(gè)相互垂直的同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡 （橢圓方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx（1） 或2012xAAy12討論（2） 12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxtAxc

13、os1)2cos(2tAy（3）2121222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx討論1A2Aoxy 用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動(dòng)合成圖 兩相互垂直同頻率同相位簡諧運(yùn)動(dòng)的合成阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)和共振2.2.原因原因: :阻尼力阻尼力系統(tǒng)在振動(dòng)過程中，受到摩擦、粘滯力等阻力作系統(tǒng)在振動(dòng)過程中，受到摩擦、粘滯力等阻力作用，能量將隨時(shí)間逐漸衰減用，能量將隨時(shí)間逐漸衰減 。1.1.現(xiàn)象：現(xiàn)象：振幅隨時(shí)間振幅隨時(shí)間衰衰減減AAtOx阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線dtdxkxdtxdm223.3.振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程( (以彈簧振子在粘滯液體中運(yùn)動(dòng)為例

14、以彈簧振子在粘滯液體中運(yùn)動(dòng)為例) )系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比 比例系數(shù)比例系數(shù) 叫阻力系數(shù)。叫阻力系數(shù)。kvf022022xdtdxdtxd固有角頻率固有角頻率: :mk /20阻尼系數(shù)阻尼系數(shù): :m2物體不能作往復(fù)運(yùn)動(dòng)物體不能作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的臨界情況，到達(dá)平的臨界情況，到達(dá)平衡位置時(shí)間最短。衡位置時(shí)間最短。運(yùn)動(dòng)沒有周期性，經(jīng)運(yùn)動(dòng)沒有周期性，經(jīng)過相當(dāng)長的時(shí)間物體過相當(dāng)長的時(shí)間物體才能回到平衡位置。才能回到平衡位置。過阻尼運(yùn)動(dòng)過阻尼運(yùn)動(dòng)阻尼越小，越接近諧阻尼越小，越接近諧振動(dòng)，阻尼越大，振動(dòng)，阻尼越大，“周期周期”越長。越長。000欠阻尼振動(dòng)欠阻尼振動(dòng)臨界阻尼運(yùn)動(dòng)臨

15、界阻尼運(yùn)動(dòng))cos()(00teAtxt220ttecectx)(2)(1202202)(tecctx)()(214.4.振動(dòng)表達(dá)式和振動(dòng)曲振動(dòng)表達(dá)式和振動(dòng)曲線線三種阻尼振動(dòng)的比較三種阻尼振動(dòng)的比較otx三種阻尼的比較三種阻尼的比較bcaT b b）過阻尼）過阻尼 a a）欠阻尼）欠阻尼 c c）臨界阻尼）臨界阻尼0005.5.應(yīng)用舉例：電流表、電壓表的指針最好處于臨應(yīng)用舉例：電流表、電壓表的指針最好處于臨界阻尼狀態(tài)，有時(shí)處于欠阻尼狀態(tài)。界阻尼狀態(tài)，有時(shí)處于欠阻尼狀態(tài)。1. 1. 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在外界策振動(dòng)系統(tǒng)在外界策動(dòng)力的作用下維持動(dòng)力的作用下維持等幅振動(dòng)。等幅振動(dòng)。 2. 2.

16、受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程設(shè)策動(dòng)力按余弦規(guī)律變化設(shè)策動(dòng)力按余弦規(guī)律變化 即即tFtFpcos)(tfxdtdxdtxdpcos22022由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有tFdtdxkxdtxdmpcos22即即mFfmmk/2/0)cos()cos(ep0tAtAxt2p22p204)(fA2p20p2tg受迫振動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)應(yīng)作與策動(dòng)力頻率相同的諧振動(dòng)。受迫振動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)應(yīng)作與策動(dòng)力頻率相同的諧振動(dòng)。受迫振動(dòng)（定態(tài)解）受迫振動(dòng)（定態(tài)解）策動(dòng)力的角頻率策動(dòng)力的角頻率阻尼振動(dòng)（暫態(tài)解）阻尼振動(dòng)（暫態(tài)解）1 1 共振現(xiàn)象：共振現(xiàn)象：受迫振動(dòng)振幅達(dá)極大值，這種現(xiàn)象叫做共振受迫振動(dòng)

17、振幅達(dá)極大值，這種現(xiàn)象叫做共振. .策動(dòng)力的頻率跟系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率接近或相等策動(dòng)力的頻率跟系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率接近或相等2 2 共振的條件共振的條件2p22p204)(fA0ddpA220r2共振頻率共振頻率共振振幅共振振幅220r2fA共振頻率共振頻率220r2共振振幅共振振幅220r2fAPAo共振頻率共振頻率0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼0橋梁橋梁倒塌倒塌雪雪 崩崩機(jī)器機(jī)器損壞損壞翻翻 船船共振危害共振危害案例案例 基本方法基本方法: :破壞外力的周期性破壞外力的周期性改變外力的頻率改變外力的頻率改變物體的固有頻率改變物體的固有頻率增大系統(tǒng)的阻尼增大系統(tǒng)的阻尼樂器的共鳴樂器的共鳴箱箱電磁電磁共振共振核磁核磁共振共振共振利用共振利用案例案例 共振武器共振武器火車的危險(xiǎn)速率與軌長 例 車輪行駛到兩鐵軌接縫處時(shí)，受到一次撞擊，使車廂受迫振動(dòng)當(dāng)車速達(dá)某一速率時(shí)（使撞