第3章隨機過程

1、1通信原理第第3章章 隨機過程隨機過程2第第3章章 隨機過程隨機過程3第第3章章 隨機過程隨機過程4第第3章章 隨機過程隨機過程5第第3章章 隨機過程隨機過程6第第3章章 隨機過程隨機過程l3.1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念n根據(jù)信號表示它參量的已知程度，可以分為：根據(jù)信號表示它參量的已知程度，可以分為：u確知信號：表征信號的所有參量都是確定的確知信號：表征信號的所有參量都是確定的u隨機信號：又稱未確知信號，表征信號的所隨機信號：又稱未確知信號，表征信號的所有參量或部分參量存在著某種程度不確定性有參量或部分參量存在著某種程度不確定性7第第3章章 隨機過程隨機過程n什么是隨機過程？什么

2、是隨機過程？u隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不它不能用確切的時間函數(shù)描述。可從兩種不同角度看隨機過程：同角度看隨機過程：u角度角度1：隨機過程是對應不同隨機試驗結(jié)果：隨機過程是對應不同隨機試驗結(jié)果的時間過程的集合。也就是說：的時間過程的集合。也就是說：隨機過程是隨機過程是所有樣本函數(shù)的集合所有樣本函數(shù)的集合。8第第3章章 隨機過程隨機過程【例】【例】n臺示波器同時觀測并記錄這臺示波器同時觀測并記錄這n臺接收機的臺接收機的輸出噪聲波形輸出噪聲波形 p樣本函數(shù)樣本函數(shù) i (t)：隨機過程的一次實現(xiàn)，是確隨機過程的一

3、次實現(xiàn)，是確定的時間函數(shù)。定的時間函數(shù)。p隨機過程：隨機過程： (t) = 1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數(shù)的集合。是全部樣本函數(shù)的集合。9第第3章章 隨機過程隨機過程u角度角度2：隨機過程是隨機變量概念的延伸。：隨機過程是隨機變量概念的延伸。p在任一給定時刻在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數(shù)上，每一個樣本函數(shù) i (t)都是都是一個確定的數(shù)值一個確定的數(shù)值 i (t1)，但是每個但是每個 i (t1)都是不可都是不可預知的。預知的。p在一個固定時刻在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值上，不同樣本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n是一個隨機變量，記為

4、是一個隨機變量，記為 (t1)。 換句話說，換句話說，隨機過程在任意時刻的值是一個隨隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。機變量。10第第3章章 隨機過程隨機過程p因此，我們又可以把因此，我們又可以把隨機過程看作是在時間進隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合程中處于不同時刻的隨機變量的集合。p這個角度更適合對隨機過程理論進行精確的數(shù)這個角度更適合對隨機過程理論進行精確的數(shù)學描述。學描述。11第第3章章 隨機過程隨機過程n3.1.1隨機過程的分布函數(shù)隨機過程的分布函數(shù)u設設 (t)表示一個隨機過程，則它在任意時刻表示一個隨機過程，則它在任意時刻t1的的值值 (t1)是一個隨機變

5、量，其統(tǒng)計特性可以用分是一個隨機變量，其統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。12第第3章章 隨機過程隨機過程u隨機過程隨機過程 (t)的的一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)：u隨機過程隨機過程 (t)的的一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導存在的話。若上式中的偏導存在的話。 )(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf13第第3章章 隨機過程隨機過程u隨機過程隨機過程 (t) 的的二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)：u隨機過程隨機過程 (t)的的二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導存在的話。若上式中的偏導存在的話。 22112

6、1212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf14第第3章章 隨機過程隨機過程u隨機過程隨機過程 (t) 的的n維分布函數(shù)維分布函數(shù)：u隨機過程隨機過程 (t) 的的n維概率密度函數(shù)維概率密度函數(shù)：nnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，15第第3章章 隨機過程隨機過程n3.1.2 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征u均值（數(shù)學期望）：均值（數(shù)學期望）：在任意給定時刻在任意給定時刻t1的取值的

7、取值 (t1)是一個隨機變量，是一個隨機變量，其均值其均值式中式中 f1 (x1, t1) (t1)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接寫為直接寫為t， x1改為改為x，這樣上式就變?yōu)?，這樣上式就變?yōu)閐xtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE16第第3章章 隨機過程隨機過程 (t)的均值是時間的確定函數(shù)，常記作的均值是時間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它，它表示隨機過程的表示隨機過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心個樣本函數(shù)曲線的擺動中心 :dxtxxftE),()(1a (t )17第第3章章 隨機過程隨機過程u

8、方差方差方差常記為方差常記為 2( t )。這里也把任意時刻。這里也把任意時刻t1直接寫成直接寫成了了t 。因為。因為所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在時刻示隨機過程在時刻 t 對于均值對于均值a ( t )的偏離程度。的偏離程度。2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方18第第3章章 隨機過程隨機過程u相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) (t1)和和 (t2)分別是在分別是在t1和和t2時刻觀測得到的隨機時刻觀測得到的隨機變量。變量。R(t1,

9、t2)是兩個變量是兩個變量t1和和t2的確定函數(shù)的確定函數(shù), 反應反應隨機變量在兩點處取值的相關(guān)程度隨機變量在兩點處取值的相關(guān)程度。2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 19第第3章章 隨機過程隨機過程u協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)式中式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在在t1和和t2時刻得到的時刻得到的 (t)的均值的均值, f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。的二維概率密度函數(shù)。 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 20第

10、第3章章 隨機過程隨機過程p相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系若若a(t1) = a(t2)=0，則則B(t1, t2) = R(t1, t2)u互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)式中式中 (t)和和 (t)分別表示兩個隨機過程。分別表示兩個隨機過程。因此，因此，R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。又稱為自相關(guān)函數(shù)。 )()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR21 隨機過程隨機過程(t)(t)這四個數(shù)字特征之間的關(guān)系：這四個數(shù)字特征之間的關(guān)系： （1 1）當一個隨機過程的數(shù)學期望）當一個隨機過程的數(shù)學期望a(t)a(t)為零時，有為零時，

11、有 （2 2）在同一時刻，即）在同一時刻，即t t1 1 = t = t2 2 = t = t時，有時，有 由此可見，數(shù)字特征中最主要的是由此可見，數(shù)字特征中最主要的是均值均值和和自相關(guān)自相關(guān)函數(shù)函數(shù)，因為方差和自協(xié)方差函數(shù)可由自相關(guān)函數(shù)和均，因為方差和自協(xié)方差函數(shù)可由自相關(guān)函數(shù)和均值來確定。值來確定。2121,ttRttB ttBtattRtD,2第第3章章 隨機過程隨機過程22第第3章章 隨機過程隨機過程l3.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程n3.2.1 平穩(wěn)隨機過程的定義平穩(wěn)隨機過程的定義u若一個隨機過程若一個隨機過程 (t)的任意有限維分布函數(shù)的任意有限維分布函數(shù)與時間起點無關(guān)，也就是說，

12、對于任意的與時間起點無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)正整數(shù)n和所有實數(shù)和所有實數(shù) ，有，有則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱機過程，簡稱嚴平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；23第第3章章 隨機過程隨機過程u性質(zhì)：性質(zhì)：該定義表明，該定義表明，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性和平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性和絕對時間無關(guān)絕對時間無關(guān)，即它的一維分布函數(shù)與時間，即它的一維分布函數(shù)與時間t無無關(guān)：關(guān)：而二維分布函數(shù)只與時間間隔而二維分布函數(shù)只與時間間隔 = t2 t1有關(guān)：有關(guān)：)(),(11111xft

13、xf);,(),;,(21221212xxfttxxf24第第3章章 隨機過程隨機過程u數(shù)字特征：數(shù)字特征：可見，（可見，（1）其均值與）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 有關(guān)。有關(guān)。adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 25第第3章章 隨機過程隨機過程（1）其均值與）其均值與t 無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a ；（2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 有關(guān)。有關(guān)。把同時滿足（把同時滿足（1）和（）和（2）的過程定義為）的過程定義為廣廣義平穩(wěn)隨機過程

14、義平穩(wěn)隨機過程。顯然，嚴平穩(wěn)隨機過程必定。顯然，嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。因此，研究平穩(wěn)隨數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。因此，研究平穩(wěn)隨機過程有著很大的實際意義。機過程有著很大的實際意義。 26第第3章章 隨機過程隨機過程n3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性u問題的提出：問題的提出： 我們知道，隨機過程的數(shù)字特征（均值、相我們知道，隨機過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)關(guān)函數(shù)）是對隨機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常

15、常很難測得大量的樣計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會提出這樣一個問題：本，這樣，我們自然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù)能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù)x(t)來來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?27第第3章章 隨機過程隨機過程u回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有具有的過程，其數(shù)的過程，其數(shù)字特征（均為字特征（均為）完全可由隨）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的機過程中的任一實現(xiàn)的來代來代替。替。 28第第3章章 隨機過程隨機過程u各態(tài)歷經(jīng)性條件各態(tài)歷經(jīng)

16、性條件設設：x(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程 (t)的任意一次實現(xiàn)（樣本）的任意一次實現(xiàn)（樣本）,則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為：則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa29第第3章章 隨機過程隨機過程u“各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：的含義是：隨機過程中的任一次實隨機過程中的任一次實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，。因此，在

17、求解各種統(tǒng)計平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）在求解各種統(tǒng)計平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時，無需作無限多次的考察，時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考只要獲得一次考察，就可以用一次實現(xiàn)的察，就可以用一次實現(xiàn)的“時間平均時間平均”值代替值代替過程的過程的“統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均”值值，從而使測量和計算的，從而使測量和計算的問題大為簡化。問題大為簡化。30第第3章章 隨機過程隨機過程u具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。即：之不一定成立。即：各態(tài)歷經(jīng)過程必須首先是各態(tài)歷經(jīng)過程必須首先是平穩(wěn)過程，但平穩(wěn)的過程并非一定是各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)過程，但平穩(wěn)的過程并非一

18、定是各態(tài)歷經(jīng)的的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。31第第3章章 隨機過程隨機過程u 例例3-1 設一個隨機相位的正弦波為設一個隨機相位的正弦波為其中，其中，A和和 c均為常數(shù)；均為常數(shù)； 是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分內(nèi)均勻分布的隨機變量。試討論布的隨機變量。試討論 (t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。【解】【解】(1)先求先求 (t)的統(tǒng)計平均值：的統(tǒng)計平均值：數(shù)學期望數(shù)學期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0si

19、nsincoscos22020dtdtAcc32第第3章章 隨機過程隨機過程自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc33第第3章章 隨機過程隨機過程令令t2 t1 = ，得到，得到 可見，可見， (t)的數(shù)學期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)的數(shù)學期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與與t 無關(guān)，只與時間間隔無關(guān)，只與時間間隔 有關(guān)，所以有關(guān)，所以 (t)是廣義是廣義平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程。)(cos2),(221RAttRc3

20、4第第3章章 隨機過程隨機過程 (2) 求求 (t)的時間平均值的時間平均值比較統(tǒng)計平均與時間平均，有比較統(tǒng)計平均與時間平均，有因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa35第第3章章 隨機過程隨機過程n3.2.3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)p (t)的平均功率的平均功率p 的偶函數(shù)的偶函數(shù)p R( )的上界的上界即自相關(guān)函數(shù)即自相關(guān)函數(shù)R(

21、)在在 = 0有最大值。有最大值。)()0(2tER)()( RR)0()(RR11( ) ( ) ()REtt36第第3章章 隨機過程隨機過程p (t)的直流功率的直流功率p (t)的交流功率的交流功率 當均值為當均值為0時，有時，有 R(0) = 2 。 22a)()(tER2)()0( RR37第第3章章 隨機過程隨機過程n3.2.4 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度u定義：定義：對于任意的確定功率信號對于任意的確定功率信號f (t)，它的功，它的功率譜密度定義為率譜密度定義為 式中，式中，F(xiàn)T ( f )是是f (t)的截短函數(shù)的截短函數(shù)fT (t) 所對應的所對應的頻譜函數(shù)頻

22、譜函數(shù)TfFmi lfPTTf2)()(38第第3章章 隨機過程隨機過程p對于平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程 (t) ，可以把，可以把f (t)當作是當作是 (t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，度應看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故故 (t)的功率譜密度可以定義為的功率譜密度可以定義為TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(39第第3章章 隨機過程隨機過程u功率譜密度的計算功率譜密度的計算p維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系 非周期的功率型確

23、知信號的非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有簡記為簡記為dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR40第第3章章 隨機過程隨機過程以上關(guān)系稱為以上關(guān)系稱為維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機過。它在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具，它程的理論和應用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。)()(fPR41第第3章章 隨機過程隨機過程p在維納在維納-辛欽關(guān)

24、系的基礎上，可以得出結(jié)論：辛欽關(guān)系的基礎上，可以得出結(jié)論：對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：總功率：上式從頻域的角度給出了過程平均功率的上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計算法。計算法。各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度度等于過程的功率譜密度。也就是說，每。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。過程的的譜特性。dffPR)()0(42第第3章章 隨機過程隨機過程功率譜密度功率譜密度P ( f )具有非負性和實偶性，即具有非負性

25、和實偶性，即有有和和這與這與R( )的實偶性相對應。的實偶性相對應。 0)(fP)()(fPfP43第第3章章 隨機過程隨機過程p例例3-2 求隨機相位余弦波求隨機相位余弦波 (t) = Acos( ct + )的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度?！窘狻吭凇窘狻吭诶?-1中，我們已經(jīng)考察隨機相位余中，我們已經(jīng)考察隨機相位余弦波是一個平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為弦波是一個平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為cARcos2)(244第第3章章 隨機過程隨機過程因為平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是因為平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有一對傅里葉變換，即有 以及

26、由于有以及由于有所以，功率譜密度為所以，功率譜密度為平均功率為平均功率為 )()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS45第第3章章 隨機過程隨機過程l 3.3 高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程）高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程）n3.3.1 定義定義u如果隨機過程如果隨機過程 (t)的任意的任意n維（維（n =1,2,.）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程?；蚋咚惯^程。46第第3章章 隨機過程隨機過程 n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBB

27、tttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa47第第3章章 隨機過程隨機過程式中式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代數(shù)余因子的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(48第第3章章 隨機過程隨機過程n 3.3.2高斯隨機過程的重要性質(zhì)高斯隨機過程的重要性質(zhì)u高斯過程的高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、維分布只依賴各個隨機

28、變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。需要研究它的數(shù)字特征就可以了。u廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的。因為，若高。因為，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，則它的則它的n維分布也與時間起點無關(guān)，故它也是嚴維分布也與時間起點無關(guān)，故它也是嚴平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。49第第3章章 隨機過程隨機過程u如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，如果高斯過程在

29、不同時刻的取值是不相關(guān)的，即對所有即對所有j k，有，有bjk =0，則其概率密度可以簡，則其概率密度可以簡化為化為 這表明，這表明，對于高斯過程，對于高斯過程，。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf50第第3章章 隨機過程隨機過程u高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。51第第3章章 隨機過程隨機過程n 3.3.3 高斯隨

30、機變量高斯隨機變量u定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為其一維概率密度函數(shù)為式中式中a 均值均值 2 方差方差曲線如右圖：曲線如右圖：221()( )exp22xaf x52第第3章章 隨機過程隨機過程u性質(zhì)性質(zhì)pf (x)對稱于直線對稱于直線 x = a，即即p xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(53第第3章章 隨機過程隨機過程u性質(zhì)性質(zhì)p a表示分布中心，表示分布中心， 稱為標準偏差，表示集稱為標準偏差，表示集中程度，圖形將隨著中程

31、度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。的減小而變高和變窄。當當a = 0和和 = 1時，稱為標準化的正態(tài)分布：時，稱為標準化的正態(tài)分布：21( )exp22xf x54第第3章章 隨機過程隨機過程u正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)這個積分的值無法用閉合形式計算，通常利用其這個積分的值無法用閉合形式計算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出。他特殊函數(shù)，用查表的方法求出。221()( )()exp22xzaF xPxdz55第第3章章 隨機過程隨機過程p用用誤差函數(shù)誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：表示正態(tài)分布函數(shù)：p令令 則有則有 及及 式中式中 誤差函數(shù)，可誤差函數(shù)，可以查表求出其值。以查表求出其值。2/

32、)(aztdtdz22() /2( )22121122xatF xedtxaerf202( )xterf xedt56第第3章章 隨機過程隨機過程p用用互補誤差函數(shù)互補誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：表示正態(tài)分布函數(shù)：式中式中當當x 2時，時，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex57第第3章章 隨機過程隨機過程p用用Q函數(shù)函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)定義：函數(shù)定義：Q函數(shù)函數(shù)和和erfc函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。

33、函數(shù)值也可以從查表得到。2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(58第第3章章 隨機過程隨機過程l3.4 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)n確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)：式中式中 vi 輸入信號，輸入信號， vo 輸出信號輸出信號對應的傅里葉變換關(guān)系：對應的傅里葉變換關(guān)系：dtvhtvthtvii)()()()()(0)()()(0fVfHfVi59第第3章章 隨機過程隨機過程n隨機信號通過線性系統(tǒng)：隨機信號通過線性系統(tǒng)：u假設：假設： i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機過程，是平穩(wěn)的輸入隨機過程

34、， a 均值，均值， Ri( ) 自相關(guān)函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)， Pi( ) 功率譜密度；功率譜密度； 求輸出過程求輸出過程 o(t)的統(tǒng)計特性，即它的均值、的統(tǒng)計特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。60第第3章章 隨機過程隨機過程u輸出過程輸出過程 o(t)的均值的均值 對式對式兩邊取統(tǒng)計平均，得到兩邊取統(tǒng)計平均，得到設輸入過程是平穩(wěn)的設輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有，則有 式中，式中，H(0)是線性系統(tǒng)在是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應，處的頻率響應，因此輸出過程的均值是一個常數(shù)。因此輸出過程的均值是一個常數(shù)。dthti)()()(0dtEhdthEt

35、Eii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE61第第3章章 隨機過程隨機過程u輸出過程輸出過程 o(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) 根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是于是 ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 62第第3章章 隨機過程隨機過程 由上兩式可知，由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的則輸出

36、也是平穩(wěn)的。 )()()()(),(0110RddRhhttRi )0()()(0HadhatE63第第3章章 隨機過程隨機過程u輸出過程輸出過程 o(t)的功率譜密度的功率譜密度對下式進行傅里葉變換：對下式進行傅里葉變換：得得令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到)()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj64第第3章章 隨機過程隨機過程即即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應模值的平方譜密度乘以系統(tǒng)

37、頻率響應模值的平方。常見應用：由常見應用：由Po( f )的反傅里葉變換求的反傅里葉變換求Ro( ) 。0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii65第第3章章 隨機過程隨機過程u輸出過程輸出過程 o(t)的概率分布的概率分布p如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 因為從積分原理看，因為從積分原理看， 可以表示為：可以表示為：kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(066第第3章章 隨機過程隨機過程 由于已假設由于已假設

38、 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。因此，一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是無限輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論理論得知，這多個高斯隨機變量之和。由概率論理論得知，這個個“和和” 也是高隨斯機變量，因而輸出過程也為也是高隨斯機變量，因而輸出過程也為高斯過程。高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。kkkkihttk)()(lim)(00067第第3章章 隨機過

39、程隨機過程n隨機信號通過非線性系統(tǒng)：隨機信號通過非線性系統(tǒng)：隨機信號通過非線性系統(tǒng)的分析比較復雜，隨機信號通過非線性系統(tǒng)的分析比較復雜，這里我們只介紹一種在信號調(diào)制和解調(diào)中這里我們只介紹一種在信號調(diào)制和解調(diào)中常用的乘法器。乘法器是線性調(diào)制和相干常用的乘法器。乘法器是線性調(diào)制和相干解調(diào)的器件，是通信系統(tǒng)中的一個重要部解調(diào)的器件，是通信系統(tǒng)中的一個重要部件。件。68h(t)o(t)i(t)o(t)i(t)cosct(a)(a)三端口網(wǎng)絡三端口網(wǎng)絡cosct(b)(b)數(shù)學模型數(shù)學模型第第3章章 隨機過程隨機過程 乘法器是一種非線性系統(tǒng)，可以等效為一個三端乘法器是一種非線性系統(tǒng)，可以等效為一個三端口

40、網(wǎng)絡，如圖口網(wǎng)絡，如圖(a)(a)所示，其數(shù)學模型如圖所示，其數(shù)學模型如圖(b)(b)所示。其所示。其特點是具有兩個輸入激勵。一般一個是信息信號，另特點是具有兩個輸入激勵。一般一個是信息信號，另一個是載體信號（稱為載波）。一個是載體信號（稱為載波）。 69 現(xiàn)假設現(xiàn)假設i i（t t）是一個平穩(wěn)隨機過程，則輸出為）是一個平穩(wěn)隨機過程，則輸出為 我們的目的就是求系統(tǒng)輸出隨機過程我們的目的就是求系統(tǒng)輸出隨機過程o o（t t）的）的統(tǒng)計特性。統(tǒng)計特性。 tttcicos0第第3章章 隨機過程隨機過程70 o o（t t）的數(shù)學期望：）的數(shù)學期望： 顯然它是顯然它是t t的函數(shù)。因此的函數(shù)。因此o

41、o（t t）不是平穩(wěn)隨機）不是平穩(wěn)隨機過程。過程。 ttEttEtEcicicoscos0taccos第第3章章 隨機過程隨機過程71 o o（t t）的自相關(guān)函數(shù)：）的自相關(guān)函數(shù)： ttEttR000, ttEttttEttttEiicciicicicoscoscoscos22coscosccct 22coscoscccitR第第3章章 隨機過程隨機過程72顯然它也是時間顯然它也是時間t t的函數(shù)。這樣從的函數(shù)。這樣從o o（t t）的數(shù)學期）的數(shù)學期望和自相關(guān)函數(shù)的結(jié)果都說明了，望和自相關(guān)函數(shù)的結(jié)果都說明了，雖然輸入是平穩(wěn)雖然輸入是平穩(wěn)的隨機過程，但非線性系統(tǒng)的輸出一般不是平穩(wěn)的的隨機過程

42、，但非線性系統(tǒng)的輸出一般不是平穩(wěn)的隨機過程隨機過程。 22coscos,0cccitRttR第第3章章 隨機過程隨機過程73第第3章章 隨機過程隨機過程l3.5 窄帶隨機過程窄帶隨機過程 n什么是窄帶隨機過程？什么是窄帶隨機過程？若隨機過程若隨機過程 (t)的譜密度集中在中心頻率的譜密度集中在中心頻率fc附附近相對窄的頻帶范圍近相對窄的頻帶范圍 f 內(nèi)，即滿足內(nèi)，即滿足 f fc的的條件，且條件，且 fc 遠離零頻率，則稱該遠離零頻率，則稱該 (t)為窄帶隨為窄帶隨機過程。機過程。 74第第3章章 隨機過程隨機過程n典型的窄帶隨機過程的譜密度和樣本函數(shù)典型的窄帶隨機過程的譜密度和樣本函數(shù) fc

43、OS( f )fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡a(t)頻率近似為 fc(b)75第第3章章 隨機過程隨機過程n窄帶隨機過程的表示式窄帶隨機過程的表示式 式式中，中，a (t) 隨機包絡，隨機包絡， (t) 隨機相位，隨機相位， c 中心角頻率。中心角頻率。 顯然顯然， a (t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的變化要緩慢得多。的變化要緩慢得多。0)(,)(cos)()(tatttatc76第第3章章 隨機過程隨機過程n窄帶隨機過程表示式展開窄帶隨機過程表示式展開可以展開為可以展開為式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量0)(,)

44、(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats77第第3章章 隨機過程隨機過程可以看出：可以看出： （1） (t)的統(tǒng)計特性由的統(tǒng)計特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性確定。的統(tǒng)計特性確定。 （2）若）若 (t)的統(tǒng)計特性已知，的統(tǒng)計特性已知，則則a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性也隨之確定。的統(tǒng)計特性也隨之確定。 ttttcsccsin)(cos)()(cos)()(tttatc78第第3章章 隨機過程隨機過程n3.5.1 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特

45、性的統(tǒng)計特性(假設假設 (t) 是是E (t)=0, D (t)= 2的平穩(wěn)高斯窄帶過程的平穩(wěn)高斯窄帶過程)p數(shù)學期望：對下式求數(shù)學期望：數(shù)學期望：對下式求數(shù)學期望：得到得到 因為因為 (t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t，都有都有E (t) = 0 ，所以，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，79第第3章章 隨機過程隨機過程p (t)的自相關(guān)函數(shù)：的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中式中)()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin

46、),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc80第第3章章 隨機過程隨機過程p (t)的自相關(guān)函數(shù)：的自相關(guān)函數(shù)： 因為因為 (t)是平穩(wěn)的，故有是平穩(wěn)的，故有 這就要求上式的右端與時間這就要求上式的右端與時間t無關(guān)，而僅與無關(guān)，而僅與 有關(guān)。有關(guān)。 因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍應成立，它變?yōu)?，上式仍應成立，它變?yōu)?(),(RttRccsccttRttRRsin),(cos),(

47、)(81第第3章章 隨機過程隨機過程因與時間因與時間t無關(guān)，以下二式自然成立無關(guān)，以下二式自然成立所以，上式變?yōu)樗?，上式變?yōu)樵倭钤倭?t = /2 c，同理可以求得，同理可以求得由以上分析可知，由以上分析可知，若窄帶過程若窄帶過程 (t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則 c(t)和和 s(t)也必然是平穩(wěn)的。也必然是平穩(wěn)的。ccsccttRttRRsin),(cos),()()(),()(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(82第第3章章 隨機過程隨機過程p進一步分析下兩式進一步分析下兩式應同時成立，故有應同時成立，故有

48、上式表明，上式表明，同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同具有相同的自相關(guān)函數(shù)。的自相關(guān)函數(shù)。ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR83第第3章章 隨機過程隨機過程根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應有根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函數(shù)，所以的奇函數(shù)，所以同理可證同理可證 )()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR84第第3章章 隨機過程隨機過程將將代入下兩式代入下兩式得到得到即

49、即表明表明 (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率或方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(scRRR222sc85第第3章章 隨機過程隨機過程 根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式無關(guān)，故由式 得到得到因為因為 (t)是高斯過程是高斯過程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是一定是高斯隨機變量，從而高斯隨機變量，從而 c(t) 、 s(t)也是高斯過程也是高斯過程。tttttcsccsin)(cos)()()()(,0

50、111ttttc時)()(,2222ttttsc時86第第3章章 隨機過程隨機過程p根據(jù)根據(jù) 可知，可知， c(t) 與與 s(t)在在 = 0處互不相關(guān)，又由于它處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此們是高斯型的，因此 c(t) 與與 s(t)也是統(tǒng)計獨立的。也是統(tǒng)計獨立的。 0)0(csRu結(jié)論：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程結(jié)論：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程 (t) ，它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同樣是平穩(wěn)高同樣是平穩(wěn)高斯過程，且均值為零，方差相同。此外，在同一斯過程，且均值為零，方差相同。此外，在同一時刻上得到的時刻上得到的 c和和 s是互不相關(guān)的

51、或統(tǒng)計獨立的是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。87第第3章章 隨機過程隨機過程n3.5.2 a (t)和和 (t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性u聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , )根據(jù)概率論知識有根據(jù)概率論知識有由由可以求得可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfff88第第3章章 隨機過程隨機過程于是有于是有式中式中a 0, = (0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aa89第第3章章 隨機過程隨機過程ua

52、 的一維概率密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù)可見，可見， a 服從瑞利服從瑞利(Rayleigh)分布。分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa90第第3章章 隨機過程隨機過程u 的一維概率密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù)可見，可見， 服從均勻分布。服從均勻分布。20212exp21),()(02220daaadaaff91第第3章章 隨機過程隨機過程u結(jié)論結(jié)論一個均值為零，方差為一個均值為零，方差為 2的窄帶平穩(wěn)高斯過程的窄帶平穩(wěn)高斯過程 (t)，其包絡，其包絡a (t)的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是瑞利分布，相位 (t)的一維分布是均勻分布的一維分布是均勻分布

53、，并且，并且a (t)與與 (t)是是統(tǒng)計獨立的統(tǒng)計獨立的 ，即有，即有 )()(),(fafaf92第第3章章 隨機過程隨機過程l3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲n正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中式中 是窄帶高斯噪聲；是窄帶高斯噪聲； 是是正弦波的隨機相位，正弦波的隨機相位， 均勻分布在均勻分布在0 2 間；間； A和和 c 分別是分別是 確知振確知振幅和角頻率。幅和角頻率。)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()(93第第3章章 隨機過程隨機過程 于是有于是有式中式中)(cos)(sin)(cos)(sin)

54、(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss94第第3章章 隨機過程隨機過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡和相位表示式正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡和相位表示式包絡：包絡：相位：相位：0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs95第第3章章 隨機過程隨機過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡的統(tǒng)計特性u包絡的概率密度函數(shù)包絡的概率密度函數(shù) f (z) 利用上一節(jié)的結(jié)果，如果利用上一節(jié)的結(jié)果，如果 值已給定，值已給定，則則zc、zs是相互

55、獨立的高斯隨機變量，且有是相互獨立的高斯隨機變量，且有222sincosnscscAzEAzE96第第3章章 隨機過程隨機過程 所以，在給定相位所以，在給定相位 的條件的條件下的下的zc和和zs的聯(lián)合的聯(lián)合概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為 利用與上一節(jié)分析利用與上一節(jié)分析a 和和 相似的方法，根據(jù)相似的方法，根據(jù)zc，zs與與z， 之間的隨機變量關(guān)系之間的隨機變量關(guān)系2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnscsincoszzzzsc97第第3章章 隨機過程隨機過程 可以求得在給定相位可以求得在給定相位 的條件下的的條件下的z與與 的聯(lián)合的聯(lián)合概率密度函數(shù)概率密度函

56、數(shù)然后求給定條件下的邊際分布，然后求給定條件下的邊際分布， 即即)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznndAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(22022222098第第3章章 隨機過程隨機過程由于由于故有故有式中，式中，I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)第一類零階修正貝塞爾函數(shù)因此因此)(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf99第第3章章 隨機過程隨機過程 由上式可見由上式可見，f ( ,

57、z)與與 無關(guān)，故的包絡無關(guān)，故的包絡z的概的概率密度函數(shù)為率密度函數(shù)為稱為稱為廣義瑞利分布廣義瑞利分布，又稱，又稱萊斯萊斯（Rice）分布。）分布。 202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn100第第3章章 隨機過程隨機過程u討論討論p當信號很小時，當信號很小時，即即A 0時，上式中時，上式中(Az/ n2)很小，很小，I0 (Az/ n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。p當當(Az/ n2)很大時，有很大時，有 這時上式近似為高斯分布，即這時上式近似為高斯分布，即0)(21exp)(

58、202222zAzIAzzzfnnnxexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf101第第3章章 隨機過程隨機過程p包絡概率密度函數(shù)包絡概率密度函數(shù) f (z)曲線曲線102第第3章章 隨機過程隨機過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計特性F()103第第3章章 隨機過程隨機過程l3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲n白噪聲白噪聲n (t)u定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，即的噪聲，即 雙邊功率譜密度雙邊功率譜密度或或 單邊功率譜密度單邊功率譜密度式中式中 n0 正常數(shù)正常數(shù)2)(0n

59、fPn)(f0)(nfPn)(0 f104第第3章章 隨機過程隨機過程u白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關(guān)函數(shù)：對雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關(guān)函數(shù)：u白噪聲和其自相關(guān)函數(shù)的曲線：白噪聲和其自相關(guān)函數(shù)的曲線：)(2)(0nR105第第3章章 隨機過程隨機過程u白噪聲的功率白噪聲的功率由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，即即或或 因此，真正因此，真正“白白”的噪聲是不存在的，它只是的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。 f2n)0(0dR)0(2)0(0

60、nR106第第3章章 隨機過程隨機過程p實際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率實際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。可以把它視為白噪聲。p如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為則稱之為高斯白噪聲高斯白噪聲。p高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。獨立的。 107第第3章章 隨機過程隨機過程n低通白噪聲低通白噪聲u定義：如果白噪聲通過理