橢圓的幾何性質(zhì)及綜合問題

1、橢圓的幾何性質(zhì)一、概念及性質(zhì)1.橢圓的“范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、軸長(zhǎng)、焦距、離心率及范圍、a,b,c的關(guān)系”；2.橢圓的通經(jīng)：3.橢圓的焦點(diǎn)三角形的概念及面積公式：4.橢圓的焦半徑的概念及公式：主要用來(lái)求離心率的取值范圍，對(duì)于此問題也可以用下列性質(zhì)求解：.5.直線與橢圓的位置關(guān)系：6.橢圓的中點(diǎn)弦問題：【注】：橢圓的幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大，高考對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍；(2)由性質(zhì)寫橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)求離心率的值或范圍題型一：根據(jù)橢圓的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)的值或范圍、離心率的值或范圍.【典例1】求適合下

2、列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于.【典例2】求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).【典例3】已知A，P，Q為橢圓C：上三點(diǎn)，若直線PQ過(guò)原點(diǎn)，且直線AP，AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為（ ）A. B. C. D.【練習(xí)】(1)已知橢圓1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2y26x80的圓心，且短軸長(zhǎng)為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為()A(3，0) B(4，0) C(10，0) D(5，0)（2）橢圓1的離心率為，則k的值為()A21 B21 C或21 D或21(3)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線與C相交于

3、A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_【典例4】已知F1，F(xiàn)2為橢圓1(ab0)的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是 練習(xí)：如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分與P1,P2,P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則= 【典例5】若 “過(guò)橢圓1(ab0)的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的兩條互相垂直的直線l1，l2的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部”，求離心率的取值范圍【典例6】已知橢圓C：1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|BN|_【方法歸納】：1.在利用橢圓的性質(zhì)求解

4、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，總體原則是“先定位，再定量”.2.求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，其原則是“數(shù)形結(jié)合，定義優(yōu)先，幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化”，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分利用平面幾何的性質(zhì)及有關(guān)重要結(jié)論來(lái)探尋參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，以減少運(yùn)算量3.在求解有關(guān)圓錐曲線焦點(diǎn)問題時(shí)，結(jié)合圖形，注意動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的轉(zhuǎn)化4. 求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍；有時(shí)也可利用正弦、余弦的有界性求解離心率的范圍5.在探尋a,b,c的關(guān)系時(shí)，若能充

5、分考慮平面幾何的性質(zhì)，則可使問題簡(jiǎn)化，如典例5.【本節(jié)練習(xí)】1已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A1 B1或1 C1 D1或12.設(shè)e是橢圓1的離心率，且e(，1)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(0，3) B(3，) C(0，3)(，) D(0，2)3.已知橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若四邊形B1F1B2F2是正方形，則這個(gè)橢圓的離心率e等于()A B C D4.如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值為_5.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A,B

6、兩點(diǎn)，若AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為（ ）A. B. C. D.6.已知F1、F2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1PF2，則F1PF2的面積為_7.設(shè)是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，是底角為300的等腰三角形，則E的離心率為（ ）A. B. C. D. 8.過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D.9.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若，則稱其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為 10.已知為橢圓的左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)，POAB（O為橢圓中心）時(shí)，橢

7、圓的離心率為 11已知方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(，2) B(1，) C(1，2) D(，1)12矩形ABCD中，|AB|4，|BC|3，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)C，D兩點(diǎn)的橢圓的短軸的長(zhǎng)為()A2 B2 C4 D413一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為()A1 B1 C1 D114.如圖，已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)恰好是橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，且這兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為_15.已知拋物線與橢圓在第一象限相交于A點(diǎn)

8、，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，ABy軸于B點(diǎn)，當(dāng)BAF=300時(shí)，a= 16. 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|PF1|的最大值為_17橢圓1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，E(3，0)，EPEQ，則·的最小值為()A6 B3 C9 D12618橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，則這個(gè)橢圓方程為_19若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，短軸的長(zhǎng)度和焦距依次成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是_20.已知圓錐曲線mx24y24m的離心率e為方程2x25x20的根，則滿足條件的圓錐曲線的個(gè)數(shù)為()A4 B3 C2

9、 D114. 橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為，若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足,則該橢圓的離心率等于_設(shè)F1(c, 0), F2(c, 0)是橢圓(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是以|F1F2|為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且PF1F2=5PF2F1，則該橢圓的離心率為 （A） （B） （C） （D）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)（1，）作圓的切線，切點(diǎn)分別為A,B，直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是 21.已知橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)為F1，左焦點(diǎn)為F2，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足線段PF1相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段PF1的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為()A B C D22. 已

10、知為橢圓上三點(diǎn)，若直線過(guò)原點(diǎn)，且直線的斜率之積為，則橢圓的離心率等于( ) A B C D題型二：直線與橢圓的位置關(guān)系的判定.【典例1】當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓相切、相交、相離？【典例2】已知橢圓，直線，橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線l的距離最?。孔钚【嚯x是多少？反饋：（2012福建）如圖，橢圓E：的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線l：與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4交于Q，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【方

11、法歸納】：直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟：聯(lián)立直線方程與橢圓方程；消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程；當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相離注：對(duì)比直線與圓的位置關(guān)系的判斷，它們之間有何聯(lián)系與區(qū)別？題型三：直線與橢圓相交（及中點(diǎn)弦）問題該問題屬高考中對(duì)圓錐曲線考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)問題，其主要方法是數(shù)形結(jié)合、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代換.【典例1】已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)及的周長(zhǎng)、面積.【典例2】已知橢圓1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)(1)求橢圓的方程；(2)若直線l

12、：yxm與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足，求直線l的方程【典例3】已知一直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1)，求直線AB的方程.變式：過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為 【典例4】（2015新課標(biāo)文）已知橢圓 的離心率為,點(diǎn)在C上.（I）求C的方程；（II）直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【典例5】已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于

13、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.【典例6】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均不在左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【方法歸納】：（1）解決直線與橢圓相交問題的原則有兩個(gè)：一是數(shù)形結(jié)合；二是一條主線：“斜率、方程組、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系”.利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代換，以減少運(yùn)算量.（2）如果題設(shè)中沒有對(duì)直線的斜率的限定，一定要討論斜率是否存在，以免漏解；這里又有兩個(gè)問題需要注意：若已知直線過(guò)y軸上的定點(diǎn)P(0

14、,b)，可將直線設(shè)為斜截式，即縱截距式，即y=kx+b，但要討論斜率是否存在；若已知直線過(guò)x軸上的定點(diǎn)P(a,0)，可以直接將直線方程設(shè)為橫截距式，即x=my+a，這樣可避免討論斜率是否存在，但此時(shí)求弦長(zhǎng)時(shí)，需將下面弦長(zhǎng)公式中的k用替換.（3）直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率)【本節(jié)練習(xí)】1.(2014·高考安徽卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_2. (2015·豫西五校聯(lián)

15、考)已知橢圓1(0b2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是()A1 B C D3(2015·宜昌調(diào)研)過(guò)橢圓1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_4已知橢圓G：1(a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)為(2，0)斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(3，2)(1)求橢圓G的方程；(2)求PAB的面積5.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，離心率為(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0，1)，且與橢圓C

16、交于A，B兩點(diǎn)，若2，求直線l的方程5.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交x軸于N點(diǎn)，滿足，求直線l的方程.6.已知橢圓的離心率為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，過(guò)點(diǎn)P(4,2)的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn).(1)求橢圓方程；（2）當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程.7. 平面直角坐標(biāo)系xoy中,過(guò)橢圓M：的右焦點(diǎn)F作直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為.()求M的方程;()C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值.8. 設(shè)分別是橢圓的左、

17、右焦點(diǎn)，過(guò)斜率為1的直線l與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列.（1）求的離心率；（2） 設(shè)點(diǎn)滿足，求的方程.9. 設(shè)F1 ，F(xiàn)2分別是橢圓C：（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（I）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（II）若直線MN在y軸上的截距為2且|MN|=5|F1N|，求a，b.10 如圖，點(diǎn)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)分別是橢圓C：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線交直線x于點(diǎn)Q(1)如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4，4)，求此時(shí)橢圓C的方程；(2)證明：直線PQ與橢圓

18、C只有一個(gè)交點(diǎn)11.已知橢圓C：x22y24(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OAOB，（文）求線段AB長(zhǎng)度的最小值（理）試判斷直線AB與圓的位置關(guān)系.圓錐曲線在高考中的考查主要體現(xiàn)“一條主線,五種題型”,所謂一條主線:是指直線與圓錐曲線的綜合.五種題型是指“最值問題；定點(diǎn)問題；定值問題；參數(shù)的取值范圍問題；存在性問題”.一、 最值問題【規(guī)律方法】：（1）最值問題有兩大類：距離、面積的最值以及與之有關(guān)的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題.（2）兩種常見方法：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何

19、特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解題；代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函數(shù)則可先分離常數(shù)，再求最值；若是二次函數(shù)，可用配方法；若是更復(fù)雜的函數(shù)，還可用導(dǎo)數(shù)法.（3）圓錐曲線的綜合問題要四重視：重視定義在解題中的作用；重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用；重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用.如定值中2014江西文科考題，范圍中的題6、7.1.已知橢圓C：（a>0）的焦點(diǎn)在x軸上，右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A、B.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，分別以A、B為焦點(diǎn)的拋物線C1、C2交于

20、點(diǎn)P（不同于O點(diǎn)），且以BP為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若與OP垂直的動(dòng)直線l交橢圓C于M、N不同兩點(diǎn)，求OMN面積的最大值和此時(shí)直線l的方程.2.已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為（0，1），且離心率為.（）求橢圓C的方程；（）證明：過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程為；（）從圓上一點(diǎn)P向橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn)時(shí)，求的最小值.3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和到定直線x=2的距離之比為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，過(guò)點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，直線l：與曲線E交于C、D兩點(diǎn)，與線段AB相交于一點(diǎn)（與A、B不重合）.（）求曲線E

21、的方程；（）當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，四邊形ACBD的面積是否有最大值.若有，求出其最大值及相應(yīng)的直線l的方程；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由.4. 已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.5.平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓E于兩點(diǎn)，射線交橢圓E于點(diǎn).（）求的值；（）求面積的最大值。二、定值問題解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率、某些代數(shù)表達(dá)式的值等）的大小與題目中的參數(shù)

22、無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值.解決圓錐曲線中的定值問題的基本思路是：定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變化的量所影響的一個(gè)值即為定值.求定值的基本方法：1.直接推理計(jì)算，通過(guò)消參得到定值：直接推理計(jì)算，通過(guò)消參得到定值的關(guān)鍵在于引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量（如2015高考文科）2.從特殊入手，求出定值，再證明，即從特殊到一般法：從動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊位置入手，計(jì)算出定值或定點(diǎn)，然后驗(yàn)證一般情形，即證明這個(gè)值與變量

23、無(wú)關(guān).【注】：無(wú)論哪種方法，其求解過(guò)程仍始終貫穿一條主線.1.已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在C上.（1）求C的方程；（2）直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.2.已知橢圓C：，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.（）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（）若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.3. 已知?jiǎng)又本€與橢圓：交于兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（）證明：和均為定值；（）設(shè)線段的

24、中點(diǎn)為，求的最大值；（）橢圓上是否存在三點(diǎn)，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（安排此題的目的有兩個(gè)：一是在處理(1)時(shí)，所建立的等式中含有兩個(gè)變量，且這兩個(gè)變量間再無(wú)直接關(guān)系，此時(shí)可通過(guò)觀察等式的結(jié)構(gòu)，通過(guò)換元，再借助此等式，探索原來(lái)兩個(gè)變量間的關(guān)系，以達(dá)到消元的目的；二是在處理（2）時(shí)，可通過(guò)觀察和的結(jié)構(gòu)，通過(guò)變形，使之滿足均值不等式求最值的三個(gè)條件）4.如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為 （）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由4.已知橢圓E

25、：其焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，直線l：x+2y-2=0與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B.（1）若點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，求橢圓的方程；（2）若線段AB上存在點(diǎn)P滿足，求a的取值范圍.5. 已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點(diǎn).若，點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，求證：.（2014江西文）如圖，已知拋物線，過(guò)點(diǎn)任作一直線與相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1） 證明：動(dòng)點(diǎn)在定直線上；（2） 作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點(diǎn)，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值.三、定點(diǎn)問題（同定值問題）1. 已知橢圓C的中心在

26、為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1.（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均不在左、右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).2.（2013陜西）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8. () 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程; () 已知點(diǎn)B(1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過(guò)定點(diǎn). 2.（2014課標(biāo)1）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交與兩點(diǎn)，（）當(dāng)時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（）軸上是否存在點(diǎn)

27、P，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有OPM=OPN？說(shuō)明理由.3.設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E：相切于點(diǎn)P，與直線相交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn).4.已知結(jié)論：若點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓上一點(diǎn)，則直線l:與橢圓相切，現(xiàn)過(guò)橢圓C:上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A，試判斷以線段AP為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.5.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，其中a,b,c都是正數(shù)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)兩點(diǎn)的直線的距離為.(1) 求橢圓的方程；(2) 若點(diǎn)M,N是定直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).5.(2015廣東汕頭二模)

28、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C：的離心率為，左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA、QA分別與y軸交于M、N兩點(diǎn)，問：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.6. 如圖，橢圓E: 的離心率是，過(guò)點(diǎn)P(0，1)的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，直線被橢圓E截的線段長(zhǎng)為（）求橢圓E的方程（）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得恒成立，若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.7.已知橢圓C:的離心率，右焦點(diǎn)到直線的距離為.（）求橢圓C的方程；（）已知直線與橢圓C交于不

29、同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的中點(diǎn)不在圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8.已知圓與圓(0<r<4)的公共點(diǎn)的軌跡為曲線E，且曲線E與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M.若曲線E上相異兩點(diǎn)A、B滿足直線MA，MB的斜率之積為.（）求E的方程；（）證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；（）求的面積的最大值.四、參數(shù)（或式）的取值范圍問題解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五方面考慮：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求

30、新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍引例1 已知A是橢圓E：的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，.（I）當(dāng)時(shí)，求的面積(II)當(dāng)2時(shí)，證明：.引例2 已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.（I）當(dāng)t=4，時(shí)，求AMN的面積；（II）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.1.若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線

31、有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）ABCD2.已知P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則的最小值是（ ）A. 8 B. C. 10 D. 3.橢圓C：（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,離心率為 ，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為l. （）求橢圓C的方程； （）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1、PF2,設(shè)F1PF2的角平分線 PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍； （）在（）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別

32、為k1，k2，若k0，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.3. 已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=mx+對(duì)稱（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）4.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為.(I)求橢圓C的方程；(II)A,B為橢圓C上滿足的面積為的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C與點(diǎn)P，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.6.已知橢圓E： 的離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)F2作與x軸垂直的直線l與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓E相交于G、H兩