常微分方程習(xí)題集

1、 常微分方程測試題 1一、填空題 30%1、  形如                的方程，稱為變量分離方程，這里.分別為x.y的連續(xù)函數(shù)。2、  形如                 -的方程，稱為

2、伯努利方程，這里的連續(xù)函數(shù).n  3、  如果存在常數(shù)             -對于所有函數(shù)稱為在R上關(guān)于滿足利普希茲條件。4、  形如                      -的方程

3、，稱為歐拉方程，這里5、  設(shè)的某一解，則它的任一解-                       。二、計算題40%1、  求方程2、  求方程的通解。3、  求方程的隱式解。4、  求方程 三、證明題30%1.試驗證=是方程組x=x,x= ，在任

4、何不包含原點的區(qū)間a上的基解矩陣。2.設(shè)為方程x=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0）=E），證明: (t)=(t- t)其中t為某一值.<%建設(shè)目標(biāo)%>常微分方程測試題 2一、填空題：（30%）1、曲線上任一點的切線的縱截距是切點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項，則曲線所滿足的微分方程是         .2、方程的通解中含有任意常數(shù)的個數(shù)為      .3、方程有積分因子的充要條件為  

5、0;  .4、連續(xù)是保證對滿足李普希茲條件的     條件5、方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是     6、若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們      (有或無)共同零點   7、設(shè)是方程的通解，則     .8、已知是二階齊次線性微分方程的一個非零解，則與線性無關(guān)的另一解      

6、;  .9、設(shè)是階常系數(shù)齊次線性方程特征方程的K重根，則該方程相應(yīng)于的K個線性無關(guān)解是         .10、線性微分方程組的解是的基本解組的充要條件是         .二、求下列微分方程的通解：（40%）  1、2、3、4、5、求解方程三、求初值問題  的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計.（10分）四、求解微分方程組 

7、60;                         滿足初始條件的解. （10%）五、證明題：（10%）        設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明：存在常數(shù)C使得=C常微分方程測試題 3   &

8、#160;                                                 &

9、#160;1辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：(12%)（1）       （2）       （3）（4）      （5）      （6）2、填空題(8%)（1）方程的所有常數(shù)解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為_.（3）.若方程M(x, y)dx +

10、N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通積分是_.（4）.設(shè)M(x0, y0)是可微曲線y= y(x)上的任意一點，過該點的切線在x軸和y軸上的截距分別是_. 3、單選題(14%)（1）方程是（           ）.(A)可分離變量方程             （B）線性方程(C)全微分方程   &

11、#160;             （D）貝努利方程（2）方程，過點（0，0）有（   ）.(A) 一個解                     （B）兩個解  (C) 無數(shù)個解 

12、0;                 （D）三個解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常數(shù)解是（     ）.(A)y=±1, x=±1,                

13、(B) y=±1(C) x=±1                       (D) y=1, x=1（4）若函數(shù)y(x)滿足方程，且在x=1時，y=1, 則在x = e時y=(        ).(A)  &

14、#160;      (B)             (C)2            (D) e（5）階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個（    ）線性空間（A）維      （B）維 

15、0;    （C）維      （D）維    （6）. 方程（    ）奇解（A）有三個      （B）無      （C）有一個      （D） 有兩個（7）方程過點（   

16、0;）    （A）有無數(shù)個解            （B）只有三個解    （C）只有解         （D）只有兩個解4.計算題(40%)  求下列方程的通解或通積分：    （1）.     （2）.&

17、#160;（3）.     （4）.                   （5）. 5. 計算題(10%)求方程的通解6證明題（16%）設(shè)在整個平面上連續(xù)可微，且求證：方程              

18、        的非常數(shù)解，當(dāng)時，有，那么必為或<%建設(shè)目標(biāo)%>常微分方程測試題 4                             1辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：(12%)（1）

19、60;      （2）       （3）（4）      （5）      （6）2、填空題(8%)（1）方程的所有常數(shù)解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通積分是_.（4）.設(shè)M(x0,

20、 y0)是可微曲線y= y(x)上的任意一點，過該點的切線在x軸和y軸上的截距分別是_3、單選題(14%)（1）方程是（           ）.(A)可分離變量方程             （B）線性方程(C)全微分方程          

21、0;      （D）貝努利方程（2）方程，過點（0，0）有（   ）.(A) 一個解                     （B）兩個解  (C) 無數(shù)個解         &

22、#160;         （D）三個解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常數(shù)解是（     ）.(A)y=±1, x=±1,                 (B) y=±1(C) x=±1 

23、60;                     (D) y=1, x=1（4）若函數(shù)y(x)滿足方程，且在x=1時，y=1, 則在x = e時y=(        ).(A)         (B) 

24、            (C)2            (D) e（5）階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個（    ）線性空間（A）維      （B）維      （C）維  

25、60;   （D）維    （6）. 方程（    ）奇解（A）有三個      （B）無      （C）有一個      （D） 有兩個（7）方程過點（    ）    （A）有無數(shù)個解 

26、0;          （B）只有三個解    （C）只有解         （D）只有兩個解4.計算題(40%)  求下列方程的通解或通積分：    （1）.     （2）. （3）.     （4）.&#

27、160;                  （5）. 5. 計算題(10%)求方程的通解6證明題（16%）設(shè)在整個平面上連續(xù)可微，且求證：方程                     

28、60;的非常數(shù)解，當(dāng)時，有，那么必為或常微分方程測試題 5     一、填空題（30%）    1若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為                 2方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是       

29、       3連續(xù)是保證方程初值唯一的         條件一條積分曲線.    4. 線性齊次微分方程組的一個基本解組的個數(shù)不能多于          個，其中，    5二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是    

30、          6方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是                  7方程的所有常數(shù)解是                  

31、0; 8方程所有常數(shù)解是                   9線性齊次微分方程組的解組為基本解組的             條件是它們的朗斯基行列式    10階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為     

32、;          個二、計算題（40%）    求下列方程的通解或通積分：    1.     2    3     4    5    三、證明題（30%）1試證明：對任意及滿足條件的，方程    

33、60;      的滿足條件的解在上存在    2設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有3設(shè)方程中，在上連續(xù)可微，且，求證：該方程的任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在常微分方程測試題 6一、填空題 （20%)1方程的所有常數(shù)解是                2方程的常數(shù)解是    

34、60;             3一階微分方程的一個特解的圖像是        維空間上的一條曲線4方程的基本解組是                二、選擇題(25%)1階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是（ &#

35、160;  ）個    （A）         （B）-1        （C）+1         （D）+22李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的（    ）條件（A）充分  （B）必要 （C）充分必要&#

36、160; （D）必要非充分3. 方程過點共有（    ）個解（A）一   （B）無數(shù)   （C）兩    （D）三4方程（    ）奇解（A）有一個   （B）有兩個  （C）無  （D）有無數(shù)個5方程的奇解是（    ）（A）  （B）  

37、0; （C）    （D）三、計算題(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03. 4.    5.四、求下列方程的通解或通積分(30%)1.2. 3.   常微分方程測試題 7  一 . 解下列方程 (80%)1.      x=+y2.     tgydx-ctydy=03.

38、     y-x(+)dx-xdy=04.     2xylnydx+dy=0 5. =6-x6. =2 7. 已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。  8一質(zhì)量為m質(zhì)點作直線運動，從速度為零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試求此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系。二 證明題 (20%)1.  &

39、#160;證明：如果已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等方法求得它的通解。2 試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,則是該方程的一個積分因子常微分方程測試題 8 計算題 .求下列方程的通解或通積分 （70%）1. 2. 3. 4. 567證明題 （30%）8. 在方程中，已知，在上連續(xù)，且求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為9. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程       

40、               的所有解的存在區(qū)間必為 10. 假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個解求證：若<，則在區(qū)間I上必有 <成立常微分方程測試題 9一、填空題（30%）1、方程有只含的積分因子的充要條件是（）。有只含的積分因子的充要條件是_。、_稱為黎卡提方程，它有積分因子_。、_稱為伯努利方程，它有積分因子_。、若為階齊線性方程的個解，則它們線性無關(guān)

41、的充要條件是_。、形如_的方程稱為歐拉方程。、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_。、當(dāng)方程的特征根為兩個共軛虛根是，則當(dāng)其實部為_時，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為_。二、計算題（）1、若試求方程組的解并求expAt、求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解6.求的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性.三、證明題（）、階齊線性方程一定存在個線性無關(guān)解。常微分方程測試題 10一、選擇題 （30%）1  微分方程的階數(shù)是_2  若和在矩形區(qū)域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù),且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是_3   _

42、 稱為齊次方程.4  如果 _ ,則存在唯一的解,定義于區(qū)間 上,連續(xù)且滿足初始條件 ,其中 _ .5 對于任意的 ,  (為某一矩形區(qū)域),若存在常數(shù)使 _ ,則稱在上關(guān)于滿足利普希茲條件.6 方程定義在矩形區(qū)域:上 ,則經(jīng)過點 的解的存在區(qū)間是 _7 若是齊次線性方程的個解,為其伏朗斯基行列式,則滿足一階線性方程 _8        

43、 若為齊次線性方程的一個基本解組,為非齊次線性方程的一個特解,則非齊次線性方程的所有解可表為 _9         若為畢卡逼近序列的極限，則有_10     _稱為黎卡提方程，若它有一個特解，則經(jīng)過變換_，可化為伯努利方程二求下列方程的解 （35%） 求方程經(jīng)過的第三次近似解討論方程，的解的存在區(qū)間 4 求方程的奇解 5   6   7

44、   三 證明題  （35%）1 試證:若已知黎卡提方程的一個特解,則可用初等積分法求它的通解 2 試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明:一階線性方程 , 當(dāng) , 在上連續(xù)時,其解存在唯一<%建設(shè)目標(biāo)%>常微分方程測試題 11一  填空題  （30%）。1、當(dāng)_時，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全        &

45、#160;        微分方程。 2、_稱為齊次方程。3、求 =f(x,y)滿足的解等價于求積分方程_的連續(xù)解。4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程 的解 y=作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是_。5、若為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。 6、方程組的_稱之為的一個基本解組。 7、若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt =_ 8、滿足_的點（），稱為方程組的奇點9、當(dāng)方程組的特征根為兩個

46、共軛虛根時，則當(dāng)其實部_時，零解是穩(wěn)定 的，對應(yīng)的奇點稱為_。 二、計算題（60%）1、求解方程：=2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：5、試求方程組的一個基解矩陣，并計算6、試討論方程組   （1）的奇點類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。 三、證明題（10%）。試證：如果滿足初始條件的解，那么       &

47、#160; 常微分方程測試題 13 一、判斷題（10%）1方程是恰當(dāng)方程。                 （   ）2 是三階微分方程。                  

48、60;             （   ）3是方程的通解。                        （   ）4函數(shù)組線性相關(guān)的充要條件是它們的伏朗斯基行列式等于零

49、。         （   ）5方程是二階線性方程。                          （   ） 二、選擇題（101方程定義在矩形域上，則經(jīng)過點的解的存在區(qū)間是（

50、   ）。A        B         C          D2與初值問題等價的一階方程組是_.A             B  C    

51、          D3方程（是一個函數(shù)矩陣）的解空間構(gòu)成_維線性空間.An-1        Bn        Cn+1        D4微分方程的一個解是（  ）A         

52、     BC              D5方程有積分因子（   ）A    B    C    D 三、填空題（20%）1方程通過點的第二次近似解是_。2當(dāng)_時，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。3如果在    

53、60;     且              ，則方程存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件，其中                 ，             。4若1，2，是齊線性方程的個解，為其伏朗斯基行列式，則 滿足一階線性方程