高中數(shù)學(xué)解題基本方法之參數(shù)法

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載六、參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)， 揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系

2、，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。、再現(xiàn)性題組：1.設(shè) 2 x 3 y 5 z >1，則 2x、3y、 5z 從小到大排列是_ 。x22t2 的點(diǎn)的坐標(biāo)是 _。2. （理）直線3上與點(diǎn) A(-2,3) 的距離等于y2t（文）若 k< 1，則圓錐曲線x 2 ky 2 1 的離心率是 _。3. 點(diǎn) Z 的虛軸上移動(dòng)，則復(fù)數(shù)C z 2 1 2 在復(fù)平面上對應(yīng)的軌跡圖像為_ 。4.三棱錐的三個(gè)側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6、 4、 3，則其體積為 _。5.設(shè)函數(shù) f(x)對任意的 x、 y R，都有 f(x y) f(x)f(y) ，且當(dāng) x>0 時(shí)， f(x)<0 ，則

3、 f(x)的 R 上是 _函數(shù)。 ( 填“增”或“減” )6.橢圓x2y 22 0 的最大距離是 _。 1 上的點(diǎn)到直線 x2y164A. 3B.11C.10D. 22【簡解】 1 小題：設(shè) 2 x 3 y 5 z t ，分別取2、 3、5 為底的對數(shù)，解出x、y、 z，再用“比較法”比較2x、 3y、 5z，得出 3y<2x<5z ；2 小題：（理） A(-2,3)為 t 0 時(shí)，所求點(diǎn)為 t ±2 時(shí)，即 (-4,5) 或(0,1) ；（文）已知曲線為橢圓，c 11，所以e12k ；a 1kkk3 小題：設(shè) z b，則 C 1 b 2 2，所以圖像為：從(1,2) 出

4、發(fā)平行于x 軸向右的射線；1114 小題：設(shè)三條側(cè)棱x、y、z，則xy 6、yz 4、xz 3, 所以 xyz 24, 體積為 4。2225 小題： f(0) 0， f(0) f(x) f(-x)，所以 f(x)是奇函數(shù)，答案：減；優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載|4 sin4 cos2|6 小題：設(shè)x 4sin 、 y 2cos ，再求 d的最大值，選C。5、示范性題組：例1.實(shí)數(shù) a、b、 c 滿足 a bc 1，求 a 2 b 2 c 2 的最小值。1【分析】由a b c1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)a t 1 ，3b1 t2， c1 t3，代入 a 2 b 2 c 2 可求。33

5、【解】由 a b c1，設(shè) a 1 t1，b 1 t2 ，c 1 t3 ，其中 t 1 t 2 t 3 0，333 a 2 b 2 c 2 （ 1 t 1 ） 2 （ 1 t 2 ） 2 (1 t3 )2 1 2 (t1 t 2 t 3 )33333t 1 2 t 22 t3 2 1 t 1 2 t2 2 t32133所以 a 2 b 2 c 2 的最小值是1 。3【注】由“均值換元法”引入了三個(gè)參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進(jìn)行了簡化，是本題此種解法的一個(gè)技巧。本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法” 進(jìn)行求解， 解法是： a 2 b 2 c 2 (a b c) 2 2(ab bc ac) 1

6、2(a 2 b 2 c 2 ) ，即 a 2 b 2 c 2 1 。3兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強(qiáng)，多次練習(xí)，可以提高我們的代數(shù)變形能力。x2y 21例2. 橢圓16 1 上有兩點(diǎn) P、 Q，O為原點(diǎn)。連 OP、 OQ，若 k OP · k OQ ，44求證： |OP| 2 |OQ| 2 等于定值； . 求線段 PQ中點(diǎn) M的軌跡方程。x4cos【分析】由“換元法”引入新的參數(shù)，即設(shè)（橢圓參數(shù)方程），參數(shù)y2sin 1 、 2 為 P、Q兩點(diǎn)，先計(jì)算 k OP ·k OQ 得出一個(gè)結(jié)論，再計(jì)算|OP| 2 |OQ| 2 ，并運(yùn)用“參數(shù)法”求中點(diǎn)M的坐標(biāo)，消參而得?！窘狻?/p>

7、由 x22x4 cos y，P(4cos ,2sin) ，Q(4cos ,2sin ),1，設(shè)122164y2 nsi12sin則 k OP ·k OQ 4 cos112 sin 2 1，整理得到：4 cos 24cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 0, 即 cos （ 1 2 ） 0。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 |OP|2 |OQ|2 16cos2 4sin2 16cos 2 2 4sin 22 8 12(cos 2111 cos 2 2 ) 20 6（ cos2 1 cos2 2 ) 20 12cos （ 1 2 ） cos（ 1 2 ）20，即|OP| 2 |OQ| 2

8、等于定值 20。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段PQ的中點(diǎn) M的坐標(biāo)為xM2(cos1cos2 ) ，yMsin 1sin2所以有 (x )2 y 2 2 2(cos 1 cos 2 sin 1sin 2 ) 2,2即所求線段 PQ的中點(diǎn) M的軌跡方程為x2y21。82【注】由橢圓方程，聯(lián)想到a 2 b 2 1, 于是進(jìn)行“三角換元”，通過換元引入新的參數(shù)，轉(zhuǎn)化成為三角問題進(jìn)行研究。本題還要求能夠熟練使用三角公式和“平方法”，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M 點(diǎn)的坐標(biāo)后，將所得方程組稍作變形，再平方相加，即（cos 1 cos 2 ） 2 （ sin 1 sin 2 ） 2 ，這是求點(diǎn)M 軌跡方程“消參法”的關(guān)鍵

9、一步。一般地，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程運(yùn)用“參數(shù)法”時(shí)，我們可以將點(diǎn)的x、 y 坐標(biāo)分別表示成為一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)的函數(shù)，再運(yùn)用“消去法”消去所含的參數(shù)，即得到了所求的軌跡方程。本題的第一問，另一種思路是設(shè)直線斜率k，解出 P、 Q兩點(diǎn)坐標(biāo)再求：設(shè)直線 OP的斜率 k，則 OQ的斜率為1 ，由橢圓與直線OP、OQ相交于 PQ兩點(diǎn)有：4kx 24 y21602 16, 即 |xP | 4ykx，消 y 得 (1 4k 2 )x；14k 2x 24 y 2160|8k| 2y1x，消 y 得 (1 12 )x 2 16，即 |x Q | ；4k4k14k所以 |OP|2 |OQ|2 (1k 24) 2（11|

10、8k|） 214k 216k 214k 22080k 22 |OQ| 2 等于定值 20。4k 2 20。即 |OP|1在此解法中，利用了直線上兩點(diǎn)之間的距離公式|AB| 1k AB2|x A x B | 求 |OP|和|OQ| 的長。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載例 3. 已知正四棱錐S ABCD的側(cè)面與底面的夾角為，相鄰兩側(cè)面的夾角為 , 求證： cos =-cos 2 。【分析】要證明cos =-cos 2 ，考慮求出 、 的余弦，則在 和 所在的三角形中利用有關(guān)定理求解?！窘狻窟B AC、BD交于 O，連 SO；取 BC中點(diǎn) F，連 SF、OF；作 BE SC于 E，連 DE。則 SFO ， DE

11、B 。設(shè) BC a ( 為參數(shù) ) ， 則 SFOFa,cos 2cos SEDCO FABSCSF2FC2 (a)2( a )22 cos2a1cos2 2cos ·BCa21a又 BESFSC2 cosacos21cos212 cos2BE 2BD 221a 22a 2在 DEB 中，由余弦定理有：cos2 cos2cos 2a22BE21 cos2。所以 cos cos 2 。【注】設(shè)參數(shù) a 而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計(jì)算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個(gè)作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問題。、鞏固性題組：1. 已 知 復(fù) 數(shù) z 滿 足 |z| 1 ， 則 復(fù) 數(shù) z 2 在 復(fù) 平 面 上 表 示 的 點(diǎn) 的 軌 跡 是_ 。2. 函數(shù) yx 2 1 4x x2 的值域是 _ 。3. 拋物線 y x 2 10xcos 25 3sin 25sin 2 與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)距離的最大值為_A. 5B.10 C.23 D.34. 過點(diǎn) M(0,1) 作直線 L，使它與兩已知直線 L 1 ：x 3y 100 及 L 2 ：2x y 80 所截得的線段被點(diǎn) P 平分，求直線 L 方程。5. 求半徑為 R 的球的內(nèi)接圓錐的最大體積。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載6.f(x) (1 a cos 2 x)sinx ， x0,2