19坐標(biāo)系與參數(shù)方程理含解析20190809467

1、專題19坐標(biāo)系與參數(shù)方程141 .【2019年高考北京卷理數(shù)】已知直線l的參數(shù)方程為1 3t,2 4t（t為參數(shù)），則點(diǎn)（1, 0）到直線l的距離是2B.5C.D. 65【解析】由題意，可將直線l化為普通方程：土 L2,即4 x 1343 y 20,即 4x 3y 2 0,所以點(diǎn)（1,0）到直線l的距離d|4 0 2|= 42=3廣6一,故選D.5【名師點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化, 點(diǎn)到直線的距離，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算能力的考查.2.【2018年高考北京卷理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，直線cos sin a(a 0)與圓 =2cos 相切，則【答案】1.2【解析】圓p =

2、2cos 0即p2=2p cos 0 ,可以轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2x,即（x - 1） 2+y2=1;直線p （cos 0 +sin 8） = a轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x+y - a= 0.由于直線和圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，所以1- 1,解得a=1土應(yīng).因?yàn)閍>0,所以負(fù)值舍去.故 a=1 72 .故答案為：1.2 .【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線與圓相切的充要條件的應(yīng) 用.首先把曲線和直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用圓心到直線的距離等于半徑求出結(jié)果.3 .【2017年局考北京卷理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓2

3、 2 cos 4 sin 4 0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1, 0），則| AP的最小值為.【答案】1【解析】將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程為x2 y2 2x 4y 4 0 ,整理為標(biāo)準(zhǔn)方程 x 1 2 y 2 2 1 ,所以圓心為C 1,2 ,又點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，所以AP的最小值就是PC r 2 1 1 .故答案為：1.【名師點(diǎn)睛】(1)熟練運(yùn)用互化公式：2 x2 y2,ysin ,x cos將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo);(2)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)時(shí)，可1 t1 t4t1 t2，(t為參數(shù)).以轉(zhuǎn)化為在直角坐標(biāo) 系的情境下進(jìn)行.x4 .【2019年高考全

4、國I卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l的極坐標(biāo)方程為2 cos33 sin 11 0.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.1(x1); l的直角坐標(biāo)方程為2x73y 11 0；【解析】(1)因?yàn)? t21 t2t21 t24t2匕上、十” 1,所以C勺直角坐標(biāo)方程為t222 y x 1(x41).l的直角坐標(biāo)方程為2x11(2)由(1)可設(shè)C勺參數(shù)方程為x cos , y 2sin為參數(shù),4cos1112cos 2 V 3sin 11|C±的點(diǎn)至1 l的距離為J尸L72圮時(shí)，4cos

5、-11取得最小值7,故C±的點(diǎn)到l距離的最小值為 萬33【名師點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、求解橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最 值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求 解問題.5.【2019年高考全國n卷理數(shù)】 在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M( 0, 0)( 0 0)在曲線C:4sin 上,直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為 P.(1)當(dāng)0二時(shí)，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動且P在線段OMk時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.【答案】(1) 0 2J3, l的極坐標(biāo)方程為cos 2；3(2) 4cos

6、,-,4 2【解析】(1)因?yàn)镸 0, 0在Ck,當(dāng)0 時(shí)，0 4sin -2n.33由已知得 |op | | oa | cos- 2 .3一|OP| 2, 3設(shè)、(,)為l上除P勺任意一點(diǎn).在 RtzXOPQ中，cos經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P(2,-)在曲線cos 2上.33所以，l的極坐標(biāo)方程為cos -2 .3(2)設(shè)P(,)，在 RtzXOAP 中，|OP| |OA|cos 4cos，即 4cos因?yàn)殛惥€段OMt,且AP OM ,故 的取值范圍是 一，一4 2所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為4cos ,-,-.4 2【名師點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程,與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.

7、6-【2019年高考全國出卷理數(shù)】如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0) , b(J2,), C(J2, )，D(2,),44弧Ab，？C，CD所在圓的圓心分別是(1,0), (1,-), (1,)，曲線M1是弧Ab，曲線m2是弧BC，曲線m 3是弧CD .(1)分別寫出Mi, M2, M3的極坐標(biāo)方程；(2)曲線M由Mi, M2, M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP| J3,求P的極坐標(biāo).【答案】(1) Mi的極坐標(biāo)方程為2 cos,M2的極坐標(biāo)方程為冗3冗3冗2sin ,M3的極坐標(biāo)方程為2cos 冗.444舊-或石,/或應(yīng)包或點(diǎn),巨,6336【解析】(1)由題設(shè)可得，弧 Ab, Bc,Cd所

8、在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos , 2sin2cos所以M 1的極坐標(biāo)方程為2cos 0冗冗3冗一，M2的極坐標(biāo)方程為2sin , M3444的極坐標(biāo)方程為2cos 三(2)設(shè)P(,),由題設(shè)及若 0 j，貝U 2cosu 3 冗右,則 2sin44若寧 冗，貝U 2cos(1)知73,解得 -；66解得；或 ?向，解得 2t.6綜上，p的極坐標(biāo)為 M, j或 J3,1或J3,2j或73,57【名師點(diǎn)睛】此題考查了極坐標(biāo)中過極點(diǎn)的圓的方程，思考量不高，運(yùn)算量不大，屬于中檔題.7.【2019年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A 3- , B J2,直線l的方程為 42（1）求A, B兩點(diǎn)間

9、的距離；（2）求點(diǎn) 由IJ直線l的距離.【答案】（1）褥；（2） 2.【解析】（1）設(shè)極點(diǎn)為O在 OA中，A （3, -） , B （ 舊 -）,由余弦定理，得AB=132 （揚(yáng)2 2 3 42 cos（- -） V52 4（2）因?yàn)橹本€1的方程為 sin（-） 3,4則直線1過點(diǎn)（3J2,-）,傾斜角為3.又B（加；）,所以點(diǎn)由恒線1的距離為（3J2 J2） sin（- -） 2. 242【名師點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.8.【2018年高考全國I卷理數(shù)】 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y k|x| 2 .以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，2_一一x軸正半軸為極軸

10、建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)萬程為 2cos 30.（1）求C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)，求 C1的方程.224【答案】（1） C2的直角坐標(biāo)萬程為（x 1）2 y 4. ； （2） C1的方程為y -|x| 2 .3【解析】（1）由x cos , y sin得C2的直角坐標(biāo)方程為（x 1）2 y2 4.（2）由（1）知C2是圓心為A（ 1,0）,半徑為2的圓.由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B（0,2）且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記 y軸右邊的射線為l1, y軸左邊的 射線為 l2.由于B在圓C2的外面，故Ci與C2有且僅有三個公共點(diǎn)等價(jià)于 1i與C2只有一個公共點(diǎn)且l2與C

11、2有 兩個公共點(diǎn)，或12與C2只有一個公共點(diǎn)且11與C2有兩個公共點(diǎn).| k 2|4當(dāng)1i與C2只有一個公共點(diǎn)時(shí)，A到1i所在直線白距離為2 ,所以 c 2 ,故k ,或k 0.k2 134經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k 0時(shí)，li與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，ll與C2只有一個公共點(diǎn)，12與C2有兩個公共3點(diǎn).|k 21c4當(dāng)12與C2只有一個公共點(diǎn)時(shí)，A到12所在直線的距離為2 ,所以2 ,故k 0或k -.,k2 134 ，一經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k 0時(shí)，li與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k 時(shí)，I2與C2沒有公共點(diǎn).34 綜上，所求Ci的方程為y |x| 2 .3_x 2cos 0,9.【2018年高考全國n卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)

12、系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（。為參數(shù)），y 4sin 0,、， x 1 t cos a, 直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）y 2 t sin a（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,求l的斜率.22【答案】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為 人 L 1, 1的直角坐標(biāo)方程為x 1； （2） 1的斜率為 2 41622【解析】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為土匕 1.416當(dāng)cos 0時(shí)，1的直角坐標(biāo)方程為 y tan x 2 tan當(dāng)cos 0時(shí)，1的直角坐標(biāo)方程為 x 1 .（2）將1的參數(shù)方程代入 C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于 t的方程22(1 3co

13、s )t 4(2cos sin )t 8 0 .因?yàn)榍€C截直線1所得線段的中點(diǎn)（1,2）在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為t1,t2,則t1t20.又由得t, t242cos2sln1，故2cos sin 0 ,于是直線1的斜率k tan 2 .1 3cos_. 、 . 一. x cos . 一 .10.【2018年局考全國出卷理數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，。的參數(shù)萬程為（為參數(shù)），y sin過點(diǎn)0 , 而 且傾斜角為的直線1與OO交于A , B兩點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.的取值范圍是（一，一4 4).；x（2）點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù)，4【解析】（1）當(dāng)

14、一時(shí),2Mincos 2eO的直角坐標(biāo)方程為l與e O交于兩點(diǎn).當(dāng) 一時(shí)，記tan2綜上，的取值范圍是y kx(一, 一)或 (一，).4 22 4x t cos ,(2) l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),y 2 tsin設(shè)A, B, P對應(yīng)的參數(shù)分別為是 tA tB 2應(yīng)sin , tp所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是J2. l與e O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)5匕，且tA, tB滿足t22J2sin .又點(diǎn)P的坐標(biāo)x(x, y)滿足ytP cos2-2 sin 2 ,2、, 22。cos2 22為參數(shù)，一4【2018年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為花sin(一 62,4cos ,求直線l被曲線C

15、截得的弦長.【答案】直線l被曲線C截得的弦長為2 3.【解析】因?yàn)榍€ C的極坐標(biāo)方程為=4cos ,所以曲線C的圓心為（2, 0）,直徑為4的圓.1K1 1'2.2tsin 1tP sin .曲線C的方程為因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為 sin（6)2,則直線l過A (4, 0),傾斜角為6所以A為直線l與圓C的一個交點(diǎn).一一 、.-冗設(shè)另一個交點(diǎn)為B,則/ OA=.6連結(jié)OB因?yàn)镺A為直徑，從而/ OBA2所以 AB 4cos - 2 73 . 6因此，直線l被曲線C截得的弦長為2M.x 3cos12.【2017年高考全國I卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x 3cos ,

16、 (0為參數(shù))，y sin ,_x a 4t直線l的參數(shù)方程為x a <t為參數(shù)).y 1 t,(1)若a 1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為 折，求a .21 24【答案】(1) (3,0) ,(一,一)； (2) a25 252【解析】(1)曲線C的普通方程為 y291時(shí)，直線l的普通方程為x4y 30.x由x24y 3 0,解得y2 13，或0212524. 25從而c與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，21 2425, 25(2)直線l的普通方程為x 4ya 4 0,故C上的點(diǎn)(3cos ,sin )至11 l的距離為,13cos 4sin a 417萬, ,一一

17、 a 9當(dāng)a 4時(shí)，d的最大值為a二-17 a 9 一由題設(shè)得屈，所以a 8 ； ,17當(dāng)a4時(shí)，d的最大值為之.,17由題設(shè)得名折，所以a 16 . “17綜上，a 8或a 16 .【名師點(diǎn)睛】本題為選修內(nèi)容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點(diǎn)到一條直線的距離的最大值，直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出橢圓上的點(diǎn)到直線的距離，利用三角有界性確認(rèn)最值，進(jìn)而求得參數(shù)a的值.13.【2017年高考全國n卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為cos 4 .（1） M為曲線C1上

18、的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM匕 且滿足|OM | |OP| 16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,），點(diǎn)B在曲線C2上，求4OAB面積的最大值.32 o【答案】（1） x 2 y2 4x0；【解析】（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為（，）（(2) 2 60) , M的極坐標(biāo)為(1, ) ( 1 0),4由題設(shè)知OP = , OM =1=cos由OM OP 16得C2的極坐標(biāo)方程4cos （0）.22因此C2的直角坐標(biāo)方程為x 2 y 4x0（2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為B, B 0 ,由題設(shè)知OA 2, B4cos于是OAB的面積14.OAB sin AOB 4cos | sin()| 2|

19、sin(2) 蟲 | 2 .3.332一時(shí)，S取得最大值2 J3,所以ZXOAB面積的最大值為2 J3. 12【名師點(diǎn)睛】本題考 查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用。重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時(shí)，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.解題時(shí)要結(jié)合題目自身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.【2017年高考全國出卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線Ii的參數(shù)方程為 xy2+t,t, (t為參數(shù))，直kt,x 2線l 2的參數(shù)方程為 m y Im,(m為參數(shù)).設(shè)Ii與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3:cos sinJ2與C的交點(diǎn)，求M的極徑.【答案】(1) x2 y2 4 y 0 ;(2)正【解析】(1)消去參數(shù)t得li的普通方程ii ：y；消