泰勒級數(shù)與冪級數(shù)上PPT課件

1、2.收斂點(diǎn)與收斂域例如： nxxx21是公比為x的等比級數(shù)如果 ，常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 收斂, 則稱 為級數(shù) 的收斂點(diǎn)，否則稱為發(fā)散點(diǎn).函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域.Ix 0 10)(nnxu0 x)(1xunn )(1xunn 當(dāng) 時(shí)，收斂；1 x收斂域：)1 , 1( 當(dāng) 時(shí)，發(fā)散；1 x發(fā)散域：), 1 1,( 第1頁/共34頁)()(limxsxsnn 則則余項(xiàng))()()(xsxsxRnn 3.和函數(shù)若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和),(xsn例如：在收斂域：)1 , 1( 其和函數(shù)為：xxS 11)(注意：級數(shù)的收斂域未必等于和函數(shù)的定義域0)(lim xRnn,1

2、20 xxxnn級數(shù)級數(shù)在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是 的函數(shù) ，稱 為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)。x)(xs)(xs第2頁/共34頁2.1、定義 (x-x0) 的冪級數(shù):x的冪級數(shù):的級數(shù)。的級數(shù)。形如形如 00)(nnnxxa其中 為冪級數(shù)系數(shù).na,)1()1(1)1(20 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù);,11收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;,11發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x);2 , 0(收收斂斂域域);, 20 ,( 發(fā)發(fā)散散域域稱為x1的冪級數(shù) 000nnnxax時(shí)，冪級數(shù)時(shí)，冪級數(shù)由于收斂域與發(fā)散域互補(bǔ),下面只研究收斂域.第3頁/共34頁2.2、冪級數(shù)的斂散性特點(diǎn)定理2此時(shí)冪級數(shù)的收斂區(qū)間有以下四種可能：),

3、(RR ),RR ,(RR .,RR 如果冪級數(shù) 不是僅在 一點(diǎn)收斂,也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確定的正數(shù) 存在,它具有下列性質(zhì): 0nnnxa0 xR當(dāng) 時(shí),冪級數(shù)絕對收斂;當(dāng) 時(shí),冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng) 時(shí),冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.Rx Rx RxRx 與與第4頁/共34頁定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間., 0 R規(guī)定, R收斂區(qū)間收斂區(qū)間0 x;收斂區(qū)間收斂區(qū)間),(. 問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?(1) 冪級數(shù)只在冪級數(shù)只在0 x處收斂處收斂, (2) (2) 冪級數(shù)對一切冪級數(shù)對一切 x都收斂都收斂, , 要求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，關(guān)鍵求實(shí)

4、數(shù)R2.3、冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間第5頁/共34頁定理3 如果冪級數(shù) 的所有系數(shù) , 設(shè) （或 ） （1）則當(dāng) 時(shí)， ； （2）當(dāng) 時(shí)， ； （3）當(dāng) 時(shí)， 。 0nnnxa0 na nnnaa1lim nnnalim0 1 R0 R 0 R第6頁/共34頁解：13nna 所以收斂半徑 R=3例1. 求 的收斂半徑nnx 031limlim1/33nnnnnna 根據(jù)系數(shù)的表達(dá)式，也可以31 nnnaa1lim 133lim nnn第7頁/共34頁例2 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn

5、解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散故收斂區(qū)間是故收斂區(qū)間是1 , 1( .第8頁/共34頁nnnaa1lim nnnnn1)1(lim nnnn)11)(1(lim 級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂, 0 R;)()2(1 nnnx, Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 收收斂斂區(qū)區(qū)間間),( . ;!)3(1 nnnx 第9頁/共34頁nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,21收斂收斂 tnnnnxn)21(2)1()4(1 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

6、x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為是發(fā)散的是收斂的故收斂區(qū)間為(0,1.,)1 ,0(級數(shù)收斂xnnnntn2)1(1 ,2121收斂收斂即即 x第10頁/共34頁定理3 如果冪級數(shù) 的所有系數(shù) , 設(shè) （或 ） （1）則當(dāng) 時(shí)， ； （2）當(dāng) 時(shí)， ； （3）當(dāng) 時(shí)， 。 0nnnxa0 na nnnaa1lim nnnalim0 1 R0 R 0 R注意：如果冪級數(shù) 中奇次項(xiàng)或偶次項(xiàng)系數(shù)為零，則不能利用該定理確定收斂半徑。 0nnnxa第11頁/共34頁解： 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項(xiàng)應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法)()(li

7、m1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 221x 級數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x例3 求冪級數(shù) 的收斂域. 1122nnnx第12頁/共34頁, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x級數(shù)發(fā)散,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)?.2, 2( 102nu 不不為什么？第13頁/共34頁解：tx 2)32(令令 0)1(nnnt得得時(shí)時(shí)，級級數(shù)數(shù)收收斂斂；當(dāng)當(dāng)1 t原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂；時(shí)時(shí)，所所以以，當(dāng)當(dāng)121321 xx .12 ，所所求求收收斂斂域域?yàn)闉闀r(shí)時(shí)，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散；當(dāng)當(dāng)1 t

8、.)32()1(02的收斂域的收斂域求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnx例4練習(xí)： 收斂區(qū)間為-2,2, (-2,2), (-2,2, -2,2)nnxn 121 2,2) 第14頁/共34頁注意: 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間,通常先求級數(shù)的收斂半徑得到級數(shù)絕對收斂的一個(gè)開區(qū)間；求收斂半徑的方法：比(根)值法、系數(shù)法(局限性)然后判斷級數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的斂散性(數(shù)項(xiàng)級數(shù))最后得到收斂區(qū)間第15頁/共34頁解:nnnnxu3 該級數(shù)的一般項(xiàng)為該級數(shù)的一般項(xiàng)為nnnaa1lim nnnnn313)1(1lim1 31 級數(shù)發(fā)散.,3時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x例5 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間. 3322333231xxx13)1(3

9、lim nnnnn31 R收斂半徑為收斂半徑為,11 nn級數(shù)化為級數(shù)化為級數(shù)收斂.,3時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,1)1(1 nnn級數(shù)化為級數(shù)化為所所求求收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為)33， 第16頁/共34頁解:tx 13令令nnnaa1lim 1lim nnn1 收斂.,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t例6 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 11)13()1(nnnnx1 R,1)1(*)11 nnn化為化為發(fā)散.,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t,1(*)1 nn化為化為032(，原原級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 11)1(nnnnt則級數(shù)化為則級數(shù)化為(*)對于(*)1131 x即即11(*)，的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 032 x得得第17頁/共

10、34頁3.1、和函數(shù)x 11 nnnxxxxx3201)( )(0IxxSxannn )1 , 1( x在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是 的函數(shù) ，稱 為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)。x)(xs)(xs)11( x 01nnnx）（x 11第18頁/共34頁 00nnnnnnxbxa 0)(nnnnxba 21,minRRR RRx, 則則和和各為各為的收斂半徑的收斂半徑和和設(shè)設(shè), 00)()(210201 RRxbxSxaxSnnnnnn3.2、和函數(shù)的可加性)()(21xSxS 其中的收斂半徑為 0)(nnnnxba第19頁/共34頁;110 xxnn 如：如：收斂區(qū)間為（-1,1）內(nèi)是連續(xù)的。）內(nèi)是連

11、續(xù)的。，在（在（顯然和函數(shù)顯然和函數(shù)1111 x3.3、和函數(shù)的連續(xù)性 0)(nnnxaxS)(xS),(RR 如果冪級數(shù)內(nèi),它的和函數(shù)則在收斂區(qū)間是連續(xù)函數(shù),在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).的收斂半徑為R第20頁/共34頁 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變。）3.4、逐項(xiàng)可導(dǎo)性冪級數(shù)0nnnxa的和函數(shù))( xs在收斂區(qū)間 ),(RR內(nèi)可導(dǎo) , 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次. 第21頁/共34頁 xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變。）3.4、逐項(xiàng)可積性冪

12、級數(shù)0nnnxa的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間 ),(RR內(nèi)可積,且對),(RRx可逐項(xiàng)積分. 第22頁/共34頁上式兩邊積分得： xnnnxnxnnxdxxnxdxxdxx0010000)1ln(111)(于是)11()1ln(101 xxnxnn冪級數(shù)在逐項(xiàng)微分或積分后，收斂半徑不變，但是收斂區(qū)間可能改變。)11(110 xxxnn逐項(xiàng)積分后，收斂半徑?jīng)]變，收斂區(qū)間改變了。 1nnnx第23頁/共34頁由于我們已知收斂的幾何級數(shù)的求和公式，所以對于冪級數(shù)求和函數(shù)，總設(shè)法將級數(shù)的一般項(xiàng)轉(zhuǎn)化為幾何級數(shù)的通項(xiàng)，方法就是逐項(xiàng)積分或微分。1、求收斂半徑，并設(shè)其和函數(shù)為 S（x）2、求積分，使其轉(zhuǎn)化為幾何

13、級數(shù)，然后求和3、對 逐項(xiàng)求導(dǎo)，得到和函數(shù))(xs 11nnnx對dxxsx 0)(dxxsx 0)(4、考察原級數(shù)端點(diǎn)的斂散性，得收斂區(qū)間求和函數(shù)的方法第24頁/共34頁解：11limlim)1(1 nnaannnn 1 R例4 111.2,nnnnnnx的和的和數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)并求并求的收斂區(qū)間與和函數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù) 1,1nnx級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)闀r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)散; 1)1(,1nnnx級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)闀r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)散;故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為).1 , 1( 第25頁/共34頁解： nnnnxxxnxxS211321)()2(設(shè)設(shè)例4 111.2,nnnnnnx的和的和數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)

14、級數(shù)并求并求的收斂區(qū)間與和函數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù)上式求導(dǎo)：)1()( xxxS xnxdtntttdttS020)321()(xnttt02)( nxxx2xx 1) 11( )1 (12 xx)1 , 1( x第26頁/共34頁解：代代入入上上式式令令對對號號入入座座21)(3( x例4 111.2,nnnnnnx的和的和數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)并求并求的收斂區(qū)間與和函數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù)4)211(12211 nnn 1112212nnnnnn222111 nnn第27頁/共34頁解例 5 求級數(shù)11)1(nnnnx的和函數(shù).nnaannnn1)1(1limlim1

15、 111)1(,1nnnx級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)闀r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂; 1)1(,1nnx級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)闀r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)散;故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.1 , 1( 11lim nnn1 R第28頁/共34頁解1 , 1( ,)1()(11 xnxxsnnn設(shè)設(shè), 0)0( s顯然顯然兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x)1ln()0()(xsxs 即即例 5 求級數(shù)11)1(nnnnx的和函數(shù).).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs 第29頁/共34頁解：11212)1(1limlim)1( nnnnnnnnaa 例6.211的收斂區(qū)間與和函數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnnx 12,2nnx級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)闀r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)散; 12)1(,2nnnx級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)闀r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂;故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為).2 , 2 21)1(2lim nnn2 R第30頁/共34頁解：)2 , 2 ,2)()2(11 xnxxSnnn設(shè)設(shè)例6.211的收斂區(qū)間與和函數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnnx)2()(11 nnnnxxS 1112nnnx 11)2(nnx211x )22( 22 xx xdttxS022)(xt0)2ln