數(shù)學方法在物理中應用

1、數(shù)學方法在物理中的應用數(shù)學是解決物理問題的重要工具，借助數(shù)學方法可使一些復雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性，能達到打通關(guān)卡、長驅(qū)直入地解決問題的目的中學物理考試大綱中對學生應用數(shù)學方法解決物理問題的能力作出了明確的要求，要求考生有“應用數(shù)學處理物理問題”的能力對這一能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮所謂數(shù)學方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學語言表達出來，并進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預測可以說，任何物理問題的分析、處理過程，都是數(shù)學方法的運用過程本專題中所指的數(shù)學方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學歸納推理法、微元法、等差(比)數(shù)

2、列求和法等一、極值法數(shù)學中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等1利用三角函數(shù)求極值yacos bsin (cos sin )令sin ，cos 則有：y(sin cos cos sin )sin ()所以當時，y有最大值，且ymax2利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)：yax2bxca(x2x)ca(x)2(其中a、b、c為實常數(shù))，當x 時，有極值ym(若二次項系數(shù)a>0，y有極小值；若a<0，y有極大

3、值)3均值不等式對于兩個大于零的變量a、b，若其和ab為一定值p，則當ab時，其積ab取得極大值 ；對于三個大于零的變量a、b、c，若其和abc為一定值q，則當abc時，其積abc取得極大值 二、幾何法利用幾何方法求解物理問題時，常用到的有“對稱點的性質(zhì)”、“兩點間直線距離最短”、“直角三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性”等相關(guān)知識，如：帶電粒子在有界磁場中的運動類問題，物體的變力分析時經(jīng)常要用到相似三角形法、作圖法等與圓有關(guān)的幾何知識在力學部分和電學部分的解題中均有應用，尤其在帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動類問題中應用最多，此類問題的難點往往在圓心與半徑

4、的確定上，確定方法有以下幾種1依切線的性質(zhì)確定從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對應的切點，過切點作切線的垂線，兩條垂線的交點為圓心，圓心與切點的連線為半徑2依垂徑定理(垂直于弦的直徑平分該弦，且平分弦所對的弧)和相交弦定理(如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項)確定如圖1所示圖1由EB2CE·EDCE·(2RCE)得：R也可由勾股定理得：R2(RCE)2EB2解得：R以上兩種求半徑的方法常用于求解“帶電粒子在勻強磁場中的運動”這類習題中三、圖象法中學物理中一些比較抽象的習題常較難求解，若能與數(shù)學圖形相結(jié)合，再恰當?shù)匾胛锢韴D象，則可變抽象為

5、形象，突破難點、疑點，使解題過程大大簡化圖象法是歷年高考的熱點，因而在復習中要密切關(guān)注圖象，掌握圖象的識別、繪制等方法1物理圖象的分類整個高中教材中有很多不同類型的圖象，按圖形形狀的不同可分為以下幾類(1)直線型：如勻速直線運動的s-t圖象、勻變速直線運動的v-t 圖象、定值電阻的U-I圖象等(2)正弦曲線型：如簡諧振動的xt圖象、簡諧波的y-x 圖象、正弦式交變電流的e-t圖象、正弦式振蕩電流的i-t 圖象及電荷量的q-t 圖象等下面我們對高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧，以期對物理圖象有個較為系統(tǒng)的認識和歸納圖象函數(shù)形式特例物理意義

6、0;yc勻速直線運動的vt圖象做勻速直線運動的質(zhì)點的速度是恒矢量 ykx勻速直線運動的st圖象初速度v00的勻加速直線運動的vt圖象(若v00，則縱截距不為零)純電阻電路的IU圖象表示物體的位移大小隨時間線性增大表示物體的速度大小隨時間線性增大表示純電阻電路中I隨導體兩端的電壓U線性增大 yakx勻減速直線運動的vt圖象閉合電路中的UI圖象(UEIr)表示物體的速度大小隨時間線性減小表示路端電壓隨電流的增大而減小 yxb·x(雙曲線函數(shù))由純電阻用電器組成的閉合電路的UR圖象(URrR)在垂直于勻強磁場的導軌上，自由導體棒在一恒定動力F的作用下做變加速運

7、動的vt圖象表示純電阻電路中電源的端電壓隨外電阻而非線性增大將達到穩(wěn)定速度vm ykx2(拋物線函數(shù))小燈泡消耗的實際功率與外加電壓的P-U 圖象位移與時間的s-t圖象(sat2)表示小燈泡消耗的實際功率隨電壓的增大而增大，且增大得越來越快表示位移隨時間的增大而增大，且增大得越來越快 xyc(雙曲線函數(shù))機械在額定功率下，其牽引力與速度的關(guān)系圖象(PFv)表示功率一定時，牽引力與速度成反比 yAsin t交流電的et圖象(eEmsin t)表示交流電隨時間變化的關(guān)系 2物理圖象的應用(1)利用圖象解題可使解題過程更簡化，思路

8、更清晰利用圖象法解題不僅思路清晰，而且在很多情況下可使解題過程得到簡化，起到比解析法更巧妙、更靈活的獨特效果甚至在有些情況下運用解析法可能無能為力，但是運用圖象法則會使你豁然開朗，如求解變力分析中的極值類問題等(2)利用圖象描述物理過程更直觀從物理圖象上可以比較直觀地觀察出物理過程的動態(tài)特征(3)利用物理圖象分析物理實驗運用圖象處理實驗數(shù)據(jù)是物理實驗中常用的一種方法，這是因為它除了具有簡明、直觀、便于比較和減少偶然誤差的特點外，還可以由圖象求解第三個相關(guān)物理量，尤其是無法從實驗中直接得到的結(jié)論3對圖象意義的理解(1)首先應明確所給的圖象是什么圖象，即認清圖象中比縱橫軸所代表的物理量及它們的“函

9、數(shù)關(guān)系”，特別是對那些圖形相似、容易混淆的圖象，更要注意區(qū)分例如振動圖象與波動圖象、運動學中的 st 圖象和vt圖象、電磁振蕩中的it圖象和qt圖象等(2)要注意理解圖象中的“點”、“線”、“斜率”、“截距”、“面積”的物理意義點：圖線上的每一個點對應研究對象的一個狀態(tài)要特別注意“起點”、“終點”、“拐點”、“交點”，它們往往對應著一個特殊狀態(tài)如有的速度圖象中，拐點可能表示速度由增大(減小)變?yōu)闇p小(增大)，即加速度的方向發(fā)生變化的時刻，而速度圖線與時間軸的交點則代表速度的方向發(fā)生變化的時刻線：注意觀察圖線是直線、曲線還是折線等，從而弄清圖象所反映的兩個物理量之間的關(guān)系斜率

10、：表示縱橫坐標上兩物理量的比值常有一個重要的物理量與之對應，用于求解定量計算中所對應的物理量的大小以及定性分析變化的快慢如 vt 圖象的斜率表示加速度截距：表示縱橫坐標兩物理量在“邊界”條件下物理量的大小由此往往可得到一個很有意義的物理量如電源的UI圖象反映了UEIr的函數(shù)關(guān)系，兩截距點分別為(0，E)和面積：有些物理圖象的圖線與橫軸所圍的面積往往代表一個物理量的大小如vt圖象中面積表示位移4運用圖象解答物理問題的步驟(1)看清縱橫坐標分別表示的物理量(2)看圖象本身，識別兩物理量的變化趨勢，從而分析具體的物理過程(3)看兩相關(guān)量的變化范圍及給出的相關(guān)條件，明確圖線與坐標軸

11、的交點、圖線斜率、圖線與坐標軸圍成的“面積”的物理意義四、數(shù)學歸納法在解決某些物理過程中比較復雜的具體問題時，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的利用數(shù)學歸納法解題要注意書寫上的規(guī)范，以便找出其中的規(guī)律五、微元法利用微分思想的分析方法稱為微元法它是將研究對象(物體或物理過程)進行無限細分，再從中抽取某一微小單元進行討論，從而找出被研究對象的變化規(guī)律的一種思想方法微元法解題的思維過程如下(1)隔離選擇恰當?shù)奈⒃鳛檠芯繉ο笪⒃梢允且恍《尉€段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個小體積、小質(zhì)量或一小段時間等，但必須具有整體對象的基本特征(2)將

12、微元模型化(如視為點電荷、質(zhì)點、勻速直線運動、勻速轉(zhuǎn)動等)，并運用相關(guān)的物理規(guī)律求解這個微元與所求物體之間的關(guān)聯(lián)(3)將一個微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對各微元的求解結(jié)果進行疊加，以求得整體量的合理解答六、三角函數(shù)法三角函數(shù)反映了三角形的邊、角之間的關(guān)系，在物理解題中有較廣泛的應用例如：討論三個共點的平衡力組成的力的三角形時，常用正弦定理求力的大??；用函數(shù)的單調(diào)變化的臨界狀態(tài)來求取某個物理量的極值；用三角函數(shù)的“和積公式”將結(jié)論進行化簡等七、數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復性強的特點，但每一個重復過程均不是原來的完全

13、重復，而是一種變化了的重復隨著物理過程的重復，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化該類問題求解的基本思路為：(1)逐個分析開始的幾個物理過程；(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項公式(這是解題的關(guān)鍵)；(3)最后分析整個物理過程，應用數(shù)列特點和規(guī)律求解無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應的公式可用等差：Snna1d(d為公差)等比：Sn(q為公比)八、比例法比例計算法可以避開與解題無關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進行計算，使解題過程大為簡化應用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系，要清楚公式的物理意義和每個量在公式中的作用，以及所要討論的比例關(guān)系是否成立同時要注意以下幾點(1)比例條件是否滿足物理過程中的變量往往有多個，討論某兩個量間的比例關(guān)系時要注意只有其他量為常量時才能成比例(2)比例是否符合物理意義不能僅從數(shù)學關(guān)系來看物理公式中各量的比例關(guān)系，要注意每個物理量的意義(如不能根據(jù)R 認定電阻與電壓成正比)(3)比例是否存在討論某公式中兩個量的比例關(guān)系時，要注意其他量是否能認為是不變量如果該條件不成立，比例也不能成立(如在串聯(lián)電路中，不能認為P 中P與R成反比，因為R變化的同時，U也隨之變化而并非常量)許多物理量都是用比值法來定義的，常稱之為“比值定義”如密度，導體的電阻R，電容器的電容 C，接