2020年中考數(shù)學二輪沖刺核心重點第10講 垂直問題專題-2020年中考數(shù)學《二輪沖刺核心重點難點熱點15講》(全國通用)解析版（免費下載）

1、硬核：狙擊2020中考數(shù)學重點/難點/熱點一線三垂直如圖1：若，且，則如圖2：若，且，則 圖1 圖2射影定理如圖3/4：中，則有如下結論成立：（1） 三條直角邊看成竹竿，最長斜邊AB看成地面；（2） 三竹竿的平方等于各自的兩個地面影子之積；（3） 巧記：每條竹竿平方等于地面上的點出發(fā)的兩條線段之積.AC2=AD·ABCD2=DA·DBCB2=BD·BA 圖3 圖4構造“一線三直角”（1）如圖1/2/3：過的直角頂點，作一條直線，再分別過點A,C向其作垂線，垂足分別為點D、E，則截有結論成立： 圖1 圖2 圖3（2）在平面直角坐標系中，常常化斜為直，作“橫平豎直輔助

2、線”構造三角形相似，如圖4，當見到ABCD時，若過A、B、C、D四個頂點作“水平線”與“豎直線”，則有圖4（3）除上述“三垂直相似”外，如圖5，當見到矩形ABCD中，EFHG這種“十字架垂直”時，分別過E、H作“水平線”與“豎直線”，則有，若正方形，則相似變?yōu)槿?圖5【例題1】將矩形OABC如圖放置，O為原點，若點A的坐標是（1，2），點B的坐標是（2，），則點C的坐標是_.【解析】如圖：過點A作AEx軸于點E，過點B作BFx軸于點F，過點A作ANBF于點N，過點C作CMx軸于點M，EAO+AOE90°，AOE+MOC90°，EAOCOM，又AEOCMO，AEOCOM，B

3、AN+OAN90°，EAO+OAN90°，BANEAOCOM，在ABN和OCM中，ABNOCM（AAS），BNCM，點A（1，2），點B的縱坐標是，BN，CM，MO3，點C的坐標是：（3，）【例題2】如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數(shù)y上，第二象限的點B在反比例函數(shù)y上，且OAOB，A30°，則k的值為【解析】過A作ANx軸于N，過B作BMx軸于M第一象限內的點A在反比例函數(shù)y的圖象上，設A（x，）（x0），ONAN1A30°，tanA，OAOB，BMOANOAOB90°，MBO+BOM90°，MOB+AON90°，MB

4、OAON，MBONOA，BMON，OMAN又第二象限的點B在反比例函數(shù)y上，kOMBMON×AN故答案為【例題3】如圖，RtABC中，C90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC，OC，則另一直角邊BC的長為【解析】過點O作OMCA，交CA的延長線于點M，作ONBC于點N四邊形ABCD是正方形，OAOB，AOB90°，MONAOB90°，AOMBON，在AOM和BON中，OMAONB，OMON，MANBO點在ACB的平分線上，OCM為等腰直角三角形法2：過點D作CB延長線的垂線，垂足為F，連接OF，構造一線三直

5、角計算。OC，CMON1MACMAC1，BCCN+NB1+故答案為：【例題4】在平面直角坐標系中，點A（1,3）B（2，-1），在一次函數(shù)的圖像上是否存在點P，使得APB=90°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】兩種解法，答案為或【例題5】如圖，RtABC中，ACB90°，AC6cm，BC8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0t2），連接PQ（1）若BPQ與ABC相似，求t的值；（2）連接AQ、CP，若AQCP，求t的值【解析】根據(jù)勾股定

6、理得：BA；（1）分兩種情況討論：當BPQBAC時，BP5t，QC4t，AB10，BC8，解得，t1，當BPQBCA時，解得，t；t1或時，BPQBCA；（2）過P作PMBC于點M，AQ，CP交于點N，如圖所示：則PB5t，PM3t，MC84t，NAC+NCA90°，PCM+NCA90°，NACPCM，ACQPMC，ACQCMP，解得t1. 如圖，拋物線y與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A、點B、點C的坐標；（2）求直線BD的解析式；（3）當點P在線段

7、OB上運動時，直線l交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；（4）在點P的運動過程中，是否存在點Q，使BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由【解析】（1）令x0得；y2，C（0，2）令y0得：0，解得：x11，x24A（1，0），B（4，0）（2）點C與點D關于x軸對稱，D（0，2）設直線BD的解析式為ykx2將（4，0）代入得：4k20，k直線BD的解析式為yx2（3）如圖1所示：QMDC，當QMCD時，四邊形CQMD是平行四邊形設點Q的坐標為（m，m2+m+2），則M（m，m2），m2+m+2（m2）4，解得：m2，m0（不合題

8、意，舍去），當m2時，四邊形CQMD是平行四邊形；（4）存在，設點Q的坐標為（m，m2+m+2），BDQ是以BD為直角邊的直角三角形，當QBD90°時，由勾股定理得：BQ2+BD2DQ2，即（m4）2+（m2+m+2）2+20m2+（m2+m+2+2）2，解得：m3，m4（不合題意，舍去），Q（3，2）；當QDB90°時，由勾股定理得：BQ2BD2+DQ2，即（m4）2+（m2+m+2）220+m2+（m2+m+2+2）2，解得：m8，m1，Q（8，18），（1，0），綜上所述：點Q的坐標為（3，2），（8，18），（1，0）2. 如圖1，對稱軸為直線x的拋物線經過B（2，

9、0）、C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第一象限內拋物線上的一點，設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由【解析】（1）由對稱性得：A（1，0），設拋物線的解析式為：ya（x+1）（x2），把C（0，4）代入：42a，a2，y2（x+1）（x2），拋物線的解析式為：y2x2+2x+4；（2）如圖1，設點P（m，2m2+2m+4），過P作PDx軸，垂足為D，SS梯形+SPDBm（2m2+2m+4+4

10、）+（2m2+2m+4）（2m），S2m2+4m+42（m1）2+6，20，S有最大值，則S大6；（3）存在這樣的點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形，理由是：分以下兩種情況：當BQM90°時，如圖2：CMQ90°，只能CMMQ設直線BC的解析式為：ykx+b（k0），把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直線BC的解析式為：y2x+4，設M（m，2m+4），則MQ2m+4，OQm，BQ2m，在RtOBC中，BC2，MQOC，BMQBCO，即，BM（2m）2m，CMBCBM2（2m）m，CMMQ，2m+4m，m48Q（48，0）解法一：當QMB90

11、6;時，如圖3，由得：QMCMm，BM2m，QMBCOB，m，QB，OQ2，Q（，0）解法二：當QMB90°時，如圖4，過M作MFOB于F，由得：QMCMm，設Q（n，0），則QFmn，MF2m+4，MQFBCO，Q（，0）綜上所述，Q點坐標為（48，0）或（，0）3. 如圖，在RtABC中，ACB90°，ACBC，ABC45°，點D為BC的中點，CEAD于點E，其延長線交AB于點F，連接DF求證：ADCBDF【解析】證明：作BGCB，交CF的延長線于點G，如圖所示：CBG90°，CFAD，CAD+ADCBCG+ADC90°，CADBCG，在A

12、CD和CBG中，ACDCBG（ASA），CDBG，CDACGB，CDBD，BGBD，ABC45°，F(xiàn)BDGBFCBG，在BFG和BFD中，BFGBFD（SAS），F(xiàn)GBFDB，ADCBDF4. 如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，4）在y軸上，點B（b，0）是x軸上一動點，且4b0，ABC是以AB為直角邊，B為直角頂點的等腰直角三角形（1）求點C的坐標（用含b的式子表示）；（2）以x軸為對稱軸，作點C的對稱點C，連接BC、AC，請把圖形補充完整，并求出ABC的面積（用含b的式子表示）；（3）點B在運動過程中，OAC的度數(shù)是否發(fā)生變化，若變化請說明理由；若不變化，請直接寫出OAC的度數(shù)

13、 【解析】（1）如圖，過點C作CEx軸，垂足為E，ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABC90°，ABE+CBE90°，CBE+BCE90°，ABEBCE，且ABBC，AOBBEC90°，ABOBCE（AAS）BOCE，AOBE，點A（0，4），點B（b，0），且4b0，BEOA4，BOECb，OE4+b點C坐標（4+b，b）（2）根據(jù)題意畫出圖形，如下圖，點C與點C'關于x軸對稱，點C'（4+b，b），C'Cx軸，SABC'SABO+S梯形AOEC'SBEC'×（b）×4+×

14、（4b）（4+b）×4×（b），SABC'8b2，（3）點B在運動過程中，OAC的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：如圖，過點A作AFEC'，垂足為F，AFEC'，EC'BE，AOOE，四邊形AOEF是矩形，AOEF4，OEAF4+b，C'FEFEC'4（b）4+b，AFC'F，且AFE90°，F(xiàn)AC'45°，且OAF90°，OAC'45°5. 如圖，ACB為等腰直角三角形，A（1，0），C（1，3），ACBC，求B點坐標 【解析】如圖，過點C作直線lx軸，作AEl于E，

15、BFl于FACB是等腰直角三角形，ACBC，AECACBBFC90°，ACE+EAC90°，ACE+BCF90°，EACBCF，AECCFB，AECF3，BFEC2，B（4，1）6. 在正方形ABCD中，點H，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CD上，AEHF于點G（1）如圖1，求證：AEHF；（2）如圖2，延長FH，交CB的延長線于M，連接AC，交HF于N若MBBE，EC2BE，求的值；（3）如圖3，若AB2，BHDF，將線段HF繞點F順時針旋轉90°至線段MF，連接AM，則線段AM的最小值為（直接寫出結果）【解析】（1）證明：如圖1中，作HMCD于M四邊形A

16、BC都是正方形，BCCMH90°，ABBC，四邊形BCMH是矩形，HMBCAB，AEHF，AGHAHM90°，BAE+AHG90°，AHG+FHM90°，BAEFHM，BHMF90°，ABEHMF（ASA），AEHF（2）解：如圖2中，EC2BE，不妨設BEBMa，EC2a，則ABBCCD3a，CM4a，tanBAE，ABEMGE90°，BAE+AEB90°，M+AEB90°，MBAE，tan，BHa，CFa，AHABBH3aaa，CFAH，ANHCNF，2（3）解：如圖3中，延長BA到N，使得ANAD，作MJAN

17、于J，交CD的延長線于K，作FQAB于Q，則四邊形BCFQ，四邊形ADKJ都是矩形，F(xiàn)QHFKM（AAS）QKKM，DFAQBH，KJADAB，JMAQ+BH2AQ，F(xiàn)KFQJQADAN，AQJN，JM2JN，tanN2，點M的運動軌跡是射線NM，N是的定值，作APMN于P，根據(jù)垂線段最短可知：當AM與AP重合時，AM的值最小，tanN2，設NPx，AP2x，在RtAPN中，則有22x2+4x2，解得x（負根已經舍棄），PA2x，AM的最小值為7. （2019武漢模擬）（1）如圖1，已知DBBC，ACBC，垂足分別為點B，C，AECD于點F，求證：；（2）在ABC中，點D在AB上，點E在BC上

18、，且AECD于F點如圖2，若ACB90°，tanB，且AE2CD，求的值；如圖3，若ACB90°，tanB2，且AE2CD求的值【解析】（1）證明：DBBC，ACBC，BACE90°，AECD，A+ACD90°，ACD+DCB90°，ADCB，AECCDB，；（2）解：如圖2，過點D作DHBC于H，由（1）知，AECCDH，2，在RtBDE中，tanB，設BH3a，則DH5a，EC2DH10a，設HEb，則CHCE+HE10a+b，AC2CH20a+2b，在RtABC中，tanB，整理，得，b5a，CH15a，DHBC，ACBC，DHBACB9

19、0°，DHAC，5；如圖3，過點D作DMBC于M，過點A作ANBC于N，則ANECMD90°，AECD，F(xiàn)CE+FEC90°EAN+FEC90°，F(xiàn)CEEAN，AENCDM，2，在RtABN中，tanB2，CMBN，BMCN，設BMCNx，則DM2x，在RtDBM中，BDx，2，EN2DM4x，CEEN+CN5x，8. 已知在平面直角坐標中，點A（m，n）在第一象限內，ABOA且ABOA，反比例函數(shù)y的圖象經過點A，（1）當點B的坐標為（4，0）時（如圖），求這個反比例函數(shù)的解析式；（2）當點B在反比例函數(shù)y的圖象上，且在點A的右側時（如圖2），用含字母

20、m，n的代數(shù)式表示點B的坐標；（3）在第（2）小題的條件下，求的值【解析】（1）過A作ACOB，交x軸于點C，OAAB，OAB90°，AOB為等腰直角三角形，ACOCBCOB2，A（2，2），將x2，y2代入反比例解析式得：2，即k4，則反比例解析式為y；（2）過A作AEx軸，過B作BDAE，OAB90°，OAE+BAD90°，AOE+OAE90°，BADAOE，在AOE和BAD中，AOEBAD（AAS），AEBDn，OEADm，DEAEADnm，OE+BDm+n，則B（m+n，nm）；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到mn（m+n）（nm），整理得：

21、n2m2mn，即（）2+10，這里a1，b1，c1，1+45，A（m，n）在第一象限，m0，n0，則9. 如圖，直線ykx與雙曲線y交于A、B兩點，點C為第三象限內一點（1）若點A的坐標為（a，3），求a的值；（2）當k，且CACB，ACB90°時，求C點的坐標；（3）當ABC為等邊三角形時，點C的坐標為（m，n），試求m、n之間的關系式【解析】（1）由于點A在反比例函數(shù)圖象上，所以3，解得a2；（2）連接CO，作ADy軸于D點，作CE垂直y軸于E點，ACB90°，CACB，OCABOA，AOC90°AOD+COE90°，COE+OCE90°，

22、OCEDOA在ADO和OEC中ADOOEC，CEOD，OEAD由k時，yx，點A是直線 ykx與雙曲線y的交點，所以，解得x±2，y±3A點坐標為（2，3），CEOD3，EODA2，所以C（3，2）（3）連接CO，作ADy軸于D點，作CEy軸于E點，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)都是中心對稱圖形，它們都關于原點對稱，OAOB又ABC為等邊三角形，AOCBOC90°，AOD+DAO90°，COE+BOE90°，DOABOEDAOCOEADOOEC，由于ACO30°，tanACO因為C的坐標為（m，n），所以CEm，OEn，ADn，ODm，所以A

23、（n，m），代入y中，得mn1810.（2019揚州一模）有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角（1）在RtABC中，ACB90°，若A為智慧角，則B的度數(shù)為45°；（2）如圖，在ABC中，A45°，B30°，求證：ABC是智慧三角形；（3）如圖，ABC是智慧三角形，BC為智慧邊，B為智慧角，A（3，0），點B，C在函數(shù)y（x0）的圖象上，點C在點B的上方，且點B的縱坐標為當ABC是直角三角形時，求k的值【解析】（1）如圖1，在RtABC中，ACB90°，A是智慧角，ABAC，根據(jù)根據(jù)勾股定理

24、得，BCAC，BA45°，故答案為45°；（2）如圖2，過點C作CDAB于點D在RtACD中，A45°，ACDC在RtBCD中，B30°，BC2DCABC是智慧三角形（3）由題意可知ABC90°或BAC90°當ABC90°時，如圖3，過點B作BEx軸于點E，過點C作CFEB交EB延長線于點F，過點C作CGx軸于點G，則AEBFABC90°BCF+CBFABE+CBF90°BCFABEBCFABE設AEa，則BFaBE，CF2OGOA+AEGE3+a21+a，CGEF+a，B（3+a，），C（1+a，+a）點B，C在函數(shù)y（x0）的圖象上，（3+a）（1+a）（+a）k解得：a11，a22（舍去）k當BAC90°時，如圖4，過點C作CMx軸于點M，過點B作BNx軸于點N則CMACABANB90°MCA+CAMBAN+CAM90°MCABAN由（1）知B45°ABC是等腰直角三角形ACA