無窮遞縮等比數(shù)列各項和

1、 幾個基本數(shù)列的極限幾個基本數(shù)列的極限01limnn0lim,1nnqq時cccnlim,為常數(shù)引例:把無限循環(huán)小數(shù)0.333化為一個分?jǐn)?shù).定義定義:我們把我們把|q|1的無窮等比數(shù)列前的無窮等比數(shù)列前n的和的和Sn,當(dāng)當(dāng)n時的極限叫做無窮時的極限叫做無窮等比數(shù)列各項和等比數(shù)列各項和.11limlim(1)11nnnnaaSSqqq) 1( ,11qqaS注意：注意：（1 1）當(dāng)）當(dāng)|q|1|q|1無窮等比數(shù)列稱為無窮遞縮等無窮等比數(shù)列稱為無窮遞縮等 比數(shù)列，它的前比數(shù)列，它的前n n項和的極限才存在；項和的極限才存在； 當(dāng)當(dāng)|q|1|q|1無窮等比數(shù)列它的前無窮等比數(shù)列它的前n n項和的項和

2、的 極限是不存在的。極限是不存在的。（2 2）S S是表示無窮等比數(shù)列的所有項的和，是表示無窮等比數(shù)列的所有項的和， 這種無限個項的和與有限個項的和這種無限個項的和與有限個項的和 從意義上來說是把不一樣的，從意義上來說是把不一樣的，S S是前是前n n項項 和和S Sn n當(dāng)當(dāng)nn的極限，即的極限，即S= S= limnnS nnnSnqqaalim32111各項的和所有項的和項的和前求該數(shù)列的的等比數(shù)列，公比為是首項為21,211qa解：nnns211211211211limlim12nnnnSs 1.21814121. 1的所有項的和，求數(shù)列例n.1212. 2的各項的和，求無窮等比數(shù)列例

3、12, 1221aa解：1212q223223112S2223使用公式使用公式 要注意三個問題要注意三個問題: :（1 1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2 2）公比的絕對值小于）公比的絕對值小于1;1; (3) (3)前前n n項和與所有項和的關(guān)系項和與所有項和的關(guān)系: :11aSq 1lim1nnaSSq 700. 070 . 07 . 04007. 007. 07 . 03342 . 1283 . 01. 3把下列各數(shù)化為分?jǐn)?shù)例00000038. 0000038. 00038. 038. 083 . 0解：01. 0138. 09938000000243. 0000243.

4、 0243. 01342 . 199924313746007. 007. 07 . 097700. 070 . 07 . 09007907971011978170例例4 4. .設(shè)無窮等比數(shù)列所有奇數(shù)項設(shè)無窮等比數(shù)列所有奇數(shù)項之和為之和為1515，所有偶數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為- -3,3,求首項求首項a a1 1. .例例5.5.已知無窮等比數(shù)列的首項已知無窮等比數(shù)列的首項a a1 1等于后面的各項之和等于后面的各項之和k k倍倍, ,求求k k的取值范圍的取值范圍. .,01. 6lim1nnnnnnTNnSSTSnqq求，設(shè)為項的和的等比數(shù)列的前，公比為設(shè)首項為例 11q解：11li

5、mlimnnTnnn 12qqqSqqSnnnn11,1111nnnnnqqT111limlim1101qqq1101limqqqTnn練習(xí)練習(xí)1、等比數(shù)列的首項a1=-1,前項和為Sn,若 = ,則 等于 。2、等比數(shù)列 中,它的各項和S=1/4,求 首項a1的取值范圍。 105SS3132limnnSna與平面幾何（或其他知識）有關(guān)與平面幾何（或其他知識）有關(guān)的幾何量的求和問題：的幾何量的求和問題：問題可化歸為無窮等比數(shù)列各項的和，問題可化歸為無窮等比數(shù)列各項的和，其一般方法是：其一般方法是：（1）構(gòu)造這一系列的幾何量組成的數(shù)列）構(gòu)造這一系列的幾何量組成的數(shù)列a1，a2，a3，an，;（2

6、）先求出）先求出a1,并求出并求出an+1與與an之間的遞推之間的遞推關(guān)系，進(jìn)而證明數(shù)列關(guān)系，進(jìn)而證明數(shù)列an是等比數(shù)列，且是等比數(shù)列，且（3）利用）利用 求解。求解。10 qqSa11例例7、（課本（課本P46例例2）例例8、（課本（課本P48例例4 ）課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1、 P47 1、2、3 2、P481、2、3例7.在直角坐標(biāo)系中，一個粒子從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右前進(jìn)1個單位到點(diǎn)P1，接著向上前進(jìn)1/2單位到點(diǎn)P2，再向左前進(jìn)個1/4單位到點(diǎn)P3，又向下前進(jìn)1/8單位到點(diǎn)P4 ，以后的前進(jìn)方向按向右，向上，向左，向下的順序，每次前進(jìn)的距離為前一次前進(jìn)的距離的一半。這樣無限地繼續(xù)下去，求粒子到