數(shù)學(xué)物理方法 級數(shù)

1、數(shù)學(xué)物理方法2015.02第四章第四章 級數(shù)級數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)第三節(jié)第三節(jié) TaylorTaylor級數(shù)表示級數(shù)表示第四節(jié)第四節(jié) LaurentLaurent級數(shù)表示級數(shù)表示第五節(jié)第五節(jié) 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.02為什么要講級數(shù)？為什么要講級數(shù)？2x dxe一個積分一個實(shí)級數(shù)24682111xxxxx為什么要在復(fù)變函數(shù)中講級數(shù)？為什么要在復(fù)變函數(shù)中講級數(shù)？數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂與發(fā)散概念形如 的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中wn是復(fù)數(shù)。121

2、nnnwwww若 的前n項(xiàng)和 有極限（n）,則稱該級數(shù)收斂，且稱此極限值為該無窮級數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。1nnwnjjnwS1第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02收斂的充分必要條件絕對收斂與條件收斂設(shè) ，則級數(shù) 收斂的充分必要條件是 和 都收斂，其中un和 vn皆為實(shí)數(shù)。), 2 , 1(invuwnnn1nnw1nnu1nnv稱級數(shù) 是絕對收斂的，如果 是收斂的1nnw1|nnw稱級數(shù) 是條件收斂的，如果 是發(fā)散的，而 是收斂的1nnw1|nnw1nnw第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例考察級數(shù) 的斂散性1/11nnien考察級數(shù) 的斂散

3、性1nnz考察級數(shù) 的斂散性12) 1(nnnin第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念收斂與發(fā)散形如 的表達(dá)式被稱為復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中wn(z)是復(fù)變函數(shù)。121)()()()(nnnzwzwzwzw域收斂：點(diǎn)收斂：收斂稱之10)(nnzw收斂，zB，稱之1)(nnzw第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02收斂的充分必要條件級數(shù) 收斂的充分必要條件是 和 都收斂，其中), 2 , 1(),(i),()(nyxvyxuzwnnn)(1zwnn),(1yxunn),(1yxvnn第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法

4、2015.02一致收斂M判別法nkknnzwzSzSzf1)()(| )()(| 其中對于 ，稱它在B內(nèi)一致收斂于函數(shù)f(z)，如果0，N()，當(dāng)nN()時，有)(1zwnn1nnu( )nnw zu且收斂第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02性質(zhì)連續(xù)性級數(shù) 在B內(nèi)一致收斂，且wn(z)連續(xù)，則該級數(shù)在B內(nèi)連續(xù))(1zwnn可積性級數(shù) 在C上一致收斂，且wn(z)在C上連續(xù)，則)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02解析性級數(shù) 在B內(nèi)一致收斂f(z)，且wn(z)在B內(nèi)解析，則f(z)在B內(nèi)解析，且

5、)(1zwnn1)()()()(nknkzwzf第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)收斂半徑與收斂圓概念形如 的級數(shù)被稱為以z0為中心的冪級數(shù)，其中an是復(fù)變常數(shù)。10)(nnnzza若存在正數(shù)R，使得當(dāng)|z-z0|R時，級數(shù) 發(fā)散，則稱R為級數(shù) 的收斂半徑，其中|z-z0|R被稱為收斂圓。10)(nnnzza10)(nnnzza10)(nnnzza數(shù)學(xué)物理方法2015.02收斂半徑的求法nnnaR1lim1limnnnaaRDAlembert公式Cauchy (根式) 公式舉例求級數(shù) 的斂散半徑及收斂圓1nnz求級數(shù) 的斂散半徑及收斂圓12)

6、2(nnnz第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02內(nèi)閉一致收斂冪級數(shù)的性質(zhì)在收斂園內(nèi)冪級數(shù)具有連續(xù)性、可積性和解析性冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)內(nèi)閉一致收斂第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02Taylor定理定理設(shè)函數(shù) f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)解析，則對于圓內(nèi)任一點(diǎn)z，函數(shù)f(z)可寫成00)()(kkkzzazf)(!1)()(i210)(10zfkdzfakCkkR其中z0zCRCRRR第三節(jié)第三節(jié) Taylor級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例函數(shù) f(z)=ez 在z=0點(diǎn)的Taylor級數(shù)展開函數(shù) f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z

7、=0點(diǎn)的Taylor級數(shù)展開函數(shù) f(z)=Ln z 在z=1點(diǎn)的Taylor級數(shù)展開函數(shù) f(z)=(1+z)n 在z=0點(diǎn)的Taylor級數(shù)展開第三節(jié)第三節(jié) Taylor級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.02解析函數(shù)的一個等價(jià)命題解析函數(shù)的一個等價(jià)命題函數(shù) f(z)在B內(nèi)解析的充分必要條件為 f(z)在B內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成冪級數(shù)第三節(jié)第三節(jié) Taylor級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.02展成冪級數(shù)的幾種方法展成冪級數(shù)的幾種方法直接方法間接方法函數(shù) f(z)=arctan z 在z=0點(diǎn)的Taylor級數(shù)展開函數(shù) f(z)=sin z 在z=0點(diǎn)的Taylor級數(shù)展開函數(shù) f

8、(z)=1/(1-z)2 在z=0點(diǎn)的Taylor級數(shù)展開待定系數(shù)法函數(shù) f(z)=tan z 在z=0點(diǎn)的Taylor級數(shù)展開23411, 11zzzzzz 2311112!3!znezzzzn 第三節(jié)第三節(jié) Taylor級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.02問題的提出問題的提出已知結(jié)果：當(dāng) f(z)在圓|z-z0|R內(nèi)解析，Taylor定理告訴我們，f(z)必可展開成冪級數(shù)。問題是：當(dāng) f(z)在圓|z-z0|R2外收斂。如果R2R1，那么雙邊冪級數(shù)就在環(huán)狀域 R2|z-z0|R1 內(nèi)收斂，所以 R2|z-z0|R1給出了雙邊冪級數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對內(nèi)閉

9、一致收斂。第四節(jié)第四節(jié) Laurent級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.0200)(nnnzza正冪部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收斂環(huán)R2|z-z0|R110)(nnnzza負(fù)冪部分01zz 第四節(jié)第四節(jié) Laurent級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.02雙邊冪級數(shù)的性質(zhì)雙邊冪級數(shù)的性質(zhì)R2R1z0B定理設(shè)雙邊冪級數(shù) 的收斂環(huán)B為R2|z-z0|R1，則(1) 在B內(nèi)連續(xù)；(2) 在B內(nèi)解析，且于B內(nèi)可逐項(xiàng)可導(dǎo)；(3) 在B內(nèi)可逐項(xiàng)積分。nnnzza)(0nnnzzazf)()(0第四節(jié)第四節(jié) Laurent級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.0

10、2Laurent定理定理設(shè)函數(shù) f(z) 在環(huán)狀域 R2|z-z0|R1 的內(nèi)部單值解析，則對于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z， f(z)可展開成nnnzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21其中zCR1CR2R2R1z0C第四節(jié)第四節(jié) Laurent級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.02Laurent級數(shù)中的z0點(diǎn)可能是奇點(diǎn)，也可能不是奇點(diǎn)說明)(!10)(zfnannLaurent級數(shù)展開的唯一性收斂范圍的極限的確定第四節(jié)第四節(jié) Laurent級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例函數(shù) f(z)=sin z/z 在0|z| 內(nèi)的Laurent級數(shù)展開函數(shù) f(z)=1/(1-z2)

11、分別在1|z| 和 0|z-1|2內(nèi)的Laurent級數(shù)展開11-11|z|21-10|z-1|2第四節(jié)第四節(jié) Laurent級數(shù)表示級數(shù)表示數(shù)學(xué)物理方法2015.02概念概念若函數(shù) f(z) 在點(diǎn)z0處不可導(dǎo)，而在z0的某鄰域內(nèi)除z0外連續(xù)可導(dǎo)，則稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)；若在z0的無論多小的鄰域內(nèi)總可以找到z0以外的不可導(dǎo)點(diǎn)，則稱z0為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。舉例孤立奇點(diǎn)的例子2/111 , ,1zezz非孤立奇點(diǎn)的例子)/1sin(1z1 ,21 , ,0, ,21 ,1第五節(jié)第五節(jié) 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類數(shù)學(xué)物理方法2015.02孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)的Laurent級數(shù)展開級數(shù)展開

12、在區(qū)域 0|z-z0|R 內(nèi)的單值解析函數(shù) f(z) 可展開成nnnzzazf)()(0其中正冪部分00)(nnnzza是該級數(shù)的解析部分10)(nnnzza是該級數(shù)的主要部分負(fù)冪部分這里a-1具有特殊的作用，被稱為f(z)在點(diǎn)z=z0處的留數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類數(shù)學(xué)物理方法2015.02孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類可去奇點(diǎn)：主要部分不存在m階極點(diǎn)：主要部分有m項(xiàng)本性奇點(diǎn)：主要部分有無窮多項(xiàng)第五節(jié)第五節(jié) 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類數(shù)學(xué)物理方法2015.02孤立奇點(diǎn)的等價(jià)命題孤立奇點(diǎn)的等價(jià)命題內(nèi)有界在可去奇點(diǎn)|z-|0)(lim00zlzfzz)(lim )0()()(l

13、im 0)z ()(),()(1)(00000zfaazfzzzzzzzfmzzmzzm解析且階極點(diǎn)不存在且不為無窮本性奇點(diǎn))(lim0zfzz第五節(jié)第五節(jié) 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例zzzfsin)(22) 1)(1(2)(zzzzf232)(sin)2)(1()(zzzzfzzf1exp)(求下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并指出類型第五節(jié)第五節(jié) 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類數(shù)學(xué)物理方法2015.02二階常微分方程二階常微分方程22( )( )0ddp zq zdzdz如果如果p(z)和和q(z)在在z0點(diǎn)解析，則稱點(diǎn)解析，則稱z0點(diǎn)為方程點(diǎn)為方程的常點(diǎn)的常點(diǎn)如果如果p

14、(z)和和q(z)中至少有一個在中至少有一個在z0點(diǎn)不解析，點(diǎn)不解析，則稱則稱z0點(diǎn)為方程的奇點(diǎn)點(diǎn)為方程的奇點(diǎn)第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.02勒讓德方程勒讓德方程222(1)2(1)0ddzzl ldzdz有奇點(diǎn)為有奇點(diǎn)為 z=10110, 1kkkc zz第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.02222(1)2(1)0ddzzl ldzdz221210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkzk kc zzkc zl lc z22210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkkkkk kc zk kc zk

15、c zl lc z20210(2)(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkkkkkkczk kc zkc zl lc z020311222(1)62(1)(2)(1)(1)2(1)0kkkkkkcl lczccl lc zkkck kckcl lcz第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.02203122(1)062(1)0(2)(1)(1)(1)0, 2,3,kkcl lccl lckkck kl lck2(1)(1)()(1), 0,1,2,3,(2)(1)(2)(1)kkkk kl lkl klccckkkkk 02(22)(24)()(21)(23)

16、(1)(2 )!nccnlnllnlnlln 121(21)(23)(1)(2)(22)(2)(21)!nccnlnllnlnlln 1,2,3,n 第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.022212210112000( )( )knnknnknnc zc zczczcz211(22)(24)()(21)(23)(1)( )1(2 )!nnnlnllnlnllzzn 2121(21)(23)(1)(2)(22)(2)( )(21)!nnnlnllnlnllzzzn 當(dāng)當(dāng) |z|1 級數(shù)收斂，而當(dāng)級數(shù)收斂，而當(dāng) |z|=1 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散若要求若要求 |z

17、|=1 級數(shù)收斂，只能取級數(shù)收斂，只能取 l=0, 1, 2, 第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.020122334245356426( )1( )1( )(31)21( )(53 )21( )(35303)81( )(637015 )81( )(2313151055)16P zP zzP zzP zzzP zzzP zzzzP zzzzLegendre多項(xiàng)式多項(xiàng)式第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法222(1)2(1)0ddzzl ldzdz數(shù)學(xué)物理方法2015.02第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法 22012

18、2!,0,1,2,2!2!lnlnllnlnP zzln lnln201( )1,( )(1)!2llllldP zP zzldz 112112101lllllllPzlPzlzP zzP zlxP zlPz 01( )1,( )P zP zz多項(xiàng)式表示多項(xiàng)式表示Rodrigues公式公式遞推關(guān)系遞推關(guān)系其中其中數(shù)學(xué)物理方法2015.02第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法11( )0,0,1,2,1klz P z dzkln在在-1,1內(nèi)有內(nèi)有l(wèi)個零點(diǎn)個零點(diǎn)n正交性正交性Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)多項(xiàng)式的性質(zhì)數(shù)學(xué)物理方法2015.02貝塞爾方程貝塞爾方程2222110dd

19、dzz dzz0,0kkkzc z z第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.02222220ddzzzdzdz0kkkc z22122000()(1)()0kkkkkkkkkzkkc zzkc zzc z220000()(1)()0kkkkkkkkkkkkkkc zkc zc zc z2202()(1)()0kkkkkkkkkc zcz 22221220122()(1)()0kkkkc zc zkccz 第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.02220221222()0,(1)0,()0, 2,3,kkcckcck 0 0, c z的零次冪：的零次冪：11110, ; 0, 22cc z的的1次冪：次冪：z的的k次冪：次冪：21, 2,3,(2 )kkcckk k 取取c1=020212( 1), 0, 1,2,2!()(1)(1)nnnncccnn nn第六節(jié)第六節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法2015.02221221000200( )( 1) ( )!()(1)(1) 2knnknnknnnnnzzc zzc zzczzcJzn nn221221000200(