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文檔簡介
1、第五章第五章 插值插值 /* Interpolation */ 問題提出問題提出函數(shù)逼近函數(shù)逼近 / /* *problem formulation-function approximationproblem formulation-function approximation* */ /用用已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下:深度(M) 466 741 950 1422 1634水溫(oC)7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據(jù)這些數(shù)據(jù),希望合理地估計出其它深度(如500米,600米,1000米)處的水溫舉例這就是本章要討論的“插值問題”函數(shù)逼近的方法有很多,例如函數(shù)逼近的
2、方法有很多,例如Taylor級數(shù),級數(shù),F(xiàn)ourier級數(shù),有限元方法、邊界元方法,小級數(shù),有限元方法、邊界元方法,小波分析等,大學(xué)科叫波分析等,大學(xué)科叫逼近論逼近論。插值節(jié)點插值節(jié)點插值條件插值條件-插值問題插值問題多項式插值是數(shù)值分析的基本工具,常用來計算被插函數(shù)多項式插值是數(shù)值分析的基本工具,常用來計算被插函數(shù)的近似的近似函數(shù)值函數(shù)值,零、極點零、極點,導(dǎo)數(shù)、積分導(dǎo)數(shù)、積分,解微分方程解微分方程、積積分方程分方程插值插值x0 x1x2x3x4 xf(x)g(x)多項式插值多項式插值-polynomial interpolationProblem I. 給定給定y=f(x)的函數(shù)表的函數(shù)表
3、, xi a,bniyxPiin,., 0,)(= = =求求 次數(shù)不超過次數(shù)不超過 n 的多項式的多項式 使得使得nnnxaxaaxP = =10)(條件:條件:無重合節(jié)點無重合節(jié)點,即,即jixx ji Interpolation intervalInterpolation conditionInterpolation polynomialInterpolation points(2.1)(2.2)當(dāng)精確函數(shù)當(dāng)精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時,在一非常復(fù)雜或未知時,在一系列節(jié)點系列節(jié)點 x0 xn 處測得函數(shù)值處測得函數(shù)值 y0 = f(x0), yn = f(xn),由此構(gòu)造
4、一個簡單易算的近似函,由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù)數(shù) g(x) f(x),滿足條件,滿足條件g(xi) = f(xi) (i = 0, n)。這里的。這里的 g(x) 稱為稱為f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)。最常。最常用的插值函數(shù)是用的插值函數(shù)是 ? 多項式多項式x0 x1x2x3x4xg(x) f(x)最常用的插值函數(shù)是最常用的插值函數(shù)是 ?代數(shù)多項式用代數(shù)多項式作插值函數(shù)的插值稱為代數(shù)插值本章主要討論的內(nèi)容插值函數(shù)的類型有很多種插值問題插值法插值函數(shù) 一、插值問題解的存在唯一性? 二、插值多項式的常用構(gòu)造方法? 三、插值函數(shù)的誤差如何估計?代數(shù)插值 代數(shù)插值問題解的存在惟一性代數(shù)插值問題
5、解的存在惟一性 給定區(qū)間給定區(qū)間a,ba,b上互異的上互異的n+1n+1個點個點x xj jn nj=0j=0的一的一 組函數(shù)值組函數(shù)值f(xf(xj j) ),j =0j =0,, n, n,求一個求一個n n次多項式次多項式p pn n(x)(x)P Pn n,使得使得 p pn n(x(xj j)=f(x)=f(xj j) ),j=0,1,j=0,1,,n. n. . (1) 令令 pn(x)=a0+a1x+anxn, . (2) 只要證明只要證明Pn(x)的系數(shù)的系數(shù)a0 ,a1, an存在唯一即可存在唯一即可為此由插值條件(1)知Pn(x)的系數(shù)滿足下列n+1個代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程
6、組 a0+a1x0+anx0n=f(x0) a0+a1x1+anx1n= f(x1) .a0+a1xn+anxnn= f(xn) (3)200021110121.1.V(,.,).1.nnnnnnnxxxxxxx xxxxx=110()niijijxx=而ai(i=0,1,2,n)的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式由于xi互異,所以上式右端不為零,從而方程組(3)的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。 通過解上述方程組通過解上述方程組(3)求得插值多項式求得插值多項式pn(x)的方法并的方法并不可取不可取.這是因為當(dāng)這是因為當(dāng)n較大時解方程組的計算量較大,較大時解方程組的計算量較大,
7、而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大(可能而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大(可能是是病態(tài)方程組)病態(tài)方程組),當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù)n越越高時,病態(tài)越重高時,病態(tài)越重。為此我們必須從其它途徑來求Pn(x):不通過求解方程組而獲得插值多項式1 拉格朗日多項式拉格朗日多項式 /* Lagrange Polynomial */niyxPiin,., 0,)(= = =求求 n 次多項式次多項式 使得使得nnnxaxaaxP = =10)(條件:條件:無重合節(jié)點,即無重合節(jié)點,即jixx ji n = 1已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ,求,求xaaxP101)( = =使得使得111001)(,
8、)(yxPyxP= = =可見可見 P1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點的直線。兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP = =101xxxx 010 xxxx = y0 + y1l0(x)l1(x) = = =10)(iiiyxl稱為稱為拉氏基函數(shù)拉氏基函數(shù) /* Lagrange Basis */,滿足條件滿足條件 li(xj)= ij /* Kronecker Delta */1 Lagrange Polynomialn 1希望找到希望找到li(x),i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij ;然后令;然后令 = = =n
9、iiinyxlxP0)()(,則顯然有,則顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個每個 li 有有 n 個根個根 x0 xi xn = = = = = =njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().().()( = = =j i jiiiixxCxl)(11)(= = = =njijjijixxxxxl0)()()( = = =niiinyxlxL0)()(Lagrange Polynomial與與 有關(guān),而與有關(guān),而與 無關(guān)無關(guān)節(jié)點節(jié)點f當(dāng)n=1時,為線性插值當(dāng)n=2時,為二次多項式插值(拋物線插值)1線性插值線性插值 (n=1) x0 x1(x0 ,y0)(x1 ,y
10、1)L1(x)f(x)可見可見 L1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點的直線。兩點的直線。x0 x1x2L2(x) f(x)f(x)2拋物插值(拋物插值(n=2)因過三點的二次曲線為拋物線,故稱為拋物插值。因過三點的二次曲線為拋物線,故稱為拋物插值。 1 Lagrange Polynomial定理定理 (唯一性唯一性) 滿足滿足 的的 n 階插值多階插值多項式是唯一存在的。項式是唯一存在的。niyxPii,., 0,)(= = =證明:證明: (利用利用Vandermonde 行列式行列式論證論證)反證:若不唯一,則除了反證:若不唯一,則除了Ln(x)
11、外還有另一外還有另一 n 階多項階多項式式 Pn(x) 滿足滿足 Pn(xi) = yi ??疾炜疾?則則 Qn 的階數(shù)的階數(shù), )()()(xLxPxQnnn = = n而而 Qn 有有 個不同的根個不同的根n + 1x0 xn注:注:若不將多項式次數(shù)限制為若不將多項式次數(shù)限制為 n ,則插值多項式,則插值多項式不唯一不唯一。例如例如 也是一個插值也是一個插值多項式,其中多項式,其中 可以是任意多項式??梢允侨我舛囗検?。= = = =niinxxxpxLxP0)()()()()(xp1 Lagrange Polynomial 插值余項插值余項 /* Remainder */設(shè)節(jié)點設(shè)節(jié)點)1(
12、 nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截斷誤差考察截斷誤差)()()(xLxfxRnn = =, baCfn bxxxan 10,且,且 f 滿足條件滿足條件 ,Rolles Theorem: 若若 充分光滑,充分光滑, ,則,則存在存在 使得使得 。)(x 0)()(10= = =xx ),(10 xx 0)(= = 推廣:推廣:若若0)()()(210= = = =xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10= = = = ),(10 使得使得0)(= = 0)()(0= = = =nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()(= = nRn(x) 至少有至少有 個
13、根個根n+1 = = = =niinxxxKxR0)()()(任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察 = = = =niixtxKtRnt0)()()()( (x)有有 n+2 個不同的根個不同的根 x0 xn x),(, 0)()1(baxxn = = !)1()()()1(nxKRxnn 注意這里是對注意這里是對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)= = !)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1( = = nfxKxn = = = =niixnnxxnfxR0)1()(! ) 1()()( 1 Lagrange Polynomial注:注: 通常不能確定
14、通常不能確定 x , 而是估計而是估計 , x (a,b) 將將 作為誤差估計上限。作為誤差估計上限。1)1()( nnMxf= = niinxxnM01|)!1(當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個次數(shù)為任一個次數(shù) n 的的多項式多項式時,時, , 可知可知 ,即插值多項式對于次數(shù),即插值多項式對于次數(shù) n 的的多項多項式是式是精確精確的。的。0)()1( xfn0)( xRnQuiz: 給定給定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪個是下面哪個是 l2(x)的圖像?的圖像? y 0 - - - 1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0 - - - 1
15、 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0 - - - 1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x ABC 1 Lagrange Polynomial例例1:已知已知233sin,214sin,216sin= = = = 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計算插值計算 sin 50 并估計誤差。并估計誤差。 解:解:0 x1x2x185500 =n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計算計算4,610 =xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 = = xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)
16、()2( = = =xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 = = xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01 Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 /* extrapolation */ 的實際誤差的實際誤差 0.01010.01013,421 = = =xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內(nèi)插內(nèi)插 /* interpolation */ 的實際誤差的實際誤差 0.005960.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的要計算
17、的 x 所在的區(qū)間的所在的區(qū)間的端點,插值效果較好。端點,插值效果較好。1 Lagrange Polynomialn = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 = = xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 = =xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實際誤差次插值的實際誤差 0.000610.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值但絕對不是次數(shù)越但絕對不是次數(shù)越高就越好,嘿高就越好,嘿嘿嘿例2
18、:已知 y = f(x) = ln(1+x) 的值如下xi123yi0.71.11.420 01 12 2( )( )( )( )L xy lxy l xy lx=(1) 求Lagrange插值多項式L2(x)(2) 求L2(2.5). (3)求插值余項R2(x) ,并估計R2(x)。 (1) .由公式得2(2)(3)(1)(3)(1)(2)0.71.11.4(1 2)(1 3)(2 1)(23)(3 1)(32)0.050.550.2xxxxxxxx= (2)因為 所以2( )( )(1)(2)(3),(1,3)3!fRxxxx=而32( ) ln(1)(1)fxxx=(3)因為:2(2.5)1.2625,L=2(2.5)(2.5)1.2625.fL=從而進而131max( )4xfx21( )(1)(2)(3)
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