中考專題三最短路線問題(有答案)20150407

1、最短路線問題1、考查知識(shí)點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。2、原型：“飲馬問題”，“造橋選址問題”?？嫉妮^多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。3、解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。以下主要對中考中“飲馬問題”試題進(jìn)行匯編，希望能對即將中考的同學(xué)們有所幫助。1、在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為_（結(jié)果不取近似值）.ADEPBC2、如圖所示，正方形的面積為1

2、2，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（ ） A B C3 D3、已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)，APD中邊AP上的高為（ ）A、 B、 C、 D、3（動(dòng)點(diǎn)，作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A，連AD交BC于P，涉及勾股定理，相似）4、已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上關(guān)于y軸對稱的拋物線yax2bxc經(jīng)過A、D(3，2)、P三點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)在x軸上(1)求直線BC的解析式；(2)求拋物線yax2bxc的解析式及點(diǎn)

3、P的坐標(biāo)；ABO(第4題圖)DxyABO(第28題圖)Dxy(3)設(shè)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PMCM的取值范圍5、如圖，在矩形中，已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，為的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)是平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）（1）試證明：無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，總造橋與相等；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離最小時(shí)，試確定過三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，的周長最??？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長；（4）設(shè)點(diǎn)是矩形的對稱中心，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)yOxPDB 6、一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）（1）求該函數(shù)的解析式； 第6題（2）O為坐標(biāo)

4、原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PCPD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)7、已知：拋物線的對稱軸為x=1,與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)其中、。（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長最小請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）過點(diǎn)D作交軸于點(diǎn)連接、設(shè)的長為，的面積為求與之間的函數(shù)關(guān)系式試說明是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由ACxyBOACxyBO8、如圖，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線上(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出

5、點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)平移拋物線，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，AC+CB 最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；4x22A8-2O-2-4y6BCD-44當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由提示：第（2）問，是“飲馬問題”的變式運(yùn)用，涉及到拋物線左移。答案見參考圖。 方法一，A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A，要使AC+CB最短，點(diǎn)C應(yīng)在直線AB上； 方法二，由（1）知，此時(shí)事實(shí)上，點(diǎn)Q移到點(diǎn)C位置，求CQ=145，即拋物線左移14

6、5單位；設(shè)拋物線左移b個(gè)單位，則A（-4-b,8）、B（2-b,2）。CD=2,B左移2個(gè)單位得到B（-b,2）位置，要使AD+C B最短，只要AD+DB最短。則只有點(diǎn)D在直線AB上。(2)圖)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44A (2)圖)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長AC到點(diǎn)D,使CD=,過點(diǎn)D作DEAB交BC的延長線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從

7、直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。（要求：簡述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）提示：第（）問，平分周長時(shí)，直線過菱形的中心；第（）問，“確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短”轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到的距離加到（）中直線的距離和最小是“飲馬問題”的變式運(yùn)用；發(fā)現(xiàn)（）中直線與軸夾角為°很關(guān)鍵.10、恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為

8、和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大??；（2）請你說明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個(gè)最小值提示：涉及勾股定理、點(diǎn)對稱、設(shè)計(jì)方案。 第（3）問是“三折線”轉(zhuǎn)“直”問題 。 再思考-設(shè)計(jì)路線要根據(jù)需要設(shè)計(jì)，是P處分別往A、B兩處送呢，還是可以先送到

9、A接著送到B。本題是對所給方案進(jìn)行分析，似乎還容易一些，若要你設(shè)計(jì)方案，還需考慮一個(gè)方案路線，PAB。BAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）11、 如圖，在銳角ABC中，AB4，BAC45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_12、定義一種變換：平移拋物線得到拋物線，使經(jīng)過的頂點(diǎn)設(shè)的對稱軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)（1）如圖1，若：，經(jīng)過變換后，得到：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值等于_；四邊形為（ ）A平行四邊形 B矩形C菱形 D正方形（2）如圖2，若：，經(jīng)過變換后，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的面積；（3）如圖3，若：，經(jīng)過變換后

10、，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之和的最小值如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為軸，OC所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系。已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)在OA上取一點(diǎn)D，將BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處。（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（3）在軸、軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由。24. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，0），O

11、（0，0），B（0，4），把AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到COD。 （1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式； （3）在（2）中拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），且EF=1，使四邊形ACEF的周長最小，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)。24.（本小題滿分14分）已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)、，拋物線過點(diǎn)頂點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍；（3）若當(dāng)為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移個(gè)單位，點(diǎn)、平移后對應(yīng)的點(diǎn)分別記為，是否存在，使得首尾依次連接所構(gòu)成的多邊形的周長最短？若存在，求的值并說

12、明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由.答案如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為軸，OC所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系。已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)在OA上取一點(diǎn)D，將BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處。（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（3）在軸、軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由。· 解：（1）E（3，1）；F（1，2）。（2）在RtEBF中，B=90º，

13、設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），其中>0，頂點(diǎn)F（1，2），設(shè)拋物線解析式為     如圖，當(dāng)EF=PF時(shí)，EF2=PF2，解得（舍去）；。P（0，4），解得，拋物線解析式為。     如圖，當(dāng)EP=FP時(shí)，EP2=FP2，解得（舍去）。當(dāng)EF=EP時(shí)，EP=，這種情況不存在。綜上所述，符合條件的拋物線解析式是。（3）存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最小。如圖，作點(diǎn)E關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)F關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，分別與軸、軸交于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)M、N就是所求點(diǎn)。，。，。又EF=，此時(shí)四邊形MNFE的周長最小值是。解

14、：（1）E（3，1）；F（1，2）；（2）在RtEBF中，B=90°，所以EF=，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，n），其中n0，因?yàn)轫旤c(diǎn)F（1，2），所以設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+2（a0），如圖1，當(dāng)EF=PF時(shí)，EF2=PF2，所以12+（n-2）2=5，解得n1=0（舍去），n2=4，所以P（0，4），所以4=a（0-1）2+2，解得a=2，所以拋物線的解析式為y=2（x-1）2+2；如圖2，當(dāng)EP=FP時(shí)，EP2=FP2，所以（2-n）2+1=（1-n）2+9，解得n=-（舍去）；當(dāng)EF=EP時(shí)，EP=3，這種情況不存在。綜上所述，符合條件的拋物線為y=2（x-1）2+2。

15、 （3）存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最小。如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F，連接EF，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)M、N就是所求，所以E（3，-1）、F（-1，2），NF=NF，ME=ME，所以BF=4，BE=3，所以FN+NM+ME=FN+NM+ME=FE=5，又因?yàn)镋F=，所以FN+MN+ME+EF=5+，此時(shí)四邊形MNFE的周長最小值為5+。 24. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到COD。 （1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求

16、經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式； （3）在（2）中拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），且EF=1，使四邊形ACEF的周長最小，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)。24. 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OC=OA=2，OD=OB=4 C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），D點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0）2分 （2）設(shè)所求拋物線的解析式為 由題意，得 解得，b=1，c=4 所求拋物線的解析式為4分 （3）只需求AF+CE最短 拋物線的對稱軸為x=1 將點(diǎn)A向上平移至，則AF=A1E 作A1關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn) 聯(lián)結(jié)A2C，A2C與對稱軸交于點(diǎn)E，E為所求 可求得A2C的解析式為6分 當(dāng)x=1時(shí)， 點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F

17、的坐標(biāo)為8分24.（本小題滿分14分）已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)、，拋物線過點(diǎn)頂點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍；（3）若當(dāng)為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移個(gè)單位，點(diǎn)、平移后對應(yīng)的點(diǎn)分別記為，是否存在，使得首尾依次連接所構(gòu)成的多邊形的周長最短？若存在，求的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由.【答案】：解:(1)代入,二次函數(shù):得:, 解得:拋物線解析式為:. 對稱軸為直線,代入則頂點(diǎn).(2)如圖所示，設(shè)拋物線與y軸交點(diǎn)，連接AD,BD由勾股定理得:, ,為直角三角形,.由圖可得：當(dāng)時(shí)，為鈍角.拋物線關(guān)于軸對稱對稱，的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：由圖可得：當(dāng)時(shí)，為鈍角.綜上所述：當(dāng)或時(shí)，為鈍角.（3）線段和的長是定值，要使四邊形的周長最短，只要最短。如果將向右平移，顯然有，不存在某個(gè)位置，使四邊形的周長最短，應(yīng)將線段向左平移。由題知