拋物線-解析幾何_2012高考一輪數(shù)學(xué)精品課件

1、返回目錄返回目錄 1.拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)F)距距離離 點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)點(diǎn)F叫做拋物線叫做拋物線的的 ,直線直線l叫做拋物線的叫做拋物線的 .相等相等 焦點(diǎn)焦點(diǎn) 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 返回目錄返回目錄 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)(如表所示) 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍x x0 x x0準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程x xx x焦點(diǎn)焦點(diǎn)( )( )對稱軸對稱軸關(guān)于關(guān)于 對稱對稱頂點(diǎn)頂點(diǎn)（0 0，0 0）離心率離心率e

2、=p,02p,02-p2p2x軸軸 1 1 返回目錄返回目錄 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程x x2 2=2py(p0)=2py(p0)x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍y0y0準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程x xx x焦點(diǎn)焦點(diǎn)( )( )對稱軸對稱軸關(guān)于關(guān)于 對稱對稱頂點(diǎn)頂點(diǎn)（0 0，0 0）離心率離心率e=p0,2p2-p0,2y軸軸 -p2返回目錄返回目錄 已知拋物線已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又又有點(diǎn)有點(diǎn)A(3,2),求求|PA|+|PF|的最小值的最小值,并求出取最小值時(shí)并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo).由定義知由定義知

3、,拋物線上點(diǎn)拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等的距離等于于P到準(zhǔn)線到準(zhǔn)線l的距離的距離d,求求|PA|+|PF|的問題可轉(zhuǎn)化為的問題可轉(zhuǎn)化為|PA|+d的問題的問題.返回目錄返回目錄 將將x=3代入拋物線方程代入拋物線方程y2=2x,得得y= . 2,A在拋物線內(nèi)部在拋物線內(nèi)部. 如圖，設(shè)拋物線上點(diǎn)如圖，設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線到準(zhǔn)線l:x=- 的距離為的距離為d,由定義知由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d, 當(dāng)當(dāng)PAl時(shí)時(shí),|PA|+d最小最小, 最小值為最小值為 ,即即|PA|+|PF|的最小值為的最小值為 ,此時(shí)此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)點(diǎn)縱坐標(biāo)為為2,代入代入y2=2x,得得x=2, 點(diǎn)點(diǎn)P坐標(biāo)

4、為坐標(biāo)為(2,2).66127272重視定義在解題中的應(yīng)用重視定義在解題中的應(yīng)用,靈活地進(jìn)行拋靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化,是解是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑?jīng)Q拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑.返回目錄返回目錄 已知點(diǎn)已知點(diǎn)P在拋物線在拋物線y2=4x上上,那么當(dāng)點(diǎn)那么當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q(2,-1)的距的距離與點(diǎn)離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)點(diǎn)P的坐的坐標(biāo)為（標(biāo)為（ ）A.( ,-1) B.( ,1)C.(1,2) D.(1,-2)A(1)點(diǎn)點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P

5、到準(zhǔn)線距離到準(zhǔn)線距離,即求點(diǎn)即求點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q與點(diǎn)與點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)到準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)當(dāng)QP垂直準(zhǔn)線垂直準(zhǔn)線時(shí)時(shí),所求距離之和最小所求距離之和最小,P點(diǎn)縱坐標(biāo)點(diǎn)縱坐標(biāo)y0=-1,x0= ,P( ,-1).故應(yīng)選故應(yīng)選A.)1414返回目錄返回目錄 1414返回目錄返回目錄 試分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程試分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求對應(yīng)并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程拋物線的準(zhǔn)線方程:(1)過點(diǎn)過點(diǎn)(-3,2);(2)焦點(diǎn)在直線焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上上.按先定位按先定位,再定量的原則求拋物線方程再定量的原則求拋物線方程. (1)設(shè)所求的拋物線為設(shè)

6、所求的拋物線為y2=-2px(p0)或或x2=2py(p0), 過點(diǎn)過點(diǎn)(-3,2),4=-2p(-3)或或9=2p2， p= 或或p= . 所求的拋物線方程為所求的拋物線方程為y2=- x或或x2= y,前者的前者的準(zhǔn)線方程是準(zhǔn)線方程是x= ,后者的準(zhǔn)線方程是后者的準(zhǔn)線方程是y=- .返回目錄返回目錄 239443981392返回目錄返回目錄 (2)令令x=0得得y=-2,令令y=0得得x=4,即拋物線的焦點(diǎn)為即拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或或(0,-2). 當(dāng)焦點(diǎn)為當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)時(shí), =4,p=8. 此時(shí)拋物線方程為此時(shí)拋物線方程為y2=16x. 當(dāng)焦點(diǎn)為（當(dāng)焦點(diǎn)為（0，-2）時(shí)，）時(shí)，

7、 =2，p=4， 此時(shí)拋物線方程為此時(shí)拋物線方程為x2=-8y. 故所求的拋物線方程為故所求的拋物線方程為y2=16x或或x2=-8y，對應(yīng)的，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是準(zhǔn)線方程分別是x=-4或或y=2.p2p2返回目錄返回目錄 求拋物線方程的基本方法仍然是待定系數(shù)求拋物線方程的基本方法仍然是待定系數(shù)法，需要注意的是：（法，需要注意的是：（1）當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條）當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型的哪一種；（件確定拋物線方程屬于四種類型的哪一種；（2）要注意）要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向與方程之間的對把握拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向與方程之間的對應(yīng)關(guān)系；（應(yīng)

8、關(guān)系；（3）要注意焦參數(shù)）要注意焦參數(shù)p的幾何意義，并利用它的的幾何意義，并利用它的幾何意義來解決問題，特別是當(dāng)頂點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，更要幾何意義來解決問題，特別是當(dāng)頂點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，更要注意利用參數(shù)注意利用參數(shù)p的幾何意義，以及焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離和的幾何意義，以及焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離和頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為 來求其方程來求其方程.這里易犯的錯(cuò)誤就這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對開口方向的討論，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后是缺少對開口方向的討論，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解求解，以致失去一解. 反過來，也要注意由拋物線方程讀有關(guān)信息，如參反過來，也要注意由拋物線方程讀有關(guān)信息，如參數(shù)數(shù)p

9、及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出有關(guān)幾何性質(zhì)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出有關(guān)幾何性質(zhì).p2返回目錄返回目錄 根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線）拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點(diǎn)；的左頂點(diǎn)；（2）過點(diǎn)）過點(diǎn)P(2,-4);（3）拋物線焦點(diǎn)）拋物線焦點(diǎn)F在在x軸上，直線軸上，直線y=-3與拋物線交于點(diǎn)與拋物線交于點(diǎn) A，|AF|=5.返回目錄返回目錄 （1）雙曲線方程化為）雙曲線方程化為 ，左頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為(-3,0)， 由題意設(shè)拋物線方程為由題意設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0)且且- =-3,p=6, 方程為方程為y2=-12x. （

10、2）由于）由于P(2，-4)在第四象限且對稱軸為坐標(biāo)軸，在第四象限且對稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為可設(shè)方程為y2=mx或或x2=ny，代入，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)坐標(biāo)求得m=8,n=-1,所求拋物線方程為所求拋物線方程為y2=8x或或x2=-y. （3）設(shè)所求焦點(diǎn)在）設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程為軸上的拋物線方程為y2=2px(p0)，A(m,-3)，由拋物線定義得，由拋物線定義得5=|AF|=|m+ |，又又(-3)2=2pm,p=1或或p=9. 故所求拋物線方程為故所求拋物線方程為y2=2x或或y2=18x. 22xy-=1916p2p2已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又知此拋已知拋物線頂

11、點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又知此拋物線上的一點(diǎn)物線上的一點(diǎn)A（m，-3）到焦點(diǎn)）到焦點(diǎn)F的距離為的距離為5，求，求m的的值，并寫出此拋物線的方程值，并寫出此拋物線的方程.因點(diǎn)因點(diǎn)A（m，-3）在直線）在直線y=-3上，所以拋上，所以拋物線的開口方向存在向左、向右、向下三種情況，必物線的開口方向存在向左、向右、向下三種情況，必須分類討論須分類討論.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 若拋物線開口方向向下，設(shè)拋物線方若拋物線開口方向向下，設(shè)拋物線方程為程為x2=-2py（p0），這時(shí)準(zhǔn)線方程為），這時(shí)準(zhǔn)線方程為y= ， 由拋物線定義知由拋物線定義知 -（-3）=5，解得，解得p=4， 拋物線方程為

12、拋物線方程為x2=-8y， 這時(shí)將點(diǎn)這時(shí)將點(diǎn)A（m，-3）代入方程，得）代入方程，得m=2 . 若拋物線開口方向向左或向右，可設(shè)拋物線方若拋物線開口方向向左或向右，可設(shè)拋物線方程為程為y2=2ax（a0）,從從p=|a|知準(zhǔn)線方程可統(tǒng)一成知準(zhǔn)線方程可統(tǒng)一成x= - 的形式，于是從題設(shè)有的形式，于是從題設(shè)有 +m=5 2am=9p2p26a2a2解此方程組可得四組解解此方程組可得四組解: a1=1 a2=-1 a3=9 a4=-9 m1= ， m2=- ， m3= ， m4=- .y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ;y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .返回目錄返回目錄 121

13、2929292921212返回目錄返回目錄 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種,在求解過程中在求解過程中,首先要根據(jù)題目描述的幾何性質(zhì)判斷方程形式首先要根據(jù)題目描述的幾何性質(zhì)判斷方程形式,若只能若只能判斷對稱軸判斷對稱軸,而不能判斷開口方向而不能判斷開口方向,可設(shè)為可設(shè)為x2=ay(a0)或或y2=ax(a0)，然后利用待定系數(shù)法和已知條件求解，然后利用待定系數(shù)法和已知條件求解.返回目錄返回目錄 設(shè)設(shè)P是拋物線是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求點(diǎn)求點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)A（-1，1）的距離與點(diǎn)）的距離與點(diǎn)P到直線到直線x=-1的距的距離之和的最小值離之和的最小值;(2)若若B

14、（3,2），求），求|PB|+|PF|的最小值的最小值.如圖所示，（如圖所示，（1）拋物線焦點(diǎn)為）拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為，準(zhǔn)線方程為x=-1.P點(diǎn)到準(zhǔn)線點(diǎn)到準(zhǔn)線x=-1的距離等于的距離等于P點(diǎn)到點(diǎn)到F(1,0)的距離的距離,問題轉(zhuǎn)化為問題轉(zhuǎn)化為:在曲線在曲線上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)，使點(diǎn)P到到A（-1,1）的距離與）的距離與P到到F（1，0）的距離）的距離之和最小之和最小.顯然顯然P是是AF的連線與拋物線的交的連線與拋物線的交點(diǎn)點(diǎn),最小值為最小值為|AF|= .返回目錄返回目錄 5(2)同理同理|PF|與與P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等,如圖如圖:|P1Q|=|P1F|,

15、|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.|PB|+|PF|的最小值為的最小值為4.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 如圖如圖,有一塊拋物線形鋼板有一塊拋物線形鋼板,其垂其垂直于對稱軸的邊界線直于對稱軸的邊界線AB長為長為2r,高為高為4r,計(jì)劃將此鋼板切割成等計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀腰梯形的形狀 ,以以 AB為下底為下底 ,上底上底CD的端點(diǎn)在拋物線上的端點(diǎn)在拋物線上 , 記記CD=2x,梯形面積為梯形面積為S.(1) 求面積求面積S,使其為以使其為以x為自變量的為自變量的函數(shù)式函數(shù)式,并寫出其定義域并寫出其定義域; (2)求面積求面積S的最大值的最大值.根據(jù)題意先建立

16、坐標(biāo)系根據(jù)題意先建立坐標(biāo)系,利用利用CD的長求出梯形的長求出梯形AB CD的高的高,進(jìn)而表示梯形面積進(jìn)而表示梯形面積;然后利用導(dǎo)數(shù)求面積然后利用導(dǎo)數(shù)求面積S的最大值的最大值.返回目錄返回目錄 (1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,則則B(r,-4r). 設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0). 點(diǎn)點(diǎn)B(r,-4r)在拋物線上在拋物線上, r2=8pr,即即p= . 拋物線方程為拋物線方程為x2=- y. 又點(diǎn)又點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為x,則則 點(diǎn)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為y= . 梯形梯形ABCD的高的高h(yuǎn)=4r- . S= (2r+2x)(4r- )

17、= (x+r)(r2-x2),其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)閤|0 xr.r8r4-24xr24xr1224xr4r返回目錄返回目錄 (2)記記f(x)=(x+r)(r2-x2),0 xr,則則f(x)=r2-x2+(r+x)(-2x)=(r+x)(r-3x).令令f(x)=0得得x= .因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)0 x0;當(dāng)當(dāng) xr時(shí)時(shí),f(x)0,所以所以f( )是是f(x)的最大值的最大值.因此因此,當(dāng)當(dāng)x= 時(shí)時(shí),S也取得最大值也取得最大值,最大值為最大值為 = .即梯形面積即梯形面積S的最大值為的最大值為 .r3r3r3r3r34r4r328r92128r272128r27返回目錄返回目錄 “用料用料”問題

18、為應(yīng)用題的基本類型之一問題為應(yīng)用題的基本類型之一,其主要特點(diǎn)為其主要特點(diǎn)為:首先首先,要依據(jù)題目條件建立函數(shù)關(guān)系式要依據(jù)題目條件建立函數(shù)關(guān)系式,然后求解目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值然后求解目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值,最后將其還原為最后將其還原為實(shí)際問題來解決實(shí)際問題來解決.在本題的求解過程中合理建系在本題的求解過程中合理建系,求解拋求解拋物線的方程是解題的關(guān)鍵物線的方程是解題的關(guān)鍵,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值為利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值為基本的解題方法基本的解題方法.某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔如圖所示中央橋孔如圖所示,已知上部呈已知上部呈拋物線形拋物線形,跨度為跨度為20米米 , 拱頂距拱頂距水面水面6米米 , 橋墩高出水面橋墩高出水面4圖米圖米.現(xiàn)有一貨船欲過此孔現(xiàn)有一貨船欲過此孔,該貨船水下寬