一類帶干擾的風險模型的研究

1、 一類帶干擾的風險模型的研究1 緒論1.1 風險理論的有關(guān)背景風險理論是近代應用數(shù)學的一個新的組成部分，該理論在金融機構(gòu)、證劵、保險公司等諸多方面有主要應用，它主要根據(jù)概率論與隨機過程的有關(guān)知識來建立數(shù)學模型從而達到解決各類風險模型的目的。風險理論至今經(jīng)歷過了相當長的一段時間， Harald Cramer和Filip Lundberg建立的風險理論和一般隨機過程研究之間的聯(lián)系是其中相對比較完整的風險理論。通過幾十年的發(fā)展，在風險理論中應用隨機過程中的部分概念與結(jié)果的地方越來越多，借助隨機過程的一般結(jié)果對風險理論進行分析的方法，不但能使以往所證的部分經(jīng)典結(jié)果的推導簡化很多，并且能夠使得例如時間平

2、均分布、盈余額在某刻前后的分布、盈余額在一個公司破產(chǎn)前的分布、最大盈余額在一個公司破產(chǎn)至恢復以往時期的分布等保險公司常見的問題處理簡單化。解決上述常見的問題主要借助于鞅方法和更新方法，另外一些是通過強馬氏性解決。風險過程是風險理論中最重要的研究內(nèi)容，有關(guān)風險過程的發(fā)展在各個領域都有所成就，最主要的是通過穩(wěn)定性分析而取得的有關(guān)破產(chǎn)概率的研究，從而得出了破產(chǎn)理論。風險經(jīng)營者盈利狀況的好壞主要借助于破產(chǎn)理論，從而對經(jīng)營者是否盈利的過程進行穩(wěn)定性分析，最后能事先算出經(jīng)營者在一定的時間內(nèi)破產(chǎn)的概率和最終會破產(chǎn)的概率，對經(jīng)營者的盈利狀況的決策具有一定的積極意義。風險經(jīng)營者對要制定的決策是否盈利的過程進行穩(wěn)

3、定性分析，從而能夠避免因決策不當而使公司破產(chǎn)，對公司發(fā)展前景的作用特別明顯。尤其在證劵和保險行業(yè)，它的作用異常突出。經(jīng)過上面所說的對破產(chǎn)概率的分析，從而可以得出開發(fā)某一險種的成功的概率，另外對新開發(fā)險種的保費厘定的制定也具有重要的意義，最終能夠利用增加保費從而使得經(jīng)營者所承擔的破產(chǎn)概率最小。另一方面，聚合風險理論在解決有關(guān)保險公司問題中建立的隨機模型有著比較重要的意義。通過該理論所建立的這種模型中，保險公司所有的開創(chuàng)公司時的資產(chǎn)非負，在公司發(fā)生理賠時其過程可以用一個點過程進行描述，客戶給公司所交的錢即為保費是保險公司的營業(yè)收入。通常當顧客要求發(fā)生理賠時保險公司按照合同付給其的無規(guī)律的理賠額被理

4、想化為是具有一定規(guī)律的隨機變量，保費所得的營業(yè)收入與理賠所支付的理賠額的平均值的凈收入被定義為“安全負荷”。以上所講的聚合風險理論中，其中一個異常被關(guān)注的是破產(chǎn)概率的大小，也就是說保險公司在某一時刻資產(chǎn)小于0時的概率。公司破產(chǎn)時的概率從風險理論出現(xiàn)至今始終都是該理論的重中之重，不僅僅由于破產(chǎn)概率是保險精算師的最根本的算法依據(jù)，而且還是開發(fā)險種、制定保費、再保險的決策等問題的根本。保險公司的風險模型最開始的建立是有關(guān)1903年Filip Lundberg的努力，他的努力所取得的結(jié)果為保險風險理論以后的發(fā)展鋪平了道路。Lundberg最先覺察出非壽險模型中的最主要的部分是復合Poisson過程。依

5、據(jù)這一重要結(jié)果，Harald Cramer帶領他的研究團隊建立了完整的非壽險數(shù)學模型，從而奠定了非壽險模型的概率基礎，進而風險理論一躍成為概率論中一個異常重要的部分。有關(guān)破產(chǎn)概率在風險模型中的進一步發(fā)展，主要借助于風險模型的提出的不同類別，同時加上保險公司自身在經(jīng)營過程中所碰到的各類關(guān)于風險的問題，再加上上述各類問題所形成的條件，對以往所得的概率模型或者統(tǒng)計模型進一步改進，從而得出比以往模型更加能真實地反映保險公司的真實經(jīng)營的模型。通過上面所說的研究，就讓破產(chǎn)概率的推導更加接近現(xiàn)實，也就更加有難度，吸引了更多的人從事其工作，進而破產(chǎn)概率在國際上很久以來就是概率論研究人員所熱衷的一個部分。然而在

6、內(nèi)地，獻身破產(chǎn)概率的人員還是少之又少，有關(guān)破產(chǎn)概率的發(fā)展前景和發(fā)展現(xiàn)狀的文獻和關(guān)于破產(chǎn)概率的文獻也寥寥無幾，主要有：Gerber（1979），Grandell（1991）等。為使經(jīng)典風險模型能用數(shù)學模型進行對其描述，我們給出下列定義：定義1.1.1 稱取非負整數(shù)值的隨機過程為Poisson過程，若它滿足以下條件：（1）是獨立增量過程；（2）對任具有參數(shù)為的泊松分布，即歸功于Lundberg和Gramer的對風險模型的研究所做的貢獻，人們把最根本的風險模型也就是說經(jīng)典模型記為Gramer-Lundberg模型，以下是比較基本的羅列： 理賠點過程是Poisson過程。 理賠發(fā)生額是一系列獨立同分布

7、的隨機變量。理賠點過程和表示理賠發(fā)生額的隨機變量是相互獨立的。單位時間保費收入是常數(shù)。其風險過程定義為 其中，表示總理賠發(fā)生的過程，也就是說到時刻t時總理賠額的多少；賠付額是非負隨機變量，服從分布；索賠到達過程是Poisson過程且與獨立；u是保險公司的初始資產(chǎn)；c為單位時間的保費收入（保費率），是常數(shù)；為到t時刻時保險公司的盈余。最近很長一段時期，經(jīng)典風險理論始終主要是概率學家和有關(guān)數(shù)學家的比較熱衷的一個方面，譬如：Beekman（1969）定義了讓我們更加容易地進行破產(chǎn)概率運算的著名的Beekman卷積公式。另一方面，經(jīng)典風險模型在比較多的方向都被不同程度的應用或延伸。例如，使得保單到達計

8、數(shù)過程延伸為一般計數(shù)過程、風險模型中含有不相關(guān)的兩類乃至更多類的索賠額到達過程，所有以上推廣能夠讓風險模型更加地與公司運行的實際經(jīng)營狀況相接近。1.2 經(jīng)典風險模型的有關(guān)內(nèi)容及主要成果若是一個完備的概率空間，以下獨立的隨機變量過程定義在該空間上： 點過程其中 為獨立同分布隨機變量，共同服從分布，均值為，方差為。經(jīng)典風險模型的描述方法有很多種：定義1.2.1 若經(jīng)典風險模型滿足下列條件：（1）理賠額過程：理賠額大小為非負隨機變量，服從共同分布F，均值為，方差為。 (2) 理賠到達過程：在期間理賠發(fā)生的次數(shù)，也就是說在這中間，為第n次理賠發(fā)生的時刻，記為。（3）理賠時間間隔：理賠到達時間間隔為服從

9、參數(shù)為的指數(shù)分布的隨機變量，其中（4）序列與相互獨立。人們對該風險模型的探討從未停止過，這一風險模型的風險過程有以下定義：定義1.2.2 經(jīng)典風險模型的表達式為： （1.2.1）其中是總理賠量過程，為復合Poisson過程；u表示保險公司的初始資產(chǎn)；c是單位時間保費收入（保費率），是正的常數(shù)；是t時刻保險公司的盈余。很容易的就得到一般情況下總理賠量的過程：定義1.2.3 總理賠量過程為; (1.2.2)其中為點過程，當時，。在保險公司初始資產(chǎn)為u的經(jīng)典風險中破產(chǎn)概率可以表示為：定義1.2.4 經(jīng)典風險模型中破產(chǎn)概率為： 從公式中可以看到在破產(chǎn)概率的計算中總理賠量過程有著異常重要的作用，故應該寫

10、出定義總理賠量的概念，令：其中稱為總理賠量分布。顯然在經(jīng)典風險模型中， 其中，是F的n重卷積 保險公司為運作上的安全，要求1.3經(jīng)典風險模型的推廣盡管古典風險模型已經(jīng)較為成熟，但仍具有較大的局限性。很多條件都是為數(shù)學上處理方便而假設的，不能刻劃保險公司經(jīng)營的實際情況，因此很多風險理論研究者們對古典風險模型作出了各種推廣。其中最常見的推廣有：推廣保費到達過程、索賠到達過程、考慮通脹率和利息等。為了更好的體現(xiàn)保險公司的經(jīng)營狀況，一般可以從以下三個方面對此模型進行推廣：1、保費可以依賴于保險公司的實際經(jīng)營成果，故可以在保險公司業(yè)務量非常大時，從而讓安全負載盡量降低一部分，也就是將保費率c擴展為關(guān)于時

11、間的函數(shù)。2、風險模型中，注意風險、規(guī)模波動以及利率對破產(chǎn)概率的影響的大小，也就是說改變理賠額隨機變量的分布函數(shù)，改變敘述索賠額出現(xiàn)的隨機點過程，從而能夠更加真實地體現(xiàn)經(jīng)營規(guī)模的改變，跟保險公司運營的真實狀況相符，并且注意利率因素對資本是如何影響的。3、注意到保險公司在實際經(jīng)營過程中新開發(fā)的險種，進而讓風險模型更貼近地反映保險公司在剛開發(fā)的險種中的實際盈利過程。1.4本論文的主要內(nèi)容及結(jié)果古典風險模型及其拓展的模型為進一步研究單一險種的風險經(jīng)營過程總結(jié)了各種必要的數(shù)學模式。在這些風險模型中，單一險種，顧客的索賠額獨立同分布，同時顧客的索賠額到達過程我們用一系列的隨機變量的點過程來描述，這相當大

12、的程度上簡化了該類數(shù)學的解決。古典風險模型中，索賠到達計數(shù)過程是一齊次Poisson過程，齊次Poisson過程的平穩(wěn)性表示著索賠發(fā)生次數(shù)的強度是以定常數(shù)。但在實際中，強度有可能不是一常數(shù)，而與時間有關(guān)系，即應將尺度波動考慮在內(nèi)。因此本文將古典風險模型進行了以下兩方面的推廣：1、保單到達計數(shù)過程為廣義Poisson過程，索賠到達計數(shù)過程為齊次Poisson過程；2、加上了干擾項從而建立了一類帶干擾的風險模型，運用矩母函數(shù)等概率方法和鞅方法等隨機過程方法進行研究，最后得出有限時間的破產(chǎn)概率的一個上界估計式和最終破產(chǎn)概率的上界。主要結(jié)果：有限時間破產(chǎn)概率的一個上界估計： 式中：最終破產(chǎn)概率的上界估

13、計： 2 預備知識2.1 隨機點過程2.1.1 齊次Poisson過程Poisson過程是一類重要的計數(shù)過程，先給出計數(shù)過程的定義：定義2.1.1.1 隨機過程 稱為計數(shù)過程，如果表示時段內(nèi)某一特定事件發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個特點：（1）且取值為整數(shù)；（2）時，且表示時間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)。Poisson過程是具有獨立增量和平穩(wěn)增量的計數(shù)過程，它的定義如下： 定義2.1.1.2 計數(shù)過程稱為參數(shù)為的Poisson過程，如果（1） ；（2） 過程有獨立增量；（3） 對任意的， 從定義2.1.1.2中(3)可見的分布不依賴于，所以定義2.1.1.2中（3）蘊含了過程具有平穩(wěn)增量性。另外，由Pois

14、son分布的性質(zhì)知道，于是可認為是單位時間內(nèi)發(fā)生事件的平均次數(shù)，一般稱是Poisson過程的強度或速率，在有些著作中它被為“發(fā)生率”。2.1.2 點間間距與齊次Poisson過程的關(guān)系定理2.1.2.1 計數(shù)過程是具有強度的齊次Poisson過程的充要條件是它的點間間距為相互獨立的參數(shù)為指數(shù)分布隨機變量序列。2.1.3 非齊次Poisson過程定義2.1.3.1 計數(shù)過程稱做非齊次泊松過程,若該過程滿足下列條件:(1) ;(2) 對任意實數(shù)和,增量滿足參數(shù)為的泊松分布,這里是上的非負單調(diào)不減連續(xù)函數(shù),并稱作過程的累積強度(累積強度);(3) 有獨立增量。非齊次泊松過程的另外一等價定義:定義2.

15、1.3.2 有限值計數(shù)過程,稱做非齊次泊松過程,若該過程滿足以下條件: (1) ; (2) 過程是普通的,即對任意和, (3) 有獨立增量。2.2 條件期望定義2.2.1 對條件分布函數(shù)，若記 ，稱為在條件下，的條件數(shù)學期望。又記 稱為在條件下，的條件數(shù)學期望。若為離散型隨機變數(shù)，其概率函數(shù)。條件概率函數(shù)及。則： 若為連續(xù)型隨機變數(shù)，其密度函數(shù)為，條件密度為，則有： = =定理2.2.2 設于連續(xù)，若 則有： 條件期望的平滑性： 2.3 鞅論的基本知識及結(jié)果條件期望的平滑性：設隨機變量,則： 。定義2.3.1 設概率空間，F(xiàn)=是的一個不減的子代數(shù)族。定義2.3.2 一過程，定義。因此是到時刻時

16、，由產(chǎn)生的一個子代數(shù)族，代表到時刻時的歷史。如果對所有的，當且僅當時，對所有的是可測的。一個F鞅是一個實值過程，(1)對所有的,是可測的; (2)對有; (3) 時，定義2.3.3 一個隨機變量 ()稱作一個F停時，對任意的,有。由定義2.3.3知，知道了到時刻的歷史，我們就可以知道是不是。我們記結(jié)果是允許的。如果是一個停時，那么對任意一個,有。定理2.3.1 令是一個有界停時，并且是一個右連續(xù)的鞅，則： 定理2.3.2 Lundberg逼近： 由Feller(1971,p,363), 其中，由此可得：定理2.3.3 令是一個右連續(xù)過程：(1) ；(2) 有平穩(wěn)獨立增量；(3) ;(4) 存在

17、某個,使得，那么我們有： 如果Y是一個具有正相對安全負荷的古典風險過程，則： = = 由此可得：令為破產(chǎn)時刻,即：很顯然，是一個停時，并記。 我們可以證明是一個鞅： = =選擇，考慮到是一個有界停時，則： = =在的條件下，則：在上式中令，則可得到在初始準備金為的條件下的破產(chǎn)概率的一個上界估計 為使上界盡可能小，定義調(diào)節(jié)系數(shù)： 在古典風險模型中，是方程即的正解，則可得到在初始準備金為的條件下的破產(chǎn)概率的一個上界估計： 3 一類帶干擾的風險模型保險公司是經(jīng)營風險的企業(yè),其風險無所不在,其中最根本的風險就是無償付能力的風險。因此破產(chǎn)概率自然地成為保險公司度量是否破產(chǎn)的最根本的工具。一般建立的風險模

18、型,幾乎不可能得出其破產(chǎn)概率的最精確的表達式。然而,要是能夠找出破產(chǎn)概率和哪些因素有關(guān)系是非常重要的,同時也是異常復雜的。在風險理論中，古典風險模型是探討歷史最悠久、理論較為完善的風險模型，但也是最一般的風險模型，模型中保險公司單位時間內(nèi)收到的保費是一常數(shù)，且索賠到達是一齊次Poisson過程。這樣的假設也就是說隨著時間的推移，保單數(shù)目沒有增加，也沒有減少，當然跟保險公司的實際經(jīng)營狀況不符，保險公司也不會愿意得到這樣的結(jié)果的；齊次Poisson過程的平穩(wěn)性也就是說索賠發(fā)生次數(shù)的強度為一正的常數(shù)。但在實際中，強度有可能不是一常數(shù)，而與時間有關(guān)系，即應將尺度波動考慮在內(nèi)。因此本文將古典風險模型進行

19、了推廣，建立了一類帶干擾的風險模型，模型中的保單到達計數(shù)過程為廣義Poisson過程，索賠到達計數(shù)過程為齊次Poisson過程，同時加上了干擾項，最終得到有限時間破產(chǎn)概率的一個上界和最終破產(chǎn)概率的上界。31 模型的建立 定義3.1.1 設服從參數(shù)為的Poisson分布，為廣義Poisson分布，、均為非負的獨立同分布隨機變量序列，其分布函數(shù)分別為和，均值分別為和，服從參數(shù)為的Poisson分布，為標準布朗運動，且假定，相互獨立，令，其中 由于題目所討論的保險公司的初始財富u和投資常利率I是不變的，故上式可表示為，其中 （3.1）稱式（3.1）中所定義的盈余過程為一類帶干擾的風險模型，其中，對任

20、一，均有。 實際背景：u表示保險公司的初始財富，I表示投資常利率，c表示每張保單的保費，表示擾動系數(shù)，表示保險公司內(nèi)收到的保單總數(shù)，表示個體索賠額，表示發(fā)生一次事故可能導致要求索賠的人數(shù)，表示發(fā)生的事故總次數(shù)。容易得到 ，因而能保證公司的穩(wěn)定經(jīng)營。由于初始準備金為，則破產(chǎn)時刻定義為 有限時間破產(chǎn)概率為 最終破產(chǎn)概率為 令 且假設存在，使當時，。易見 ，且在內(nèi)連續(xù)。3.2模型轉(zhuǎn)換：引理1：復合廣義Poisson模型可轉(zhuǎn)換為經(jīng)典復合Poisson模型。 ，其中 （3.2）且獨立同分布，是參數(shù)為b的Poisson過程。證明：由于，所以。令，并規(guī)定，那么（3.2）式成立。顯然是獨立同分布的且與獨立，為

21、經(jīng)典的復合Poisson模型。定理1：對于盈利過程，存在函數(shù)，使得證明如下：而 故從而有其中為個體索賠量Y的矩母函數(shù)。由定理1可得，盈余過程是一個右連續(xù)過程，又非齊次泊松過程具有獨立增量性及標準布朗運動具有平穩(wěn)獨立增量性，故得盈余過程具有獨立增量性（不具有平穩(wěn)性）。對于盈余過程，任意給定的有：從上式可得 令，其中。定理2：是-鞅。證明： 證畢引理2：對于獲利過程定義事件流，是F的非降子代數(shù)流，則是-鞅。證明：1、關(guān)于F是可測的； 2、對有 = = =3.3有限時間破產(chǎn)概率的一個上界估計定理3 對于有 式中：證明：由 得 又是-鞅，選取，則是一個有界-停時，由得： 又從而有 故有：式中：證畢。根

22、據(jù)算出的有限時間破產(chǎn)概率上界估計式，保險公司可以再依據(jù)以往公司所存的關(guān)于破產(chǎn)概率的報告書，更加明智地選擇合理的險種和適當?shù)谋ＹM，提前留下必需的資金，進而使得有限時間破產(chǎn)概率的值達到預想小的程度。3.4最終破產(chǎn)概率的上界估計定理4：方程存在唯一正解R(即調(diào)節(jié)系數(shù))，且。證明如下：我們先檢驗函數(shù)的凸凹性。經(jīng)計算可得： 故時有 故曲線在內(nèi)是凸函數(shù)，并且存在常數(shù)，使得任意實數(shù)時，從而得在內(nèi)有唯一的最小值，進而得到方程存在唯一正解R，記為。定理5 最終破產(chǎn)概率其中R為調(diào)節(jié)系數(shù)。為破產(chǎn)時刻證明：易知是的一個停時，且設，易知為有界停時，由停時定理及是-鞅及全期望公式得： 由于當時故有：所以從而得證畢4 結(jié)論

23、在保險公司實際的經(jīng)營的過程中，由于經(jīng)濟形勢的變化，在任意時刻不僅理賠的發(fā)生是隨機的，理賠額的大小是隨機的，而且保費的收入也是隨機的，因而經(jīng)典風險模型用恒定不變的齊次泊松過程描述理賠次數(shù)以及對保費收入以常數(shù)率到達的假設存在很大的局限性.本文把以上因素都綜合考慮在內(nèi)，對經(jīng)典風險模型進行推廣，將保單到達計數(shù)過程為廣義Poisson過程，索賠到達計數(shù)過程為齊次Poisson過程，同時加上干擾項，建立了一類帶干擾的風險模型：運用矩母函數(shù)等概率方法和鞅方法等隨機過程方法進行研究，從而它更符合公司的實際經(jīng)營情況.得到了有限時間破產(chǎn)概率的一個上界估計式中：最終破產(chǎn)概率的上界 參考文獻1 漢斯.蓋伯數(shù)學風險論導

24、引M北京：世界圖書出版公司，1997：16-402 Jan Grandell. Aspects of Risk TheoryM.NewYork：Springer-verlag,1991：4-953Asmussen.Ruin Probabilities M.Singapore .New Jersey .London.HongKong:World Scientific，2000：57-1314肖碧海.幾類非齊次復合泊松風險模型的研究D.長沙：中南大學，2006.5 鄧永錄，梁之舜隨機點過程及其應用M北京：科學出版社，1992：1-4416N.L.Bowers風險理論M上海：上?？茖W技術(shù)出版社，1995：25-817付芳芳，孔繁