matlab實驗三

1、1nMATLAB的所有數(shù)值功能都是以（復）矩陣為基本單元進行的，向量和標量都作為特殊的矩陣來處理，向量看作是僅有一行或一列的矩陣，標量看作是11的矩陣。實驗三 矩陣運算2 矩陣運算簡介nMATLAB中數(shù)組和矩陣是兩個不同的概念，確切的說矩陣是數(shù)組的一個特例，是二維的數(shù)值型數(shù)組，表示了一種線性變換的關系。n在MATLAB 中，從運算的角度看，矩陣運算從矩陣的整體出發(fā)，采用線性代數(shù)的運算規(guī)則，數(shù)組運算從數(shù)據(jù)的元素出發(fā)，針對每個元素進行運算。3MATLABMATLAB中創(chuàng)建矩陣應遵循的原則：中創(chuàng)建矩陣應遵循的原則：n矩陣的元素必須在方括號矩陣的元素必須在方括號“”中；中； n矩陣的同行元素之間用空格

2、或逗號矩陣的同行元素之間用空格或逗號“，”分隔；分隔；n矩陣的行與行之間用分號矩陣的行與行之間用分號“；”或回車符分隔；或回車符分隔； n矩陣的尺寸不必預先定義；矩陣的尺寸不必預先定義； n矩陣元素可以是數(shù)值、變量、表達式或函數(shù)；矩陣元素可以是數(shù)值、變量、表達式或函數(shù)；n無任何元素的空矩陣也是合法的。無任何元素的空矩陣也是合法的。 矩陣的創(chuàng)建42、矩陣的創(chuàng)建方法：（1）命令窗口直接輸入元素序列創(chuàng)建矩陣。（2）在M文件中用MATLAB語句創(chuàng)建矩陣。（3）通過MATLAB內(nèi)部函數(shù)創(chuàng)建矩陣。（4）通過外部數(shù)據(jù)文件導入創(chuàng)建矩陣。5 n命令窗口直接輸入命令窗口直接輸入: : 具體方法如下：將矩陣的元素用

3、方括號括起來，按矩具體方法如下：將矩陣的元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各元素，矩陣的同行元素之間用空格或陣行的順序輸入各元素，矩陣的同行元素之間用空格或逗號逗號“,”,”分隔，矩陣的行與行之間元素用分號分隔，矩陣的行與行之間元素用分號“;”;”或或回車符分隔；回車符分隔； X=1 2 3;4 5 6;7 8 9 Y=1,2,3;4,5,6;7,8,9 有運算表達式的矩陣有運算表達式的矩陣 Z=sin(pi/2),8*4;log(10),exp(2) 方法一： 命令窗口直接輸入 6方法二： 通過M文件創(chuàng)建矩陣n當矩陣的規(guī)模較大時，直接輸入法就力不從心，出現(xiàn)差錯也不容易修改。因此可以使用M

4、文件生成矩陣。n方法：建立一個M文件，其內(nèi)容是生成矩陣的命令，在MATLAB的命令窗口中輸入此文件名，即將矩陣調(diào)入工作空間（寫入內(nèi)存）。7方法二： 通過M文件創(chuàng)建矩陣n例3-2 用建立M文件的方式生成矩陣 (1) 建立M文件mydata.m內(nèi)容如下 function A=mydata A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 %生成矩陣 A=1，2，3；4，5，6；7，8，9 (2) 運行M文件mydata.m mydata 則生成矩陣A。 8方法三：通過函數(shù)創(chuàng)建矩陣nMATLAB中提供了一些內(nèi)部函數(shù)來生成特殊矩陣如eye生成單位陣，zeros生成全零陣等，n常用的生成特殊矩陣的函數(shù)將在后面介紹

5、。9 矩陣運算n主要介紹矩陣的算術運算、關系運算、邏輯運算和常用的有關矩陣的其他運算（矩陣的逆，矩陣的秩、矩陣的分解等）。 10 矩陣的算術運算1、矩陣的加（+）減（-）運算：nAB 矩陣A和矩陣B的和與差，即矩陣相應位置的元素相加、減。 進行加減運算的矩陣，要求維數(shù)相同，即行數(shù)和列數(shù)分別相等，如果A與B大小不同，MATLAB將自動給出錯誤信息。 A和B其中之一可以是標量，表示矩陣中的每個元素分別與標量相加減，結(jié)果為矩陣。 11 矩陣的算術運算例3-4 求A+B，A-2 例3-5 兩個矩陣如下所示,維數(shù)不同，求兩者相 減的差。132352423 ,543432321BA321,54343232

6、1BA12 A=1,2,3;2,3,4;4,5,6; B=3,2,4;2,5,3;2,3,1; A+Bans = 4 4 7 4 8 7 6 8 7 B+2ans = 5 4 6 4 7 5 4 5 3 A-2ans = -1 0 1 0 1 2 2 3 4 C=2,5,8;A+C? Error using = plusMatrix dimensions must agree.132、矩陣的乘法（*）和點乘（.*）nA*B 矩陣A和B的乘法。A和B其中之一可以是標 量，表示該標量與矩陣每個元素相乘。當A、B均為矩陣時，要求兩矩陣有相鄰公共階。nA.*B 矩陣A和B的對應位置元素相乘，要求A和B

7、維數(shù)相同。A和B其中之一可以為標量，表示該標量與矩陣每個元素相乘。 14例3-6 求A*5, A.*5，A*B，A.*B。132352423 ,543432321BA A*5ans = 5 10 15 10 15 20 20 25 30 A.*5ans = 5 10 15 10 15 20 20 25 30 A*Bans = 13 21 13 20 31 21 34 51 37 A.*Bans = 3 4 12 4 15 12 8 15 6153、 矩陣的左除（）、右除（/）和矩陣的點除法（.,./）n AB 相當inv(A)*B（A的逆陣左乘B），可以利用矩陣左除求解 線性方程組AX=b,X

8、=Ab。如果A奇異陣或接近奇異， MATLAB將會給出警告信息。nA/B 大體相當于A*inv(B)，但在計算方法上存在差異. nA./B 矩陣A的元素除以矩陣B的對應元素，即等于A(i,j)/B(i,j), 要求A和B為同維矩陣，或其中之一為標量。nA.B 矩陣B的元素除以矩陣A的對應元素，即等于B(i,j)/A(i,j), 要求A和B為同維矩陣，或其中之一為標量。n同階對應元素進行相除 A./B = B.A) (/ABBA16n例3-7 ， 求AB, B/A, A./C, A.C A.Cans= 1.0000 1.0000 1.0000 Inf 5.0000 Inf 2.3333 4.00

9、00 9.0000n注意：注意：在A.B的結(jié)果中，“Inf”表示無窮大，在MATLAB中，被零除或浮點溢出都不按錯誤處理，只是給出警告信息，同時用“Inf”標記。243654321C ,121 ,123010321BA174、 矩陣的冪運算：nAB A的B次方。 （1）A和B都是標量時，表示標量A的B次冪。 （2）A為矩陣，B為標量時要求A必須是方陣。 （3）當A為標量，B為矩陣時，要求B為方陣。 其中V為方陣A的特征向量矩陣， 為方陣A的特征值對角矩陣。（4）A和B都是矩陣時，無定義。1*1VAAVBAnnD1185、矩陣的點冪運算：. A.B 等于A(i,j)B(i,j),A和B維數(shù)相同或

10、其中一個為標量。例3-8 ，求：A3， A1.5， V,D=eig(A)，C=V*(D.1.5)*V(-1)，A.3，3.A,3p ,132352423 ,133212321BA196、矩陣的轉(zhuǎn)置： nA矩陣的轉(zhuǎn)置是把矩陣的行換成同序數(shù)的 列，得到新矩陣。如果A是復矩陣，則運 算結(jié)果是共軛轉(zhuǎn)置。nA.也表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，當A為復矩陣時，不 求共軛。例3-9 求：A,A.,B,B. 4321,1221BiiA20矩陣函數(shù)1、矩陣的共軛nMATLAB中求矩陣的共軛矩陣的函數(shù)是conj，其調(diào)用格式為： B=conj(A) 求矩陣A的共軛矩陣B，復數(shù)矩陣的共軛與復數(shù)的共軛類似，復數(shù)矩陣的共軛矩陣與復數(shù)

11、矩陣的實部相同，虛部相反。例3-12 求：A、B的共軛矩陣 4321 ,1221BiiA212、矩陣的秩nMATLAB中求矩陣秩的函數(shù)是rank，其調(diào)用格式為： rank(A) 求矩陣A的秩。3、方陣的行列式求方陣的行列式的函數(shù)為det，其調(diào)用格式為det(A)4、矩陣的特征值分解nMATLAB中，求方陣的特征值和特征向量的函數(shù)為eig，調(diào)用格式如下： e=eig(A) 求方陣A的特征值組成的列向量e。225、矩陣的逆和偽逆nB=inv(A) 求矩陣A的逆。要求矩陣A是方陣且是非奇異的，如果A是病態(tài)的或接近奇異的，則會給出警告信息。nB=pinv(A) 求矩陣A的偽逆。如果A不是方陣或A是奇異

12、陣，則可以用函數(shù)pinv(A)求得A的偽逆。偽逆只有逆的某些性質(zhì)，與逆不同。其求解是建立在奇異值分解和把小于默認誤差的奇異值當作0的基礎上計算的，且滿足B*A=I或A*B=I中的一個。nC=rref(A) 求矩陣A的行簡化階梯形，如果不能確定矩陣A是否非奇異，我們可以用行簡化階梯形進行判斷。23n在實際應用中很少顯式地使用矩陣的逆。n在MATLAB中很少使用求逆法x=inv(A)*b來求線性方程組Ax=b的解，而使用矩陣除法x=Ab來求解。n因為MATLAB設計函數(shù)inv時，采用的是高斯消去法，而設計除法求解線性方程組時，并不求逆，而是直接用高斯消去法求解，有效減少了殘差，并提高了求解速度。n

13、因此因此MATLABMATLAB推薦盡量使用除法運算，少用求逆運算。推薦盡量使用除法運算，少用求逆運算。注意：注意：24例3-13 矩陣的逆和偽逆% magic(n)函數(shù)返回一個由整數(shù)1到整數(shù)n2組成的nn矩陣。%該矩陣的各行與各列元素的和相等，n3 A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 B=rand(3)B = 0.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889 -0.1028 A*Bans = 1.0000 0 -0.0000 -0.0000 1.0000 0 0.0000 0 1.000025 C

14、*Dans = 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 D*Cans = 0.6668 0.2909 0.3709 0.2909 0.7461 -0.3238 0.3709 -0.3238 0.5871 C=rand(2,3)C = 0.8147 0.1270 0.6324 0.9058 0.9134 0.0975 D=pinv(C)D = 0.5492 0.2421 -0.6520 0.9075 1.0047 -0.494126 矩陣的特殊操作1 常用的特殊矩陣常用的特殊矩陣1、空矩陣n空矩陣由下列命令創(chuàng)建：nA= 空陣中不包括任何元素，是00階的矩陣；空陣可以在MATLAB

15、的運算中傳遞。nMATLAB中還定義了空向量。當nA=1,2,3,4,5；6,7,8,9,10；11,12,13,14,15；16,17,18,19,20;A(2:3,4:5)ans= 9 10 14 15 A(1,2,2,4)ans = 2 4 7 931n還可以利用一般向量和end運算符來表示矩陣下標，end 表示矩陣某維的末尾元素下標。例如： A(end,:) %取A最后一行 ans = 16 17 18 19 20 A(1,4,3:end) %取A第1，4行中第3列到最后一列的元素 ans = 3 4 5 18 19 2032n還有一種經(jīng)常用到的命令是A(:) ，A(:)在賦值語句的右

16、端表示由矩陣A的元素按列的順序排成的列向量。例如： A=1,2;3,4 b=A(:) b = 1 3 2 433n如果A(:)出現(xiàn)在賦值語句的左端，表示用一個向量對矩陣A進行賦值，此時矩陣A必須事先存在。如，A是上述矩陣，那么A(:)=5:8，表示行向量（5，6，7，8）的4個元素依次按照列順序給A的元素賦值，保持A的維數(shù)不變。 A= 5 7 6 8342、部分擴充 （1）單個矩陣的擴充n對一個矩陣的單個元素進行賦值和操作，如：nA(3,2)=200 % 表示將矩陣A的第3行第2列元素賦值為200n如果給出的行值和列值大于原矩陣的行數(shù)和列數(shù)，MATLAB自動擴展原矩陣，擴展后未賦值的元素置為0

17、。35例3-17 單個矩陣擴充A=1,2,3;4,5,6； A(2,3)=10A = 1 2 3 4 5 10A(4,5)=10A = 1 2 3 0 0 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1036（2）多個矩陣組成大矩陣n大矩陣可以由多個小矩陣按行列排列在方括號中建立。如： C=A,eye(size(A);ones(size(A),A，則 即987654321AAAsizeonesAsizeeyeAC)()(987111654111321111100987010654001321C373、部分刪除、部分刪除 n利用空矩陣的特性，可以從一個矩陣中刪除部分行和部分利用空矩陣

18、的特性，可以從一個矩陣中刪除部分行和部分列元素。如：列元素。如：A A是一個是一個4 45 5的矩陣，的矩陣，A(:,3,4)= A(:,3,4)= 表示表示刪除刪除A A的第的第3 3列和第列和第4 4列元素。列元素。 例例3-18 3-18 矩陣的部分刪除矩陣的部分刪除 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 A = A = 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 A(1,3,:)= A(1,3,:)= A = A = 4 5 6 4 5 6384、部分修改 n當矩陣的角標出現(xiàn)在等號左端時，表示對原矩陣中的部分或全部元

19、素重新賦值。n如：A(1,3,:)=B(1,2,:) 表示將矩陣A的第1、3行用矩陣B的1，2行代替。 例3-19 矩陣的部分修改 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9； B=zeros(4,3)； A(1,3,:)=B(1,2,:) A = 0 0 0 4 5 6 0 0 0395、矩陣的變維nMATLA可以實現(xiàn)矩陣元素的重新排列，以實現(xiàn)矩陣尺寸或維數(shù)的變化。根據(jù)MARLAB矩陣元素的排列順序規(guī)則，重新排列的元素按照先排列，再排行，然后排列第三維，第四維的順序排列。n命令：C=reshape(A,m,n) A為原始矩陣，C為變維后的矩陣，m,n等分別為新矩陣各維的階數(shù)(行、列等）。新矩陣的

20、各維階數(shù)的乘積必須與原矩陣的各維階數(shù)的乘積相同。40例3-20 矩陣的變維A=1:12; reshape(A,3,4)ans = 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 1241 6、矩陣的翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)n對矩陣進行翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)的函數(shù)如下：nB=fliplr(A) 對矩陣A進行左右翻轉(zhuǎn)生成矩陣B，如果A是行向量，則返回一個大小和A 相同，元素的排列順序和A相反的行向量；如果A是列向量，返回A本身。nB=flipud (A) 對矩陣A進行上下翻轉(zhuǎn)生成矩陣B，如果A是行向量，返回A本身；如果A是列向量，則返回一個大小和A相同，元素的排列順序和A相反的列向量。nB=flipdim(A,dim) 矩

21、陣A的第n維翻轉(zhuǎn)生成矩陣B，dim=1時，行翻轉(zhuǎn)，相當于flipud; dim=2時，列翻轉(zhuǎn)，相當于fliplr。42nB=rot90(A) 將矩陣A逆時針旋轉(zhuǎn)90。生成矩陣B。nB=rot90(A,k) 將矩陣A逆時針旋轉(zhuǎn)k*90。生成矩陣B，k是整數(shù)。43 例3-21 對矩陣進行翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn) A=1,2,3;4,5,6 ; flipud(A)ans = 4 5 6 1 2 3 flipdim(A,1)ans = 4 5 6 1 2 3 fliplr(A)ans = 3 2 1 6 5 4 flipdim(A,2)ans = 3 2 1 6 5 4 rot90(A)ans = 3 6 2 5 1 4 rot90(A,2)ans = 6 5 4 3 2 1 rot90(A,-1)ans = 4 1 5 2 6 3654321A447、矩陣的抽取n矩陣的抽取包括：抽取對角線元素(diag)，抽取矩陣的上三角(triu)和下三角(tril)部分。函數(shù)的調(diào)用格式如下：nb=diag(A,n) 抽取矩陣A的第n條對角線生成列