求導(dǎo)法則經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)趙樹嫄PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1求導(dǎo)法則經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)趙樹嫄求導(dǎo)法則經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)趙樹嫄2021年8月7日星期六2定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、積、商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面證明,并同時給出相應(yīng)的推論和例題 .)0)(xv第1頁/共28頁2021年8月7日星期六3此法則可推廣到任意有限項的情形.設(shè), 則vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxv

2、xuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故結(jié)論成立.wvuwvu)( ,例如第2頁/共28頁2021年8月7日星期六4vuvuvu )(證證: :設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: : )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C為常數(shù) )第3頁/

3、共28頁2021年8月7日星期六5解: :xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy1.xyy求及及 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx第4頁/共28頁2021年8月7日星期六6)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2vvuvuvu證證: :設(shè))(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )

4、(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論: :2vvCvC( C為常數(shù) )第5頁/共28頁2021年8月7日星期六7 )(csc xxsin1x2sin)(sinxx2sin,sec)(tan2xx證證: : .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第6頁/共28頁2021年8月7日星期六8 )( xf定理定理2. y 的某鄰域

5、內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證: :在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此1( )( ),yf xxfy設(shè)為數(shù)的反函1( )fy在1( )0fy 且d dyx或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx00,xy 時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11第7頁/共28頁2021年8月7日星期六91解解: :1)設(shè),arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2

6、arccos利用0cosy, 則第8頁/共28頁2021年8月7日星期六10, )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)ea時,小結(jié)小結(jié):第9頁/共28頁2021年8月7日星期六11在點(diǎn) x 可導(dǎo), lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3.)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點(diǎn) x 可導(dǎo),證證:

7、)(ufy 在點(diǎn) u 可導(dǎo),故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng) 時 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy第10頁/共28頁2021年8月7日星期六12 例例4. 求 y = sin x2 的導(dǎo)數(shù).2(sin )()uyux解解22 cosxx2cos()ux 222(sin)cos()yxxx設(shè) y = sinu u= x222 cosxx1122222221()()()2yxaxaxa22122xxuxa 例例5. 求 的導(dǎo)數(shù).22axy22yuuxa解解 設(shè)設(shè)22()()uyuxa2221222)(21axxxax第11頁/共28頁2021年8月7日

8、星期六13例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: : 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).第12頁/共28頁2021年8月7日星期六14. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: : (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch說明說明: : 類似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax第13頁/共28頁2021年8月7日星

9、期六15,)cos(lnxey 求.ddxy解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: :若)(uf 存在,如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個記號含義不同練習(xí)練習(xí): :設(shè),)(xfffy ( ).f xy導(dǎo)其中可,求第14頁/共28頁2021年8月7日星期六16, )1(ln2xxy.y求解: : y112xx11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx則 )(arsh x112x(反雙曲正弦)其它反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)見 P94例例16. 2shxxeex的反函數(shù)第1

10、5頁/共28頁2021年8月7日星期六171. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cos xxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(sec xxxtansec )(csc xxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccos x211x )(arctan x211x )cot(arcx211x第16頁/共28頁2021年8月7日星期六18 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0(

11、 v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), , )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: : 最基本的公式uyddxudd其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)第17頁/共28頁2021年8月7日星期六19求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8.設(shè)),0( aaaxyxaaaxa1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln第18頁/共28頁2021年8月7日星期六20求解解:,1a

12、rctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: : 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)第19頁/共28頁2021年8月7日星期六21求,1111ln411arctan21222xxxy.y y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx第20頁/共28頁2021年8月7日星期六22例例12.).(,0,0,sin)(xfxxxxx

13、f 求設(shè)分段函數(shù)求導(dǎo)時,分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.解解,0時時當(dāng)當(dāng) xxxfcos)( ,1)( xf,0時時當(dāng)當(dāng) x,0時時當(dāng)當(dāng) x10)0sin(lim)0(0 hhfh10lim)0(0 hhfh. 1)0( f.0, 10,cos)( xxxxf第21頁/共28頁2021年8月7日星期六23例例13.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy練習(xí)：練習(xí)：.1sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 211ln(1)ln(2)23yxx2113(2)xyxx 第22頁/共28頁2021年

14、8月7日星期六24求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則 (見 P94)注意注意: : 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).41143x1.xx1431x思考與練習(xí)思考與練習(xí)對嗎?2114341xx第23頁/共28頁2021年8月7日星期六25, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a閱讀 L.P 51 例1 正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),第24頁/共28頁2021年8月7日星期六26解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln第25頁/共28頁2021年8月7日星期六27),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: :方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!9