函數(shù)的極值ppt課件

1、函數(shù)的極值函數(shù)的極值：t./ ；:；2一、復(fù)習(xí)與引入一、復(fù)習(xí)與引入: : 上節(jié)課上節(jié)課,我們講了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研討函數(shù)的單調(diào)我們講了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研討函數(shù)的單調(diào)性這個問題性這個問題.其根本的步驟為其根本的步驟為:求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域; ;求函數(shù)的導(dǎo)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù) ; ;)(xf 解不等式解不等式 0 0得得f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間; ; 解不等式解不等式 0 f(x1).o oa aX1X1X2X2X3X3X4X4b bax xy y)(4xf)(1xf (4)函數(shù)的極值點一定出如今區(qū)間的內(nèi)部函數(shù)的極值點一定出如今區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端區(qū)間的端點不能成為極值點點不

2、能成為極值點.而使函數(shù)獲得最大值、最小值的點而使函數(shù)獲得最大值、最小值的點能夠在區(qū)間的內(nèi)部能夠在區(qū)間的內(nèi)部,也能夠在區(qū)間的端點也能夠在區(qū)間的端點. 在上節(jié)課中在上節(jié)課中,我們是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研討函數(shù)的我們是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研討函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性的.下面我們利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研討函數(shù)的極值下面我們利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研討函數(shù)的極值問題問題. 由上圖可以看出由上圖可以看出,在函數(shù)獲得極值處在函數(shù)獲得極值處,假設(shè)曲線有切假設(shè)曲線有切線的話線的話,那么切線是程度的那么切線是程度的,從而有從而有 .但反過來不但反過來不一定一定.如函數(shù)如函數(shù)y=x3,在在x=0處處,曲線的切線是程度的曲線的切線是程度的,但

3、這但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大,也不比它附也不比它附近的點的函數(shù)值小近的點的函數(shù)值小.假設(shè)假設(shè)x0使使 .那么在什么情況那么在什么情況下下x0是是f(x)的極值點呢？的極值點呢？0)(0 xf0)(0 xfo oa aX00X00b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xfo oa aX0X0b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xf 如上左圖所示如上左圖所示,假設(shè)假設(shè)x0是是f(x)的極大值點的極大值點,那么那么x0兩兩側(cè)附近點的函數(shù)值必需小于側(cè)附近點的函數(shù)值必需小于f(x0) .因此因此, x0的左側(cè)附近的左側(cè)附近f

4、(x)只能是增函數(shù)只能是增函數(shù),即即 ; x0的右側(cè)附近的右側(cè)附近f(x)只能是減只能是減函數(shù)函數(shù),即即 0)( xf. 0)( xf 同理同理,如上右圖所示如上右圖所示,假設(shè)假設(shè)x0是是f(x)極小值點極小值點,那么那么在在x0的左側(cè)附近的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù)只能是減函數(shù),即即 ;在在x0的的右側(cè)附近只能是增函數(shù)右側(cè)附近只能是增函數(shù),即即 . 0)( xf0)( xf 從而我們得出結(jié)論從而我們得出結(jié)論:假設(shè)假設(shè)x0滿足滿足 ,且在且在x0的兩的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,那么那么x0是是f(x)的極值點的極值點,f(x0)是極值是極值,并且并且假設(shè)假設(shè) 在在x0兩側(cè)滿足兩側(cè)滿足“左正

5、右負(fù)左正右負(fù),那么那么x0是是f(x)的極大的極大值點值點,f(x0)是極大值是極大值;假設(shè)假設(shè) 在在x0兩側(cè)滿足兩側(cè)滿足“左負(fù)右正左負(fù)右正,那那么么x0是是f(x)的極小值點的極小值點,f(x0)是極小值是極小值.0)(0 xf)(xf )(xf 從曲線的切線角度看從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率曲線在極值點處切線的斜率為為0,并且并且,曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為右側(cè)為負(fù)負(fù);曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負(fù)曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正右側(cè)為正. 普通地普通地,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在在x0處延續(xù)時處延續(xù)時,判別判別f(x0

6、)是極大是極大(小小)值的方法是值的方法是: (1):假設(shè)在假設(shè)在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么,f(x0)是極大值是極大值;, 0)(, 0)( xfxf (2):假設(shè)在假設(shè)在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么,f(x0)是極小值是極小值., 0)(, 0)( xfxf要留意以下兩點要留意以下兩點: (1)不可導(dǎo)函數(shù)也能夠有極值點不可導(dǎo)函數(shù)也能夠有極值點.例如函數(shù)例如函數(shù)y=|x|,它在它在點點x=0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo),但但x=0是函數(shù)的極小值點是函數(shù)的極小值點.故函數(shù)故函數(shù)f(x)在在極值點處不一定存在導(dǎo)數(shù)極值點處不一定存在導(dǎo)數(shù). (2)可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為

7、零的點可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點,反之反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)的極值點不一定是該函數(shù)的極值點.例如例如,函數(shù)函數(shù)y=x3,在點在點x=0處的導(dǎo)數(shù)為零處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點但它不是極值點,緣緣由是函數(shù)在點由是函數(shù)在點x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.因此導(dǎo)因此導(dǎo)數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件其充分條件是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號. 因此因此,利用求導(dǎo)的方法利用求導(dǎo)的方法,求函數(shù)的極值時求函數(shù)的極值時,在函數(shù)的在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求能夠取到極值的定義域內(nèi)尋求能夠

8、取到極值的“可疑點可疑點,除了確定其除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點外導(dǎo)數(shù)為零的點外,還必需確定函數(shù)定義域內(nèi)一切不可導(dǎo)還必需確定函數(shù)定義域內(nèi)一切不可導(dǎo)的的點點,這兩類點構(gòu)成了函數(shù)定義域內(nèi)一切的能夠取到極值這兩類點構(gòu)成了函數(shù)定義域內(nèi)一切的能夠取到極值的的“可疑點可疑點.三、例題選講三、例題選講: :例例1:求求y=x3/3-4x+4的極值的極值.解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 極大值極大值28/3 極小值極小值-4/3

9、因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-2時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值極大值=28/3;而而,當(dāng)當(dāng)x=2時有極小值時有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 4/3.總結(jié)總結(jié):求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟如下的極值的步驟如下:(1).求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)).(xf (2).求方程求方程 的根的根.0)( xf(3)檢查檢查 在方程根左右的值的符號在方程根左右的值的符號,假設(shè)左正右負(fù)假設(shè)左正右負(fù), 那么那么f(x)在這個根處獲得極大值在這個根處獲得極大值;假設(shè)左正右負(fù)假設(shè)左正右負(fù),那那 么么f(x)在這個根處獲得極大值在這個根處獲得極大值.)(xf 例例2:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.)0()(2 a

10、xaxxf解解:函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 極大值極大值-2a 極小值極小值2a 故當(dāng)故當(dāng)x=-a時時,f(x)有極大值有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)當(dāng)x=a時時,f(x)有極有極小值小值f(a)=2a.闡明闡明:此題中的極大值是小于極小值的此題中的極大值是小于極小值的,這充分闡明極值這充分闡明極值 與

11、最值是完全不同的兩個概念與最值是完全不同的兩個概念.練習(xí)練習(xí)1:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值極大值-3 極小值極小值3 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-1時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值極大值=3;而而,當(dāng)當(dāng)x=1時有極小值時有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 3.例例3:知函數(shù)知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)在

12、在x=0,x=4處獲得極值處獲得極值,且極小值為且極小值為-1, 求求a、b的值的值. (2)假設(shè)假設(shè) ,函數(shù)函數(shù)f(x)圖象上的恣意一點的切線圖象上的恣意一點的切線斜斜 率為率為k,試討論試討論k-1成立的充要條件成立的充要條件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于當(dāng)由于當(dāng)x0時時, 故當(dāng)故當(dāng)x=0時時,f(x)到達(dá)極小值到達(dá)極小值f(0)=b,所以所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等價于當(dāng)?shù)葍r于當(dāng) 時時,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10對一切對一切 恒成立

13、恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,當(dāng)當(dāng)a1時時,g(x)0對一切對一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要條件成立的充要條件. 第二課時第二課時一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí): :1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在x0及其附近有定義及其附近有定義,假設(shè)假設(shè)f(x0)的值比的值比x0 附近一切各點的函數(shù)值都大附近一切各點的函數(shù)值都大,我們說我們說f(x0)是函數(shù)是函數(shù)y=f(x) 的一個極大值的一個極大值;假設(shè)假設(shè)f(x0)的值比的值比x0附近一切各點的函附近一切各點的函 數(shù)值都小數(shù)值都小,我們說

14、我們說f(x0)是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值的一個極小值.極極 大值與極小值統(tǒng)稱極值大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在在x0處延續(xù)時處延續(xù)時,判別判別f(x0)是極大是極大(小小)值的方值的方 法是法是: (1):假設(shè)在假設(shè)在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么,f(x0)是極大值是極大值;, 0)(, 0)( xfxf (2):假設(shè)在假設(shè)在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么,f(x0)是極小值是極小值., 0)(, 0)( xfxf3.了解函數(shù)極值的定義時應(yīng)留意以下幾點了解函數(shù)極值的定義時應(yīng)留意以下幾點:(1)函數(shù)的極值是一個部分性的概念函數(shù)的極值是一

15、個部分性的概念,極值點是區(qū)間內(nèi)極值點是區(qū)間內(nèi) 部的點而不會是端點部的點而不會是端點.(2)假設(shè)假設(shè)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一在某區(qū)間內(nèi)一定定 不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不即極大值不 一定比極小值大一定比極小值大,極小值不一定比極大值小極小值不一定比極大值小.(4)函數(shù)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點的分布是它的極值點的分布是 有規(guī)律的有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值相鄰兩個極大值

16、點之間必有一個極小值 點點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點. 普通地普通地,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上延續(xù)且有有限極值在某區(qū)間上延續(xù)且有有限極值 點時點時,函數(shù)函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點 是交替出現(xiàn)的是交替出現(xiàn)的.(5)導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是而不是 充分條件充分條件.(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,了解可導(dǎo)函數(shù)在了

17、解可導(dǎo)函數(shù)在 其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握利掌握利 用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)極值的根本方法用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)極值的根本方法.例例1:知函數(shù)知函數(shù) f(x)滿足條件滿足條件:當(dāng)當(dāng)x2時時, ;當(dāng)當(dāng) x2,由條件可知由條件可知 ,即即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 xxfxg當(dāng)當(dāng) 時時,x20,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 0 + f(x) 極大極大值值 極小極小值值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.

18、(2)設(shè)設(shè)a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值極小值 極大值極大值 )1,( ), 1( )(xf 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.練習(xí)練習(xí)1:知函數(shù)知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1處有極值為處有極值為 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一個根有一個根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由、解得由、解得 或或.33114 baba當(dāng)當(dāng)a=-3,b=3時時, ,此時此時f(x)在在x=1處無處無極值極值,不合題意不合題意.0) 1( 3)(2 xxf當(dāng)當(dāng)a=4,b=-11時時,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1時時, ,此時此時x=1是極