中國石油大學(華東)理論力學課件動量定理20121203

1、yyyy年M月d日前言前言 質點和質點動力學方程是解決動力學問題的基本質點和質點動力學方程是解決動力學問題的基本方程，但在實際情況中，其求解會遇到很多方程，但在實際情況中，其求解會遇到很多困難困難。但。但從質點系動力學微分方程可以推出動力學普遍定理，從質點系動力學微分方程可以推出動力學普遍定理，包括動量定理、動量矩定理和動能定理。這些定理有包括動量定理、動量矩定理和動能定理。這些定理有明確的物理意義。明確的物理意義。 動力學普遍定理動力學普遍定理 建立了質點系運動特征量（動建立了質點系運動特征量（動量、動量矩、動能）與質點系所受機械作用的量（力、量、動量矩、動能）與質點系所受機械作用的量（力、

2、沖量、力矩、功）之間的關系。運用這些定理，可以沖量、力矩、功）之間的關系。運用這些定理，可以比較方便的解決質點系動力學的一些問題。比較方便的解決質點系動力學的一些問題。 本章研究動量定理。本章研究動量定理。動量定理動量定理表達了表達了動量動量與與沖量沖量之間的關系。之間的關系。22-1 22-1 動量和沖量動量和沖量質點的動量質點的動量-矢量與速度相同矢量與速度相同vmP動量動量是度量機械運動強度的物理量是度量機械運動強度的物理量單位單位s/mkg不同時間，不同的運動速度，動量也不同（瞬時）不同時間，不同的運動速度，動量也不同（瞬時）質點系的動量質點系的動量iinnvmvmvmvmP22112

3、2-1 22-1 動量和沖量動量和沖量沖量沖量：物體運動的變化大小，與外力的大小、方向有關，：物體運動的變化大小，與外力的大小、方向有關，也與力作用時間有關。力在一段時間內的累積效應稱為力的也與力作用時間有關。力在一段時間內的累積效應稱為力的沖量沖量。常力沖量常力沖量tFI沖量沖量是度量力作用時間積累的物理量是度量力作用時間積累的物理量與力矢方向相同，只與力矢方向相同，只是它們長度不同。是它們長度不同。變力沖量變力沖量tFIttd21單位單位s /mkg運動速度運動速度力的作用力的作用動量動量沖量沖量vmPtFIttd21狀態(tài)（瞬時狀態(tài)（瞬時) )性性階段（過程階段（過程 ）性）性22-2 2

4、2-2 質點的動量定理質點的動量定理按牛頓第二定律按牛頓第二定律Mv寫成寫成xyzoFtvmddF2v1v1M2M2mv1mvIFvmt)(dd即即FtPdd質點動量對時間的變化率等于作用于質點動量對時間的變化率等于作用于質點的力。微分形式的質點的力。微分形式的 動量定理動量定理。MvxyzoF2v1v1M2M2mv1mvI在某個時間間隔內積分，得在某個時間間隔內積分，得ItFvmvmtt21d)()(12明確的物理意義：明確的物理意義：一段時間內，動量的變化量等于一段時間內，動量的變化量等于力的沖量，該式積分形式的力的沖量，該式積分形式的動量動量定理定理，也稱，也稱力的沖量定理力的沖量定理。

5、FtPdd22-3 22-3 質點系的動量定理質點系的動量定理求和求和*)(ddiiiiFFvmt設質點系有設質點系有n各質點所組成，其中第各質點所組成，其中第i各質點各質點M i的質量為的質量為mi，速度為，速度為vi，它所受到的外力的合力為，它所受到的外力的合力為Fi，內力的合力為內力的合力為 。對于每一個質點有。對于每一個質點有*iF*)(dd)(ddiiiiiiFFvmtvmt0*iF內力的合力為內力的合力為 質點系的定量記為：質點系的定量記為：得出得出iFtPddPvmii質點系動量對時間的變化率等于作用于質點系的外力。質點系動量對時間的變化率等于作用于質點系的外力。微分形式的微分形

6、式的質點系動量定理質點系動量定理。*)(dd)(ddiiiiiiFFvmtvmt0*iF在某個時間間隔內積分，得在某個時間間隔內積分，得ittiItFPP21d12明確的物理意義：明確的物理意義：一段時間內，質點系動量增量（矢量和）等一段時間內，質點系動量增量（矢量和）等于各力沖量矢量和，該式積分形式的于各力沖量矢量和，該式積分形式的質點系質點系動量定理動量定理，也稱，也稱質點系沖量定理質點系沖量定理。iFtPdd矢量相等，在任意方向上投影也相等，如在矢量相等，在任意方向上投影也相等，如在x、y、z軸的投影為軸的投影為ixttixxxItFPP21d12iyttiyyyItFPP21d12iz

7、ttizzzItFPP21d12ixxFtPddiyyFtPddizzFtPddittiItFPP21d12特殊情況特殊情況iivm若在某個力學過程中，若在某個力學過程中， 則則 ,0iF常數(shù)常數(shù)ixivm若在某個力學過程中，若在某個力學過程中， 則則 ,0ixF常數(shù)常數(shù)動量守恒定理動量守恒定理動量投影動量投影守恒定理守恒定理P是常數(shù)是常數(shù)iFtPdd 求求 錘對工件的平均壓力錘對工件的平均壓力。G研究對象研究對象解解2Mh1Mght2錘錘例例 圖示自由下落的鐵錘，已知圖示自由下落的鐵錘，已知,kg3000m, ,歷時歷時 。m5 . 1hs01. 0運動分析運動分析自由落體自由落體受力分析受

8、力分析考慮考慮 兩個時刻，由質點的動量定理兩個時刻，由質點的動量定理)(,0ttNyNyG2Mh1Mght2得得NtG)(00考慮考慮 兩個時刻，由質點的動量定理兩個時刻，由質點的動量定理)(,0tt1211ghGtGN代入數(shù)據(jù)得代入數(shù)據(jù)得kN165618 . 95 . 1201. 018 . 93000N求求 火箭速度的變化規(guī)律?；鸺俣鹊淖兓?guī)律。 解解例例 圖示火箭，起飛前的總質量為圖示火箭，起飛前的總質量為o，其中，其中燃料的質量為燃料的質量為，設單位時間消耗的燃料，設單位時間消耗的燃料質量為質量為，噴出的燃料氣體的相對速度為，噴出的燃料氣體的相對速度為；研究對象研究對象不計空氣阻力，

9、火箭在重力場中鉛垂向上飛行。不計空氣阻力，火箭在重力場中鉛垂向上飛行?；鸺鸺? -變變質量質點系質量質點系cv 以地面發(fā)射點為原點，取以地面發(fā)射點為原點，取x軸鉛垂向上，軸鉛垂向上，cvMvI 1任意瞬時任意瞬時 t火箭質量為火箭質量為 M 速度為速度為v動量為動量為cvvtqvvtqMIdddd2瞬時瞬時 t+dt火箭質量為火箭質量為 M- -qdt速度為速度為v+dv動量為動量為噴出的燃料氣體的質量為噴出的燃料氣體的質量為qt其速度為其速度為v+dv+cctqvMMvddcvGMvI 1受力分析受力分析ctqvMIIIddd12變力變力 G在在dt時間內，動量變化為時間內，動量變化為由微

10、分形式的質點系動量定理，由微分形式的質點系動量定理，得得ctqvMMvIdd2GqctvMtIdddd令令 GtvMdd稱反推力，得稱反推力，得qc 即變質量質點的即變質量質點的運動微分方程運動微分方程cvG從起飛計算時間，則從起飛計算時間，則t時，時，v0；在瞬時；在瞬時t，火箭，火箭的質量的質量t，有有qcgqtMtvqtMx0dd即即 GtvMddcqtMqgtvxddcvGtcqtMqqvtvxdd0000分離變量后積分，得分離變量后積分，得cqtMqgtvxddqtMMcqtvx00ln得得1001maxlnMMMcqMqv當當t=M1/q時燃料燒完，這時火箭的速度為時燃料燒完，這時

11、火箭的速度為mxmxiic 設由設由n個質點組成的質點系，第個質點組成的質點系，第i個質點的質量為個質點的質量為mi，對于固定直角坐標系的為對于固定直角坐標系的為xi、yi、zi，矢徑為，矢徑為ri，則該質點系的質量中心（質心）則該質點系的質量中心（質心）C C的坐標為的坐標為22-4 22-4 質心運動定理質心運動定理mymyiicmzmziicmmiicr rr riinnmmmmmr rr rr rr rr rc c2211即即改寫為改寫為xyzoij質質點系的質量中心點系的質量中心質點系動量等于質點系質量與質心速度乘積質點系動量等于質點系質量與質心速度乘積Pmmmmmiincv vv

12、vv vv vv v12211兩邊求導，得兩邊求導，得iinncmmmmma aa aa aa aa a2211將將 代入質點系質點系動量定理，改寫為代入質點系質點系動量定理，改寫為cmPv viiicFamam質心運動微分方程質心運動微分方程 質點系的質量與質心加速度的乘積等于該質點質點系的質量與質心加速度的乘積等于該質點所受外力的矢量和。所受外力的矢量和。iinnmmmmmr rr rr rr rr rc c2211質心運動定理質心運動定理質點系質心的運動與這樣一個質點系質心的運動與這樣一個質點的運動相同，此質點具有質系的質量，且質點的運動相同，此質點具有質系的質量，且其上作用著質點系所受

13、的全部外力。其上作用著質點系所受的全部外力。iiicFamam特殊情況特殊情況cv若若 ，0iF常矢量常矢量質心運動守恒定理質心運動守恒定理0ca則則 , ,即即 cxv若若 ，0iX常矢量常矢量0cxa則則 , ,即即 質心運動守恒定理投影形式質心運動守恒定理投影形式例例 圖示固定在水平基礎上的電動機，外殼及圖示固定在水平基礎上的電動機，外殼及求求 螺栓和基礎對電動機的反力。螺栓和基礎對電動機的反力。解解 研究對象研究對象0, 011yx定子重定子重P1，質心，質心O1在轉子的軸線上，轉子在轉子的軸線上，轉子重重P2，質心，質心O2由于制造偏差而與其軸線由于制造偏差而與其軸線相距相距r，轉子

14、以勻角速度轉動。，轉子以勻角速度轉動。t1o2oc2Pxy1P定子、轉子定子、轉子-質點系質點系定子質心坐標定子質心坐標0, 011yxto2oc2Pxy1PyNxNtrytrxsin,cos22轉子質心坐標轉子質心坐標212212sin,cosPPtrPyPPtrPxCc質系質心坐標質系質心坐標xcNgtrPtxgPPcosdd22221由質心運動定理由質心運動定理受力分析受力分析xcNgtrPtxgPPcosdd22221由質心運動定理由質心運動定理2122221sinddPPNgtrPtygPPyc聯(lián)立求得聯(lián)立求得gtrPNxcos22gtrPPPNysin2221to2oc2Pxy1PyNxN例例 圖示船圖示船0Xa2byxAoBlBA解解求求 。研究對象研究對象 人人 船船 質點系質點系受力分析受力分析故質心