機(jī)械故障診斷粗糙集理論

1、機(jī)械故障診斷粗糙集理論姓名：學(xué)號(hào):指導(dǎo)老師： 粗糙集理論是由Z.Pawlak于1982年提出的一種新的處理模糊和不確定性知識(shí)的數(shù)學(xué)工具。其主要思想是在保持分類能力不變的情況下，通過知識(shí)約簡(jiǎn)，導(dǎo)出問題的決策和分類規(guī)則。目前，粗糙集理論已被成功應(yīng)用于機(jī)械學(xué)習(xí)、決策分析、過程控制、模式識(shí)別以及數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域。 一、一般概念 論域： 是我們感興趣的對(duì)象組成的有限集合。 概念(類，范疇）：任意子集 ，稱為U的一個(gè)概念。（空集也是一個(gè)概念） 論域U的分類： ,使得UUX.,21NXXXF UXnjijiXXXUXijiii;.,2 , 1,; 給定知識(shí)庫(kù)K=（U,R),其中，U為論域，R為U上的等價(jià)關(guān)系族

2、。等價(jià)關(guān)系族的子集 ，則 對(duì)論域的劃分記為IND(P)。IND(P)也是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并稱為U上的不可分關(guān)系，則存在子集 和一個(gè)等價(jià)關(guān)系 IND(K)定義為K中所有等價(jià)類的族，記作： 等價(jià)關(guān)系R將論域U劃分為不相交的子集，稱為等價(jià)類。相同等價(jià)類的元素是不可分的。 例1 給定一玩具積木的集合 ，并假設(shè)這些積木有不同的顏色（紅、黃、藍(lán)），形狀（方、圓、三角），體積（小、大）。因此，這些積木都可以用顏色、形狀、體積這些知識(shí)的描述，例如，一塊積木可以是紅色、小而圓的，或者黃色、小而方的等。如果我們根據(jù)某一屬性描述這些積木的情況，就可以按顏色、形狀、體積分類。PRP,PUX)(KINDRRPPindKI

3、ND| )()(,.,821xxxU 按顏色分類： 紅 藍(lán) 黃 按形狀分類： 圓 方 三角 按體積分類： 大 小 換言之，我們定義了三個(gè)等價(jià)關(guān)系（屬性），即顏色 、形狀 和體積 ，通過這些等價(jià)關(guān)系，可以得到下面那個(gè)等價(jià)類，即： 這些等價(jià)類是由知識(shí)庫(kù) 中的初等概念（初等范疇）構(gòu)成的。731,xxx42,xx865,xxx51,xx62,xx8743,xxxx872,xxx65431,xxxxx1R2R3R,/8654273, 11xxxxxxxxRU,/8743625, 12xxxxxxxxRU,/654318723xxxxxxxxRU), ,(321RRRUK 基本范疇是初等范疇的交集構(gòu)成的，

4、例如集合為： 它們分別為 的基本法范疇，即紅色三角形、藍(lán)色方形、黃色三角形。 集合 分別是 的基本范疇，即紅色大三角形、藍(lán)色大方形、黃色大三角形。 集合 分別為 的范疇，即紅或藍(lán)(非黃），藍(lán)或黃（非紅），紅或黃（非藍(lán)）。 ,738743731xxxxxxxxx,26242xxxxx,88743865xxxxxxxx,21RR,78728743731xxxxxxxxxxx,28726242xxxxxxxx,88728743865xxxxxxxxxxx,321RRR,7432142731xxxxxxxxxx,8654285542xxxxxxxxxx,876531865731xxxxxxxxxxxx

5、1R 有些范疇在這些知識(shí)庫(kù)中無(wú)法得到，例如集合 為空集，也就是說(shuō)，在我們的知識(shí)庫(kù)中，不存在藍(lán)色圓形或紅色方形的范疇，即為空范疇。 下面討論兩個(gè)知識(shí)庫(kù)之間的關(guān)系。 令K=(U,P)和K1=(U,Q)兩個(gè)知識(shí)庫(kù)，當(dāng)ind（P） ind（Q）時(shí)，我們稱知識(shí)P（知識(shí)庫(kù)K）比知識(shí)庫(kù)Q（知識(shí)庫(kù)K1）更精細(xì)，或者Q比P更粗糙。當(dāng)P比Q更精細(xì)時(shí)，我們也稱P為Q的特化，Q為P的推廣。這意味著，推廣是將某些范疇組合在一起，而特化則是將范疇分割成更小的單位。 上下近似集 令 ，R為U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，當(dāng)A能表達(dá)成某些R基本范疇的并時(shí)，稱X是R可定義的。否則稱X是R不可定義的。 R可定義集是論域的子集，它在知識(shí)庫(kù)中可

6、精確的定義，而R不可定義集不能在這個(gè)知識(shí)庫(kù)中定義。R可定義集也可稱作R子集，R不可定義集也稱作非精確集或粗糙集。 當(dāng)存在等價(jià)關(guān)系 且X為R精確集時(shí)，集合 稱為K中的精確集；當(dāng)對(duì)于任何 ，X都為R粗糙集，則X稱為K中的粗糙集。,5142xxxx,62731xxxxxUX )(KindRUX )(KindR 書上對(duì)于精確集和粗糙集的定義：當(dāng)X為論域U的相同等價(jià)類的并時(shí)，則X是R可定義的，稱為精確解（空集也被認(rèn)為是一個(gè)精確集）。否則X是R不可定義的，即粗糙集。 對(duì)于粗糙集可以近似的定義。我們使用兩個(gè)精確集，即粗糙集的上近似和下近似來(lái)描述。 集合X關(guān)于R的下近似 RX= 集合X關(guān)于R的上近似 定理:（

7、1）X為R可定義集當(dāng)且僅當(dāng)RX= （2）X為粗糙集當(dāng)且僅當(dāng)RX= （3） RX 粗糙集的下近似也可描述為X的最大可定義集，上近似也可描述為X的最小可定義集。 這樣，范疇就是可以用已知只是表達(dá)的信息項(xiàng)。換句話說(shuō)，范疇就是用我們的知識(shí)可表達(dá)的具有相同性質(zhì)的對(duì)象的子集。一般的說(shuō)，并不是所有所有對(duì)象的子集都可以構(gòu)成范疇（即用知識(shí)表達(dá)的概念）。 因此，這樣的子集可以看作為粗范疇（即不精確或近似范疇），它只能利用知識(shí)的兩個(gè)精確范疇，即上、下近似集，粗略地定義。|/XYRUY|/XYRUYXRXRXRXRX 集合X關(guān)于R的邊界區(qū) RX 邊界區(qū)的存在導(dǎo)致集合的不精確，邊界區(qū)越大，精確性越低。粗糙集理論中定義了

8、精度的概念。 式中，Card( )表示該集合的基數(shù)；精度反應(yīng)了對(duì)于集合X的知識(shí)的完全掌握程度。 對(duì)于每一個(gè)R且 ，有 ;當(dāng)精度為1時(shí)，X的R邊界域?yàn)榭?，集合X為R可定義的；當(dāng)精度小于1時(shí)，集合X有非空邊界域，集合X為R不可定義的。 設(shè) 是一組非空集合 RF= ， 稱為F的下近似和上近似。 F的近似精度XRXBNR)(XXRCardCardRXXR，)(UX 1)(0XR,.,21nXXXF ,.,21nRXRXRX,.,21nRXRXRXFRiiRXRCardCardRXF)( F的近似質(zhì)量 二、決策表 粗糙集理論中應(yīng)用決策表來(lái)描述論域中的對(duì)象。它是一張二維表格，每一行描述一個(gè)對(duì)象，每一列描述

9、對(duì)象的一種屬性。屬性分為條件屬性和決策屬性，論域中的對(duì)象根據(jù)條件屬性額不同被劃分到不同決策屬性的決策類。 知識(shí)系統(tǒng)中的各個(gè)條件屬性的重要程度并不是等同的，有些屬性是不相關(guān)的多余屬性，有些屬性是不重要的，并且屬性與屬性直接也可以具有重疊性，刪除知識(shí)系統(tǒng)中的某些屬性并不影響原系統(tǒng)的功能。屬性選擇就是刪除不相關(guān)的、多余的、不重要的屬性來(lái)簡(jiǎn)化原有知識(shí)系統(tǒng)，最終得到最小子屬性集合為目的。 下面引出約簡(jiǎn)的概念CardUCardRXFiR)(三、約簡(jiǎn)與核 在粗糙集理論中，約簡(jiǎn)是一個(gè)非常重要的研究課題。約簡(jiǎn)定義為不含多余屬性并保證分類正確的最小條件屬性集。知識(shí)約簡(jiǎn)存在兩個(gè)基本概念：約簡(jiǎn)和核。約簡(jiǎn)是可能進(jìn)行的等

10、價(jià)類的最大合并，若再繼續(xù)合并等價(jià)類，將導(dǎo)致知識(shí)庫(kù)的分類能力的下降。核是最重要的部分。 設(shè)知識(shí)表示系統(tǒng)S=(U，C，D，V，f)。U為有限非空論域，CD=A為非空屬性集，對(duì)于每一個(gè)屬性 是屬性a的值域。對(duì)于屬性子集 ，定義二元不可分關(guān)系： IND(P)要求對(duì)象x,y在屬性集P上完全相等，且 假設(shè)R是一組等價(jià)關(guān)系， R,如果IND（R)=IND(R- ),則R是可省的，否則R是不可省。如果任一 R都是不可省的，則等價(jià)關(guān)系族是獨(dú)立的。如果R是獨(dú)立等價(jià)關(guān)系族，并且P R，那么P也是獨(dú)立的。aAVVUAa，有:a,AP )()(aa,),()(yaxPUUyxPIND，對(duì)任一)()(aINDPINDPa

11、 RRR 如果Q是獨(dú)立的，Q P，并且IND(P)=IND(Q)，則Q是P的約簡(jiǎn)，顯然P有多個(gè)約簡(jiǎn)。 P中所有不可省關(guān)系的集合稱為P的核，記為CORE(P)。約簡(jiǎn)與核之間存在與以下關(guān)系：CORE（P）= RED（P）。其中，RED(P)是P的所有約簡(jiǎn)。一方面，核能夠被作為種子，向其加入其它等價(jià)關(guān)系，以構(gòu)造不同的約簡(jiǎn)；另一方面，核是知識(shí)最重要的部分，進(jìn)行知識(shí)約簡(jiǎn)不能去掉核。 一個(gè)決策表可以有幾個(gè)約簡(jiǎn)，而核是唯一的。核是這些約簡(jiǎn)的交集。 粗糙集約簡(jiǎn)算法有很多種，比如基于區(qū)分矩陣的算法、基于屬性重要度的算法、基于屬性頻度的約簡(jiǎn)、遺傳算法、復(fù)合系統(tǒng)的約簡(jiǎn)、擴(kuò)展法則、動(dòng)態(tài)約簡(jiǎn)與基于采樣的約簡(jiǎn)、基于數(shù)據(jù)庫(kù)

12、操作的約簡(jiǎn)、粗糙集模型擴(kuò)展等。我們這里介紹一個(gè)算法：基于區(qū)分矩陣的算法。 利用區(qū)分矩陣求屬性約簡(jiǎn)算法 設(shè)信息系統(tǒng)S=(U,A), 表示對(duì)象的非空有限集合，如果A=CD，其中，C是條件屬性的非空有限集合，D是決策屬性的非空有限集合，CD為非空集合，S有稱為決策系統(tǒng)或決策表。a(x)是對(duì)象x在屬性a上的取值。則區(qū)分矩陣可由如下形式表示： 其中，i，j=1,2,n。 利用區(qū)分矩陣可以很容易地得出屬性核。對(duì)于信息系統(tǒng)S=(U,A),則 ，即核是區(qū)分矩陣中所有單個(gè)元素組成的集合。,.,21nxxxU 1|)(ijijccaAaAcore且 在區(qū)分矩陣的基礎(chǔ)上的引入一個(gè)布爾函數(shù)P，稱為區(qū)分函數(shù)DF。對(duì)于每

13、個(gè)屬性aA，我們指定一個(gè)布爾變量a(x,y),若 則指定一個(gè)布爾表達(dá)式 ；若a(x,y)為空集，則指定布爾常量為1.區(qū)分函數(shù)定義如下： 基于區(qū)分矩陣求屬性約簡(jiǎn)步驟： 第1步 計(jì)算信息系統(tǒng)S的區(qū)分矩陣； 第2步 計(jì)算區(qū)分矩陣對(duì)應(yīng)的區(qū)分函數(shù)DF; 第3步 計(jì)算區(qū)分矩函數(shù)DF的最小析取范式（其中每個(gè)析取分量對(duì)應(yīng)一個(gè)屬性約簡(jiǎn)）。 區(qū)分矩陣不能夠處理不相容的記錄，因此，利用區(qū)分矩陣求取最佳屬性約簡(jiǎn)的一個(gè)前提是:在預(yù)處理階段要先對(duì)不相容的記錄進(jìn)行處理，如將沖突的記錄數(shù)除以記錄總數(shù)，得到一個(gè)粗糙度的量度，該量度可以作為數(shù)據(jù)表的一個(gè)特征。,.,(321kaaaayxa來(lái)表示用),(,.321yxaaaaak)

14、,(),(yxaDFUUyx 例：利用區(qū)分矩陣求屬性約簡(jiǎn)的算法考慮下面決策表，其中C1、C2、C3、C4為條件屬性，D為決策屬性，x1、x2、x3、x4、x5表示論域U中的對(duì)象。決策表 根據(jù)上面的決策表可以得出下面的區(qū)分矩陣： 有上面的區(qū)分矩陣很容易得到條件屬性核core（C）=C3。最終可以得到區(qū)分函數(shù)為： DF=(C1 C3 C4) (C1 C3 C4) (C1 C4) C3 (C1 C4) ( C1 C2 C3 C4) (C1 C2 C4)DF=C3(C1C4)即：DF=(C1 C3) (C3 C4) 有區(qū)分函數(shù)得到兩個(gè)約簡(jiǎn)C1，C3和C3，C4。根據(jù)所得到的的屬性約簡(jiǎn)對(duì)原來(lái)的決策表進(jìn)行

15、簡(jiǎn)化，可以得到下面兩個(gè)表： 表1 表2 例：S=（U,A,V,f),其中，論域 ，屬性集 信息函數(shù)f見表1。 表1 將對(duì)象及信息進(jìn)行壓縮后，得到表2 表2,.,821xxxU 2 , 1,3 , 2 , 1,43214321VVVVccccA,/876543211xxxxxxxxcU,/876542312xxxxxxxxcU,/874265313xxxxxxxxcU,/876543214xxxxxxxxcU 可以驗(yàn)證，信息表中屬性 是多余屬性，而且可以計(jì)算此信息表中有三個(gè)最簡(jiǎn)屬性約簡(jiǎn)， ，從而得到信息系統(tǒng)的三個(gè)最簡(jiǎn)約簡(jiǎn)表。 表3 最簡(jiǎn)壓縮表 表 4 約簡(jiǎn)表 表5 約簡(jiǎn)表 表6 約簡(jiǎn)表4c,32

16、4321cccccc和 四、決策規(guī)則 對(duì)于每一個(gè) ，定義函數(shù)： 函數(shù) 稱為決策表S中的決策規(guī)則，x是據(jù)決策則 的標(biāo)識(shí)。規(guī) 則 對(duì)條件屬性集的約束記為 ， 對(duì)決策屬性D的約束記為 和 分別稱為 的條件和決策。 如果對(duì)于每一個(gè) ，則決策規(guī)則 是相容的，否則稱為不相容規(guī)則。當(dāng)所有決策規(guī)則是相容的，則決策表是相容的，否則稱為不相容決策表。 從相容的決策表中可以抽取確定性規(guī)則，而從不相容的決策表中只能抽取不確定性的規(guī)則或可能性規(guī)則，有時(shí)也稱為廣義決策規(guī)則，這是因?yàn)樵诓幌嗳莸臎Q策表存在著矛盾的事例。UxDCxaaVAdxxa()(d:），其中xdxdxdCdx|xdDdx|Cdx|Ddx|xdDdDdCd

17、Cdyxyxyx|,時(shí)，當(dāng)xd 決策表中抽取規(guī)則一般可以表示為形式： (c，v) (d，w) 其中，cC，v Vc, w Vd， (c,v)稱為規(guī)則的條件部分，而(d，w)稱為規(guī)則的決策部分。決策規(guī)則即使是最優(yōu)的也不一定唯一。 在決策表中抽取規(guī)則的一般方法： (1)在決策表中將信息相同的對(duì)象及其信息刪除只留一個(gè)得到壓縮后的信息表，即刪除多余事例。 (2)刪除多余屬性。 (3)對(duì)每個(gè)對(duì)象及其信息中將多余的屬性值刪除。 (4)求出最小約簡(jiǎn)。 (5)根據(jù)最小約簡(jiǎn)，求出邏輯規(guī)則。例：如圖所示，表1給出的一個(gè)信息系統(tǒng)的決策表，其中，是條件屬性， 是決策屬性。 表1 決策表,4321ccccC ,21dd

18、D 我們可以得到一個(gè)約簡(jiǎn)表，如2和表3所示 表2 表3 可以驗(yàn)證，決策表中，表2是協(xié)調(diào)的，而表3是不協(xié)調(diào)的。表3是相容的，可以得到?jīng)Q策表中的四條最優(yōu)決策規(guī)則，并且這四條規(guī)則都是確定的。 表3是不協(xié)調(diào)的，也可以得到?jīng)Q策表的四條最優(yōu)決策規(guī)則，但這四條規(guī)則中有兩條是確定的，兩條是不確定的。 ) 1 ,() 1 ,() 1 ,( :1311dccr)2 ,()2 ,() 1 ,( :1312dccr)3 ,()2 ,( :113dcr)4 ,() 3 ,( :114dcr)3 ,() 1 ,() 1 ,() 1 ,( :22211ddccr)4 ,()2 ,()2 ,() 1 ,( :21212ddccr)5 ,()2 ,( :213dcr)5 ,()3 ,( :214dcr 四、粗糙集理論在故障診斷中的應(yīng)用 在故障診斷過程中，由于故障產(chǎn)生的機(jī)理不清楚，故障的表現(xiàn)形式步唯一，有時(shí)是含糊的，在提取故障特征時(shí)也時(shí)常具有盲目性，從而導(dǎo)致了實(shí)際描述的及其狀態(tài)之間是