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1、7 7 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 7 7.1 .1 彎曲的概念彎曲的概念7 7.2 .2 剪力和彎矩剪力和彎矩7 7.3 .3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖 7 7.4 .4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系7 7.5 .5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念梁:梁:以彎曲變形為主要變形的桿件。以彎曲變形為主要變形的桿件。 彎曲變形:彎曲變形: 變形特點(diǎn):變形特點(diǎn):原為直線的軸原為直線的軸線變?yōu)榍€。線變?yōu)榍€。 受力特點(diǎn):受力特點(diǎn):垂直于軸線的垂直于軸線的橫向力或軸線平面內(nèi)的力橫向力
2、或軸線平面內(nèi)的力偶。偶。 橋式起重橋式起重機(jī)的大梁機(jī)的大梁工程問(wèn)題中,絕大部分受彎桿件的橫截面都有一根對(duì)稱軸,工程問(wèn)題中,絕大部分受彎桿件的橫截面都有一根對(duì)稱軸,因而整個(gè)桿件有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。因而整個(gè)桿件有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念平面彎曲:平面彎曲:當(dāng)所有外力當(dāng)所有外力( (或者外力的合力或者外力的合力) )都都作用于作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí),桿件的軸縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí),桿件的軸線在對(duì)稱面內(nèi)彎曲成一條平線在對(duì)稱面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。也稱為面曲線。也稱為對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲。本章討論受彎桿件橫截本章討論受彎桿件橫截面上的內(nèi)力。面上的內(nèi)力。 7. 1 7.
3、 1 彎曲的概念彎曲的概念7.1.1 支座的簡(jiǎn)化支座的簡(jiǎn)化 固定鉸支座固定鉸支座 可動(dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座 固定端固定端 7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念7.1.2 載荷的簡(jiǎn)化載荷的簡(jiǎn)化 集中力集中力( (N,kN) ):集中力偶集中力偶( (Nm, kNm) ):分布載荷分布載荷( (N/m,kN/m) ):F分布范圍遠(yuǎn)小于軸線的長(zhǎng)度。分布范圍遠(yuǎn)小于軸線的長(zhǎng)度。Meq在梁全長(zhǎng)或部分長(zhǎng)度上連續(xù)分在梁全長(zhǎng)或部分長(zhǎng)度上連續(xù)分布的橫向力。布的橫向力。Me通過(guò)微小梁段作用在梁的縱向通過(guò)微小梁段作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶對(duì)稱平面內(nèi)的力偶 7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念7.1.3 梁的計(jì)
4、算簡(jiǎn)圖梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 靜定梁靜定梁 用靜力學(xué)平衡方程即可求出全部支反力的梁。用靜力學(xué)平衡方程即可求出全部支反力的梁。 用靜力學(xué)平衡方程不能求出全部支反力的梁。用靜力學(xué)平衡方程不能求出全部支反力的梁。 超靜定梁超靜定梁( (靜不定梁靜不定梁) ) 7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩xmm一梁在載荷作用下,由平衡方一梁在載荷作用下,由平衡方程,可求得支反力。這樣,就可以程,可求得支反力。這樣,就可以進(jìn)一步研究各橫截面上的內(nèi)力。進(jìn)一步研究各橫截面上的內(nèi)力。截面法,取左段為研究對(duì)象截面法,取左段為研究對(duì)象 0yF1RSFFFA0OM)(1RaxFxFMAFs剪力剪力, M彎矩彎矩。 也可取右段為研
5、究對(duì)象。也可取右段為研究對(duì)象。0S1RFFFA0)(R1xFaxFMA7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩為了使無(wú)論取左段為研究對(duì)象,還是取右段為研究對(duì)象,求為了使無(wú)論取左段為研究對(duì)象,還是取右段為研究對(duì)象,求得同一截面上的剪力和彎矩,不但數(shù)值相同而且符號(hào)也一樣,把得同一截面上的剪力和彎矩,不但數(shù)值相同而且符號(hào)也一樣,把剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定與梁的變形聯(lián)系起來(lái),規(guī)定如下:剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定與梁的變形聯(lián)系起來(lái),規(guī)定如下:7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩例:例:求求C截面上的剪力和彎矩。截面上的剪力和彎矩。FRBFRA解:解:支反力支反力 0BM01234RqFFA 0yF02RRBA
6、FqFFkN9RBFkN11RAF取取C截面左段為研究對(duì)象截面左段為研究對(duì)象 0yF 0CM0SRFFFA012RMFFAkN1RSFFFAkN1012RFFMA7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩kN9RBFkN11RAF取取C截面右段為研究對(duì)象截面右段為研究對(duì)象 0yF 0CM02RSBFqF0212RMqFBkN18422RSBFqFkN104292212RqFMB7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩直接計(jì)算梁的任一橫截面上的剪力和彎矩。直接計(jì)算梁的任一橫截面上的剪力和彎矩。 ( (1) ) 某橫截面上的剪力,在數(shù)值上等于該橫截面左側(cè)或者右側(cè)某橫截面上的剪力,在數(shù)值上等于該橫截面
7、左側(cè)或者右側(cè)梁上外力的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外力向上取正值,向下梁上外力的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外力向上取正值,向下取負(fù)值;該橫截面右側(cè)梁上的外力向上取負(fù)值,向下取正值。取負(fù)值;該橫截面右側(cè)梁上的外力向上取負(fù)值,向下取正值。 ( (2) ) 某橫截面上的彎矩,在數(shù)值上等于該橫截面左側(cè)或者右側(cè)某橫截面上的彎矩,在數(shù)值上等于該橫截面左側(cè)或者右側(cè)梁上外力對(duì)該橫截面形心取矩的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外梁上外力對(duì)該橫截面形心取矩的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外力對(duì)截面形心取矩順時(shí)針為正值,逆時(shí)針為負(fù)值;該橫截面右側(cè)力對(duì)截面形心取矩順時(shí)針為正值,逆時(shí)針為負(fù)值;該橫截面右側(cè)梁上的外力對(duì)截面形心取矩逆
8、時(shí)針為正值,順時(shí)針為負(fù)值。梁上的外力對(duì)截面形心取矩逆時(shí)針為正值,順時(shí)針為負(fù)值。 口訣:口訣:左上右下,剪力為正;左順右逆,彎矩為正左上右下,剪力為正;左順右逆,彎矩為正。 7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩例:例:計(jì)算計(jì)算1-1,2-21-1,2-2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。kN10kN50RRBAFF:11 kN)5 . 01020(R1SAFFmkN)25. 05 . 0105 . 05 . 120(R1AFM:22kN)5 . 1105020(2SFmkN)2075. 05 . 1105 . 1505 . 220(2M解:解:計(jì)算支反力計(jì)算支反力 kN25mkN25. 6
9、mkN25. 6kN15FRBFRA7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖在一般情況下,梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置不在一般情況下,梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置不同而變化的。如果橫截面在梁軸線上的位置用橫坐標(biāo)同而變化的。如果橫截面在梁軸線上的位置用橫坐標(biāo) x 表示,則表示,則各橫截面上的剪力和彎矩可表示為橫坐標(biāo)各橫截面上的剪力和彎矩可表示為橫坐標(biāo) x 的函數(shù),即的函數(shù),即)(SSxFF )(xMM 即為即為剪力方程剪力方程和和彎矩方程彎矩方程。 以平行于梁軸的橫坐標(biāo)以平行于梁軸的橫坐標(biāo) x 表示橫截面的位置,以縱坐標(biāo)表示表示橫截
10、面的位置,以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力或彎矩。這種圖線分別稱為相應(yīng)截面上的剪力或彎矩。這種圖線分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖。與繪制軸力圖或扭矩圖一樣,也可用圖線表示梁的各橫截面與繪制軸力圖或扭矩圖一樣,也可用圖線表示梁的各橫截面上剪力和彎矩沿軸線變化的情況。上剪力和彎矩沿軸線變化的情況。7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖例:例:列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。 解:解:1.1.計(jì)算計(jì)算支反力支反力 00RlFFbMAB00RFalFMBAlFaFlFbFBA/RR2.2.剪力方程和
11、彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxMAC段:段: xFRAFRBx)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxMCB段:段: 7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxM)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖( (設(shè)設(shè) a b ) ) lFabMlFbFmaxmaxS7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、
12、彎矩圖例:例:列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。 解:解:1.1.計(jì)算計(jì)算支反力支反力 2RRqlFFBA2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0(2)(SlxqxqlxF)0(22)(2lxxqxqlxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 822maxmaxSqlMqlFxFRAFRB82ql7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖例:例:列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。 解:解:1.1.計(jì)算計(jì)算支反力支反力 lMFFBA/eR
13、R2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(eSlxlMxF)0()(eaxxlMxMAC段:段: )()()(elxaxllMxMCB段:段: 3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖( (設(shè)設(shè) a b ) ) lbMMlMFemaxemaxSxFRAFRBx7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖例:例:列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。 解:解:1.1.計(jì)算計(jì)算支反力支反力 qlFAR2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()()(SlxxlqxF)0(2)()(2
14、lxxlqxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 22maxmaxSqlMqlF22qlMAxMAFRA7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖在以上幾個(gè)例題中,凡是集中力在以上幾個(gè)例題中,凡是集中力( (包括支包括支反力及集中荷載反力及集中荷載) )作用的截面上,剪力似乎沒作用的截面上,剪力似乎沒有確定的數(shù)值。有確定的數(shù)值。事實(shí)上事實(shí)上, 集中力不可能集中力不可能“集中集中”作用于一作用于一點(diǎn)點(diǎn), 它是分布于一個(gè)微段它是分布于一個(gè)微段 內(nèi)的分布力經(jīng)簡(jiǎn)內(nèi)的分布力經(jīng)簡(jiǎn)化后得出的結(jié)果。化后得出的結(jié)果。 x若在若在 范圍內(nèi),把載荷看作是均勻分布范
15、圍內(nèi),把載荷看作是均勻分布的,則剪力將連續(xù)地從的,則剪力將連續(xù)地從 FS1 變到變到 FS2 。x對(duì)集中力偶作用的截面,也可作同樣的解對(duì)集中力偶作用的截面,也可作同樣的解釋。釋。7. 4 7. 4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系 0yF 0CM 0ddSSSxFxFxxqxF xqxxFddS xxFxMxMxMddS xFxxMSdd xxFxxMddddS22 2ddxxxq0dxxyx xq7. 4 7. 4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間外力間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度
16、間外力間的微分關(guān)系7. 4 7. 4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系解:解: 1.1.計(jì)算支反力計(jì)算支反力 2.2.畫剪力圖畫剪力圖 kN5kN10RRBAFFkN7maxSF3.3.畫彎矩圖畫彎矩圖 mkN4 . 2maxM例:例:作剪力圖和彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖。 EFRAFRB7. 5 7. 5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖一梁在載荷作用下,當(dāng)變形很小時(shí),其跨長(zhǎng)的改變可略去不一梁在載荷作用下,當(dāng)變形很小時(shí),其跨長(zhǎng)的改變可略去不計(jì),因而在求梁的支反力、剪力和彎矩時(shí),均可按其原始尺寸進(jìn)計(jì),因而在求梁的支反力、剪力和彎矩時(shí),均可按其原始尺寸進(jìn)行計(jì)
17、算,所得結(jié)果均與梁上載荷成線性關(guān)系。行計(jì)算,所得結(jié)果均與梁上載荷成線性關(guān)系。在這種情況下,當(dāng)梁上受幾項(xiàng)載荷在這種情況下,當(dāng)梁上受幾項(xiàng)載荷 ( (如集中力、集中力偶或如集中力、集中力偶或分布力分布力) ) 共同作用時(shí),某一橫截面上的彎矩就等于梁在各項(xiàng)載荷共同作用時(shí),某一橫截面上的彎矩就等于梁在各項(xiàng)載荷單獨(dú)作用下同一橫截面上彎矩的代數(shù)和。單獨(dú)作用下同一橫截面上彎矩的代數(shù)和。7. 5 7. 5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖qxFxF)(S221)(qxFxxMFxF)(S1FxxM)(1qxxF)(S22221)(qxxM可見,可見,F(xiàn)單獨(dú)作用時(shí)引起的內(nèi)力與單獨(dú)作用時(shí)引起的內(nèi)力與 q 單獨(dú)作用時(shí)引起的內(nèi)力相加,單獨(dú)作用時(shí)引起的內(nèi)力相加,就是就是 F 和和 q 共同作用時(shí)的內(nèi)力。共同作用時(shí)的內(nèi)力。這是一個(gè)普遍存在的原理,稱為這是一個(gè)普遍存在的原理,稱為疊加原理疊加原理。 7. 5 7. 5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖由于彎矩可以疊加,所以表示彎矩沿梁軸線變化情況的彎矩由于彎矩可以疊加,所以表示彎矩沿梁軸線變化情況的彎
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