廈門大學(xué)《應(yīng)用多元統(tǒng)計分析》第07章_因子分析

1、第七章第七章 因子分析因子分析第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 第二節(jié)第二節(jié) 因子分析模型因子分析模型 第三節(jié)第三節(jié) 因子載荷矩陣求解因子載荷矩陣求解 第四節(jié)第四節(jié) 公因子重要性的分析公因子重要性的分析 第五節(jié)第五節(jié) 實例分析與計算機實現(xiàn)實例分析與計算機實現(xiàn) 第一節(jié)第一節(jié) 引言引言n一般認為因子分析是從一般認為因子分析是從Charles Spearman在在1904年發(fā)表的文年發(fā)表的文章章對智力測驗得分進行統(tǒng)計分析對智力測驗得分進行統(tǒng)計分析開始，他提出這種方法開始，他提出這種方法用來解決智力測驗得分的統(tǒng)計方法。目前因子分析在心理學(xué)、用來解決智力測驗得分的統(tǒng)計方法。目前因子分析在心理學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)

2、科中都取得了成功的應(yīng)用，是多元統(tǒng)計社會學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)科中都取得了成功的應(yīng)用，是多元統(tǒng)計分析中典型方法之一。分析中典型方法之一。 n因子分析因子分析(factor analysis)也是一種降維、簡化數(shù)據(jù)的技術(shù)。也是一種降維、簡化數(shù)據(jù)的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個“抽象抽象”的變量來表示其基本的的變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個抽象的變量被稱作數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個抽象的變量被稱作“因子因子”，能反映原來，能反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而眾多

3、變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而因子一般是不可觀測的潛在變量。因子一般是不可觀測的潛在變量。 n例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評價中，消費者可以通過一系列指例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評價中，消費者可以通過一系列指標構(gòu)成的一個評價指標體系，評價百貨商場的各個方面的優(yōu)標構(gòu)成的一個評價指標體系，評價百貨商場的各個方面的優(yōu)劣。但消費者真正關(guān)心的只是三個方面：商店的環(huán)境、商店劣。但消費者真正關(guān)心的只是三個方面：商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。這三個方面除了價格外，商店的環(huán)境的服務(wù)和商品的價格。這三個方面除了價格外，商店的環(huán)境和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀

4、存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測量，只能通過其它具體指標進行間接反映。因子分析直接測量，只能通過其它具體指標進行間接反映。因子分析就是一種通過顯在變量測評潛在變量，通過具體指標測評抽就是一種通過顯在變量測評潛在變量，通過具體指標測評抽象因子的統(tǒng)計分析方法。又比如，在研究區(qū)域社會經(jīng)濟發(fā)展象因子的統(tǒng)計分析方法。又比如，在研究區(qū)域社會經(jīng)濟發(fā)展中，描述社會與經(jīng)濟現(xiàn)象的指標很多，過多的指標容易導(dǎo)致中，描述社會與經(jīng)濟現(xiàn)象的指標很多，過多的指標容易導(dǎo)致分析過程復(fù)雜化。一個合適的做法就是從這些關(guān)系錯綜復(fù)雜分析過程復(fù)雜化。一個合適的做法就是從這些關(guān)系錯綜復(fù)雜的社會經(jīng)濟指標中提取少數(shù)幾個主要因子，每一個主要

5、因子的社會經(jīng)濟指標中提取少數(shù)幾個主要因子，每一個主要因子都能反映相互依賴的社會經(jīng)濟指標間共同作用，抓住這些主都能反映相互依賴的社會經(jīng)濟指標間共同作用，抓住這些主要因素就可以幫助我們對復(fù)雜的社會經(jīng)濟發(fā)展問題進行深入要因素就可以幫助我們對復(fù)雜的社會經(jīng)濟發(fā)展問題進行深入分析、合理解釋和正確評價。分析、合理解釋和正確評價。n因子分析的內(nèi)容非常豐富，常用的因子分析類型是因子分析的內(nèi)容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子型因子分析和分析和Q型因子分析。型因子分析。R型的因子分析是對變量作因子分析，型的因子分析是對變量作因子分析，Q型因子分析是對樣品作因子分析。本章側(cè)重討論型因子分析是對樣品作因子分析。本

6、章側(cè)重討論R型因子型因子分析。分析。 第二節(jié)第二節(jié) 因子分析模型因子分析模型一一 因子分析的數(shù)學(xué)模型因子分析的數(shù)學(xué)模型 二二 因子載荷陣的統(tǒng)計意義因子載荷陣的統(tǒng)計意義 一、因子分析的數(shù)學(xué)模型一、因子分析的數(shù)學(xué)模型n無論是無論是R型或型或Q型因子分析，都用公共因子型因子分析，都用公共因子F代替代替X，一般要，一般要求求mp，m2時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進行上述旋轉(zhuǎn)。時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進行上述旋轉(zhuǎn)。對公因子對公因子Fl和和Fk進行旋轉(zhuǎn)，就是對進行旋轉(zhuǎn)，就是對A的第的第l和和k兩列進行正交兩列進行正交變換，使這兩列元素平方的相對方差之和達到最大，而其余變換，使這兩列元素平方

7、的相對方差之和達到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為各列不變，其正交變換矩陣為二、因子得分二、因子得分n n 第五節(jié)第五節(jié) 實例分析與計算機實現(xiàn)實例分析與計算機實現(xiàn)一一 利用利用SPSS進行因子分析進行因子分析 二二 因子分析在市場研究中的應(yīng)用因子分析在市場研究中的應(yīng)用 一、利用一、利用SPSS進行因子分析進行因子分析n （一）（一） 操作步驟操作步驟1. 在在SPSS窗口中選擇窗口中選擇AnalyzeData ReductionFactor，調(diào)，調(diào)出因子分析主界面出因子分析主界面圖圖( (7.1) )，并將變量，并將變量X1X13移入移入Variables框中。框中。 圖圖7.1 因子分

8、析主界面因子分析主界面 2. 點擊點擊Descriptives按鈕，展開相應(yīng)對話框，見圖按鈕，展開相應(yīng)對話框，見圖7.2。選擇。選擇Initial solution復(fù)選項。這個選項給出各因子的特征值、各復(fù)選項。這個選項給出各因子的特征值、各因子特征值占總方差的百分比以及累計百分比。單擊因子特征值占總方差的百分比以及累計百分比。單擊Continue按鈕，返回主界面。按鈕，返回主界面。 圖圖7.2 Descriptives子對話框子對話框 3. 點擊點擊Extraction按鈕，設(shè)置因子提取的選項，見圖按鈕，設(shè)置因子提取的選項，見圖7.3。在。在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，下拉列表中

9、選擇因子提取的方法，SPSS提供了七種提供了七種提取方法可供選擇，一般選擇默認選項，即提取方法可供選擇，一般選擇默認選項，即“主成分法主成分法”。在在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關(guān)欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關(guān)矩陣和協(xié)方差矩陣。在矩陣和協(xié)方差矩陣。在Display欄中指定與因子提取有關(guān)的欄中指定與因子提取有關(guān)的輸出項，如未旋轉(zhuǎn)的因子載荷陣和因子的碎石圖。在輸出項，如未旋轉(zhuǎn)的因子載荷陣和因子的碎石圖。在Extract欄中指定因子提取的數(shù)目，有兩種設(shè)置方法：一種欄中指定因子提取的數(shù)目，有兩種設(shè)置方法：一種是在是在Eigenvalues over后的框中設(shè)置提取

10、的因子對應(yīng)的特征后的框中設(shè)置提取的因子對應(yīng)的特征值的范圍，系統(tǒng)默認值為值的范圍，系統(tǒng)默認值為1，即要求提取那些特征值大于，即要求提取那些特征值大于1的的因子；第二種設(shè)置方法是直接在因子；第二種設(shè)置方法是直接在Number of factors后的矩形后的矩形框中輸入要求提取的公因子的數(shù)目。這里我們均選擇系統(tǒng)默框中輸入要求提取的公因子的數(shù)目。這里我們均選擇系統(tǒng)默認選項，單擊認選項，單擊Continue按鈕，返回主界面。按鈕，返回主界面。 圖圖7.3 Extraction子對話框子對話框 4.點擊點擊Rotation按鈕，設(shè)置因子旋轉(zhuǎn)的方法。這里選擇按鈕，設(shè)置因子旋轉(zhuǎn)的方法。這里選擇Varimax

11、(方差最大旋轉(zhuǎn)方差最大旋轉(zhuǎn))，并選擇，并選擇Display欄中的欄中的Rotated solution復(fù)選框，在輸出窗口中顯示旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣。復(fù)選框，在輸出窗口中顯示旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣。單擊單擊Continue按鈕，返回主界面。按鈕，返回主界面。 圖圖7.4 Rotation子對話框子對話框 5.點擊點擊Scores按鈕，設(shè)置因子得分的選項。選中按鈕，設(shè)置因子得分的選項。選中Save as variables復(fù)選框，將因子得分作為新變量保存在數(shù)據(jù)文件中。復(fù)選框，將因子得分作為新變量保存在數(shù)據(jù)文件中。選中選中Display factor score coefficient matrix復(fù)選框

12、，這樣在結(jié)復(fù)選框，這樣在結(jié)果輸出窗口中會給出因子得分系數(shù)矩陣。單擊果輸出窗口中會給出因子得分系數(shù)矩陣。單擊Continue按鈕按鈕返回主界面。返回主界面。 6. 單擊單擊OK按鈕，運行因子分析過程。按鈕，運行因子分析過程。 圖圖7.5 Scores子對話框子對話框 （二）（二） 主要運行結(jié)果解釋主要運行結(jié)果解釋1. Communalities（給出變量共同度）（給出變量共同度）變量共同度反映每個變量對所提取的所有公共因子的依賴程度，變量共同度反映每個變量對所提取的所有公共因子的依賴程度，此數(shù)值是因子載荷陣中每一行的因子載荷量的平方和，提取的此數(shù)值是因子載荷陣中每一行的因子載荷量的平方和，提取的

13、因子個數(shù)不同，變量共同度也不同。因子個數(shù)不同，變量共同度也不同。2. Total Variance Explained（給出各公因子方差貢獻表）（給出各公因子方差貢獻表）Initial Eigenvalues給出初始相關(guān)矩陣或協(xié)差陣矩陣的特征值，給出初始相關(guān)矩陣或協(xié)差陣矩陣的特征值，用于確定哪些因子應(yīng)該被提取，共有三項：用于確定哪些因子應(yīng)該被提取，共有三項： Total列為各因子列為各因子對應(yīng)的特征值，本例中共有四個因子對應(yīng)的特征值大于對應(yīng)的特征值，本例中共有四個因子對應(yīng)的特征值大于1，因，因此應(yīng)提取相應(yīng)的四個公因子；此應(yīng)提取相應(yīng)的四個公因子；% of Variance列為各因子的方差列為各因

14、子的方差貢獻率；貢獻率；Cumulative %列為各因子的累積方差貢獻率，由表列為各因子的累積方差貢獻率，由表7.1可以看出，前四個因子已經(jīng)可以解釋可以看出，前四個因子已經(jīng)可以解釋89.651%的方差。的方差。Rotation Sums of Squared Loadings給出提取出的公因子經(jīng)過給出提取出的公因子經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的方差貢獻情況。旋轉(zhuǎn)后的方差貢獻情況。 表表7.1 特征根與方差貢獻率表特征根與方差貢獻率表 表表7.2 旋轉(zhuǎn)前因子載荷陣旋轉(zhuǎn)前因子載荷陣表表7.3 旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣 Rotated Component Matrix4.714E-02.925-.1305.

15、040E-02.221.9505.080E-02.104.1831.323E-02.895.152.176-4.567E-02.880.134.174.909.109.101.724.150.470.350.236.104.166.938.232.110.157.943.8433.187E-02-.2674.853E-02.845.157.2556.884E-02.848.214.235.254.782.163.431.387.793.193.445.302X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10X 11X 12X 131234Component注意：在因子表達式中的各變

16、量為進行標準化變換后的標準變注意：在因子表達式中的各變量為進行標準化變換后的標準變量，均值為量，均值為0，標準差為，標準差為1。7. 由于我們已經(jīng)在由于我們已經(jīng)在Scores子對話框中選擇了子對話框中選擇了Save as variables復(fù)選框，因此，因子得分已經(jīng)作為新的變量保存在數(shù)據(jù)文件復(fù)選框，因此，因子得分已經(jīng)作為新的變量保存在數(shù)據(jù)文件中，變量名分別為中，變量名分別為fac1_1、fac2_1、fac3_1和和fac4_1。此后，。此后，我們還可以利用因子得分進行其他的統(tǒng)計分析。我們還可以利用因子得分進行其他的統(tǒng)計分析。 表表7.4 因子得分系數(shù)矩陣因子得分系數(shù)矩陣 二、因子分析在市場研

17、究中的應(yīng)用二、因子分析在市場研究中的應(yīng)用n表表7.5是研究消費者對購買牙膏偏好的調(diào)查數(shù)據(jù)。通過市場是研究消費者對購買牙膏偏好的調(diào)查數(shù)據(jù)。通過市場的攔截訪問，用的攔截訪問，用7級量表詢問受訪者對以下陳述的認同程度級量表詢問受訪者對以下陳述的認同程度（1表示非常不同意，表示非常不同意，7表示非常同意）。表示非常同意）。V1：購買預(yù)防蛀牙的牙膏是重要的；：購買預(yù)防蛀牙的牙膏是重要的；V2：我喜歡使牙齒亮澤的牙膏；：我喜歡使牙齒亮澤的牙膏；V3：牙膏應(yīng)當保護牙齦；：牙膏應(yīng)當保護牙齦；V4：我喜歡使口氣清新的牙膏；：我喜歡使口氣清新的牙膏；V5：預(yù)防壞牙不是牙膏提供的一項重要利益；：預(yù)防壞牙不是牙膏提供

18、的一項重要利益；V6：購買牙膏時最重要的考慮是富有魅力的牙齒。：購買牙膏時最重要的考慮是富有魅力的牙齒。 表表7.5 牙膏屬性評分得分表牙膏屬性評分得分表n將表將表7.5中的數(shù)據(jù)通過中的數(shù)據(jù)通過SPSS進行因子分析，得到相關(guān)結(jié)果是：進行因子分析，得到相關(guān)結(jié)果是：1. 特征根和累計貢獻率特征根和累計貢獻率 表表7.6 方差貢獻率表方差貢獻率表 從表從表7.6可以看出，提取兩個因子累計方差貢獻率就達到可以看出，提取兩個因子累計方差貢獻率就達到82%，第三個特征根相比下降較快，因此我們選取兩個公共因子。第三個特征根相比下降較快，因此我們選取兩個公共因子。2.因子的含義因子的含義為了得到意義明確的因子含義，我們將因子載荷陣進行方差最為了得到意義明確的因子含義，我們將因子載荷陣進行方差最大法旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣如下表大法旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣如下表7.7。 表表7.7 旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣 n從因子載荷陣可以看出：因子從因子載荷陣可以看出：因子1與與V1（預(yù)防蛀牙），（預(yù)防蛀牙），V3（保（保護牙齦），護牙齦），V5（預(yù)防壞牙）相關(guān)性強，其中（預(yù)防壞牙）相關(guān)性強，其中V5的載荷是負數(shù)