D11_5對坐標(biāo)的曲面積分

1、第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲面積分 第十一章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)

2、側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS

3、nvSnv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,

4、(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2. 定義定義.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面上對對 z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對對 y, z 的曲面積分的曲

5、面積分;yxRxzQzyPdddddd若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若,1kiiki 1之間無公共內(nèi)點, 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法定理定理: 設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:

6、取上側(cè),),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側(cè),),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明說

7、明: 如果積分曲面 取下側(cè), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側(cè).解解: 利用對稱性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對稱性0ddy

8、xxyz 思考思考: 下述解法是否正確:例例2. 計算曲面積分,ddyxxyz其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 設(shè)S 是球面1222zyx的外側(cè) , 計算SxxzyI2cosdd2解

9、解: 利用輪換對稱性, 有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdc

10、oscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxz111例例5. 設(shè),1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 221cosyxx例例6. 計算曲面

11、積分其中解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推廣推廣機動

12、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高斯公式 第十一章 高斯高斯(1777 1855)德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家, 是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家, 他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域 , 在數(shù)論、 級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻, 他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、 曲面論和位勢論等. 他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎, 原則: 代數(shù)、非歐幾何、 微分幾何、 超幾何 在對天文學(xué)、大恪守這樣的 “問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”. 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,z

13、yxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先證:函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側(cè), 則有 (Gauss 公式公式)高斯 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 231zyxyxD) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 證明證明: 設(shè)yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd為XY型區(qū)域 , ),(:22yxzz 則yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzy

14、xyxRdd) ,(),(1yxz定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型區(qū)域 , 則可引進輔助面將其分割成若干個 XY型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 用Gauss 公式計算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個邊界曲面的外側(cè). 解解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyd

15、dd)(zrrzrddd)sin(用柱坐標(biāo))zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? 若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計算? 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 利用Gauss 公式計算積分其中 為錐面222zyxhozyx解解: 222coscoscosdIxyzS 與 z = 0 及 z = h 所圍空間閉域的整個邊界曲面的外側(cè). h1所圍區(qū)域設(shè)為, 則 zyxzyxddd)(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222coscoscosdIxyzS

16、zyxzyxIddd)(2zyxzddd2421hhozyxh1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.3222()ddd ddd .Ix zxyzx yzzxx zxy 設(shè) 為曲面222,1zxyz所圍空間閉域的解解: Idd dxy z 20d10dr221drz用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的外側(cè), 求 1zoxy211整個邊界曲面 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),(

17、 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)系聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關(guān), 上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?兩類曲面積分的定義一個與 的方向無關(guān), 一個與 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用計算公式及方法常用計算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況

18、.轉(zhuǎn)化機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 高斯公式及其應(yīng)用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應(yīng)用:(1) 計算閉曲面上的第二型曲面積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側(cè) , 計算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分1. 設(shè)SzyxId)(3