極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性

1、極點對系統(tǒng)性能影響一.控制系統(tǒng)與極點自動控制系統(tǒng)根據(jù)控制作用可分為：連續(xù)控制系統(tǒng)和采樣控制系統(tǒng)，采樣系統(tǒng)又叫離 散控制系統(tǒng)。通常把系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形成的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)。連續(xù)控制系統(tǒng)即指控制量為連續(xù)的模擬量如時變系統(tǒng)。系統(tǒng)的數(shù)學模型一般由系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達。 傳遞函數(shù)為零初始條件下線性系統(tǒng)響應 (即 輸出)量的拉普拉斯變換(或z變換)與激勵(即輸入)量的拉普拉斯變換之比。 記作(s) =Xo (s) /Xi (s),其中Xo (s)、Xi (s)分別為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換。使傳遞函數(shù)分母等于零即得到系統(tǒng)的特征方程，sn aisn 1 HI an is an 0特征方程

2、的根稱為極點。如試(S)= C口(S-Pi ) / n(S-Qi)中Qi Q2 Q3Qi即為系統(tǒng)的極點。二.極點對系統(tǒng)的影響極點-確定了系統(tǒng)的運動模態(tài)；決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面對連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)分 別進行分析：連續(xù)系統(tǒng)理論分析：連續(xù)系統(tǒng)的零極點分布有如下幾種形式設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為:Mr)將H(S)進行部分分式展開：y k日嚇一f 5 p系統(tǒng)沖激響應H(S)的時域特性h(t)隨時間衰減的信號分量完全由系統(tǒng)函數(shù)H(S)的極點位置決定。每一個極點將決定h(t)的一項時間函數(shù)。穩(wěn)定性：由上述得知Y(S尸C 口( S-Pi ) /(S-Qi)可分解為 Y(S尸C1/(S- t 1)+ C2/(S-t2)+

3、C3/(S- t 3)+ Ci/(S- t i)+ 則時間響應為y(t)Ct C2es2t Cnesnt.(1)只有一個實根：s0時，y(t) 0y(t) Cet0時，y(t)恒量0時，y(t)t(2)有一對復根：s jy(t) Ge( j )t C2S j )t0時，收斂C1etcos(t)0時，等幅振蕩0時，發(fā)散由于特征方程的根不止一個，這時，應把系統(tǒng)的運動看成是多個運動分量的合成。只要有個運動分量是發(fā)散的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此，特征方程所有根的實部都必須是負數(shù)，亦即所有的根都在復平面的左半平面。通過復變函數(shù)幅角定理將S由G平面映射到GHFF面。如果封閉曲線 F內(nèi)有Z個F(s)的零點，有

4、P個F(s)的極點，則s沿F順時針轉(zhuǎn)一圈時， 在F(s)平面上，F(xiàn)(s)曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R為z和p之差，即R= z p。若R為負，表示F(s)曲線繞原點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。F(s)的分母是G0(s)的分母，其極點是G0(s)的極點；其分子是？(s)的分母，即？(s)的特征 多項式，其零點是 ?(s)的極點。取D形曲線(D圍線)如圖所示，是整個右半復平面。且設(shè)D曲線不經(jīng)過F(s)的任一極點或零點。s沿D曲線順時針變化一周，F(xiàn)(s)順時針包圍原點的周數(shù)為：n=z-p=F(s)在右半復平面的零點數(shù)(閉環(huán)傳函在右半復平面極點數(shù))-F(s)在右半復平面的極點數(shù)(開環(huán)傳函在右半復平面極點數(shù))所以閉環(huán)

5、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：n=- p =-開環(huán)傳函在右半復平面的極點數(shù)因此:反饋控制系統(tǒng)在s右半平面的閉環(huán)極點個數(shù)Z=P-2N,式中，P為s右半平面開環(huán)極點數(shù)，N為開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍（-1 ,j0）點的圈數(shù)，且有 N=N- N-其中N+為：正穿越與半次正穿越次數(shù)的和。其中N-為：負穿越與半次負穿越次數(shù)的和。正穿越：隨著 w的增大，開環(huán) Nyquist曲線逆時針穿越實軸區(qū)間（-¥ , -1）。半次正穿越：逆時針方向離開（或中止于）實軸區(qū)間（-¥ , -1）。負穿越：隨著 w的增大，開環(huán) Nyquist曲線順時針穿越實軸區(qū)間（-¥ , -1）。半次負穿越

6、：順時針方向離開或中止于實軸區(qū)間（-¥ , -1）。若開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)，開環(huán)Nyquist曲線在 w=0+時，幅值無窮大，而相角為 。判斷穩(wěn)定性要求 w=0開始逆時針補半徑為無窮大，角度為的虛線圓弧。在計算正、負穿越次數(shù)時，應將補上的虛線圓弧作為Nyquist曲線的一部分。同樣其他穩(wěn)定性的判別由勞斯判據(jù)和赫爾維茲判據(jù) 程推出S根沒有復實部。波的圖判據(jù)等原理相同。都是由特征方總結(jié)：1 .如系統(tǒng)函數(shù) H（s）的全部極點落于 S域左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。2 .如系統(tǒng)函數(shù) H（s）有極點落于S右半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點，則該系統(tǒng)不 穩(wěn)定。3 .若系統(tǒng)函數(shù)H（s）沒有極點落在右

7、半平面，但在虛軸上有一階極點，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。4 .系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式的階次，不應高于分母多項式的階次離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性原理與連續(xù)系統(tǒng)一樣，由于離散系統(tǒng)本身特征稍有改，離散信號是脈 沖序列即時間上離散，離散信號是數(shù)字序列即幅值上整量化。G(z)1ii:*;r(t)XR(z)r*c(t) c(t)C(z)+Gsp/- I因此引入Z變換取代拉斯變換只適用與連續(xù)函數(shù)，離散時間序列 x(n)的Z變換定義 為X(z) =2x(n)z-n ,常用序列的Z變換中z=e, 為實變數(shù)，a為實變量,j =，所以z 是一個幅度為e6,相位為3的復變量。 x(n)和X(z)構(gòu)成一個Z變換時。理想的單位脈沖序列：

8、T(t) (t kT) k采樣器可以看成是一個調(diào)制器，輸入量作為調(diào)制信號，而單位脈沖串可以作為載波信 號，調(diào)制過程可以表示為：*x (t) x(t) T(t) x(t) (t kT) k則：*x(t) x(t) (t kT)k 0x(0) (t) x(T) (t T) x(2T) (t 2T)x(kT) (t kT)x(kT) (t kT)k 0Z變換為： *x (t) x(t) (t KT) x(kT) (t KT)k 0x(kT)e kTs k 0* * X (s) Lx(t)定義：z esTkx(kT)z kk 0(yln z)則：*X(z) X (s) i, X，s_lnzTx(kT)

9、z k*Zx(t) Zx(t) X(z)由以上定義得知Z變換，則如何從 S平面映射到0Z平面：x(0)z° x(T)z1 x(2T)z 2Tsee(j )TeT ejzeT當s< 0 ,則對應在s左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定映射到 Z平面上 z 1對應在Z平面的單 位圓內(nèi)，脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定；當s> 0 ,則對應在s右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，映射到 Z平面上z 1對應在Z平面 的單位圓外，脈沖系統(tǒng)不穩(wěn)定；當s = 0,則對應在s平面的虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，映射到Z平面上z 1對應在Z平面的單位圓上，脈沖系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。將Z進行映射變換，離散系統(tǒng)穩(wěn)定判斷依舊能夠使用勞斯判據(jù)判斷?？偨Y(jié)：O即穩(wěn)定系統(tǒng)的系穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域，應該包含單位圓(包含在單位圓內(nèi)) 統(tǒng)函數(shù)，其極點不應分布在單位圓上！1.若H(Z)的全部極點落在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)