初三經典幾何證明練習題(答案)

1、.初三幾何證明題經典題（一）1、已知：如圖，o是半圓的圓心，c、e是圓上的兩點，cdab，efab，egco求證：cdgf2、已知：如圖，p是正方形abcd內部的一點，padpda15°。求證：pbc是正三角形（初二）3、已知：如圖，在四邊形abcd中，adbc，m、n分別是ab、cd的中點，ad、bc的延長線交mn于e、f求證：denf經典題（二）1、已知：abc中，h為垂心（各邊高線的交點），o為外心，且ombc于m（1）求證：ah2om；（2）若bac600，求證：ahao2、設mn是圓o外一條直線，過o作oamn于a，自a引圓的兩條割線交圓o于b、c及d、e，連接cd并延長交

2、mn于q，連接eb并延長交mn于p.求證：apaq3、如圖,分別以abc的ab和ac為一邊,在abc的外側作正方形abfg和正方形acde，點o是df的中點，opbc求證：bc=2op證明：分別過f、a、d作直線bc的垂線，垂足分別是l、m、nof=od，dnopflpn=plop是梯形dfln的中位線dn+fl=2opabfg是正方形abm+fbl=90°又bfl+fbl=90°abm=bfl又flb=bma=90°，bf=abbflabmfl=bm同理amccndcm=dnbm+cn=fl+dnbc=fl+dn=2op經典題（三）1、如圖，四邊形abcd為正方

3、形，deac，aeac，ae與cd相交于f求證：cecf證明：連接bd交ac于o。過點e作egac于gabcd是正方形bdac又egacbdeg又deacodeg是平行四邊形又cod=90°odeg是矩形eg=od=bd=ac=aeeag=30°ac=aeace=aec=75°又afd=90°-15°=75°cfe=afd=75°=aecce=cf2、如圖，四邊形abcd為正方形，deac，且ceca，直線ec交da延長線于f求證：aeaf證明：連接bd，過點e作egac于gabcd是正方形bdac，又egaccae=cea

4、=gce=15°在afc中f =180°-fac-acf =180°-fac-gce=180°-135°-30°=15°f=ceaae=afbdeg又deacodeg是平行四邊形又cod=90°odeg是矩形eg =od =bd=ac=cegce=30°ac=ec3、設p是正方形abcd一邊bc上的任一點，pfap，cf平分dce求證：papf（初二）證明：過點f作fgce于g，fhcd于hcdcghcgf是矩形hcf=gcffh=fghcgf是正方形設ab=x，bp=y，cg=zz：y=（x-y+z）：

5、x化簡得（x-y）·y=（x-y）·zx-y0y=z即bp=fgabppgfcg=gfapfpapb+fpg=90°apb+bap=90°fpg=bap又fgp=pbafgppbafg：pb=pg：ab4、如圖，pc切圓o于c，ac為圓的直徑，pef為圓的割線，ae、af與直線po相交于b、d求證：abdc，bcad（初三）證明：過點e作ekbd，分別交ac、af于m、k，取ef的中點h，連接oh、mh、eceh=fhem=kmekbdob=od又ao=co四邊形abcd的對角線互相平分abcd是平行四邊形ab=dc，bc=adohef，pho=90&#

6、176;又pcoc，poc=90°p、c、h、o四點共圓hco=hpo又ekbd，hpo=hekhcm=hemh、c、e、m四點共圓ecm=ehm又ecm=efaehm=efahmaceh=fh經典題(四)1、已知：abc是正三角形，p是三角形內一點，pa3，pb4，pc5求apb的度數（初二）解：將abp繞點b順時針方向旋轉60°得bcq，連接pq則bpq是正三角形bqp=60°，pq=pb=3在pqc中，pq=4，cq=ap=3，pc=5pqc是直角三角形pqc=90°bqc=bqp+pqc=60°+90°=150°ap

7、b=bqc=150°2、設p是平行四邊形abcd內部的一點，且pbapda求證：pabpcb（初二）證明：過點p作ad的平行線，過點a作pd的平行線，兩平行線相交于點e，連接bepead，aepdadpe是平行四邊形pe=ad，又abcd是平行四邊形ad=bcpe=bc又adp=abpaep=abpa、e、b、p四點共圓bep=pabpab=pcb又pead，adbcpebcbcpe是平行四邊形bep=pcbadpe是平行四邊形adp=aep3、設abcd為圓內接凸四邊形，求證：ab·cdad·bcac·bd（初三）證明：在bd上去一點e，使bce=ac

8、d=cad=cbdbecadcad·bc=be·acbce=acdbce+ace=acd+ace即bca=ecd+得ab·cd+ad·bc =de·ac+be·ac =（de+be）·ac =bd·ac=,bac=bdcbacedcab·cd=de·ac4、平行四邊形abcd中，設e、f分別是bc、ab上的一點，ae與cf相交于p，且paecf求證：dpadpc（初二）證明：過點d作dgae于g，作dhfc于h，連接df、desade=ae·dg，sfdc=fc·dh又sad

9、e=sfdc=sabcdae·dg=fc·dh又ae=cfdg=dh點d在apc的角平分線上dpadpc經典題（五）1、設p是邊長為1的正abc內任一點，lpapbpc，求證：l2證明：（1）將bpc繞b點順時針旋轉60°的bef，連接pe，bp=be，pbe=60°pbe是正三角形。pe=pb 又ef=pcl=pa+pb+pc=pa+pe+ef當pa、pe、ef在一條直線上的時候，l=pa+pe+ef的值最?。ㄈ鐖D）在abf中，abp=120°af=l=pa+pb+pc（2）過點p作bc的平行線分別交ab、ac于d、g則adg是正三角形adp

10、=agp，ag=dgapdagpapdadpadpa又bd+pdpb cg+pgpc+得ad+bd+cg+pd+pgpa+pb+pcab+cg+dg=ab+cg+ag=ab+acpa+pb+pc=lab=ac=1l2由（1）（2）可知：l22、已知：p是邊長為1的正方形abcd內的一點，求papbpc的最小值解：將bcp繞點b順時針旋轉60°得bef，連接pe，則bpe是正三角形pe=pbpapbpc=pa+pe+ef要使papbpc最小，則pa、pe、ef應該在一條直線上（如圖）此時af=pa+pe+ef過點f作fgab的延長線于g則gbf=180°-abf=180

11、76;-150°=30°gf=，bg=af=papbpc的最小值是3、p為正方形abcd內的一點，并且paa，pb2a，pc3a，求正方形的邊長證明：將abp繞點b順時針旋轉90°得bcq，連接pq則bpq是等腰直角三角形，pq=pb=×2a=2a又qc=ap=aqp2+qc2=(2a)2+a2=9a2=pc2pqc是直角三角形bqc=135°bc2=bq2+cq2-2bq·cq·cosbqc=pb2+pa2-2pb·pacos135° =4a2+a2-2×2a×a×(-)解

12、得bc=正方形的邊長為4、如圖，abc中，abcacb80°，d、e分別是ab、ac上的點，dca30°，eba20°，求bed的度數解：在ab上取一點f，使bcf=60°，cf交be于g，連接ef、dgabc=80°，abe=20°，ebc=60°，又bcg=60°bcg是正三角形bg=bcacb=80°，bcg=60°fca=20°eba=fca又a=a，ab=acabeacfae=afafe=aef=（180°-a）=80°又abc=80°=afee

13、fbcefg=bcg=60°efg是等邊三角形ef=eg，feg=egf=efg=60°acb=80°，dca=30°bcd=50°bdc=180°-bcd-abc=180°-50°-80°=50°bcd=bdcbc=bd前已證bg=bcbd=bgbgd=bdg=（180°-abe）=80°fgd=180°-bgd-egf=180°-80°-60°=40°又dfg=180°-afe-efg=180°-80&

14、#176;-60°=40°fgd=dfgdf=dg又ef=eg，de=deefdegdbed=fed=feg=×60°=30°5、如圖，abc內接于o，且ab為o的直徑，acb的平分線交o于點d，過點d作o的切線pd交ca的延長線于點p，過點a作aecd于點e，過點b作bfcd于點f，若ac=6，bc=8，求線段pd的長。解：acd=bcd =ad=bdab為o的直徑adb=90°abd是等腰直角三角形acb=90°，ac=6，bc=8 ab=10ad=ab·cosdab=10×=5又aecd，acd=4

15、5°ace是等腰直角三角形ce=ae=ac·coscae=6×=3在ade中，de2=ad2-ae2de2=de=cd=ce+de=3+=pda=pcd，p=p pdapcd pc=pd，pa=pdpc=pa+acpd=pd+6解得pd=1證明：過點g作ghab于h，連接oeegco，efabego=90°，efo=90°ego+efo=180°e、g、o、f四點共圓geo=hfgego=fhg=90°egofhg=ghab，cdabghcdeo=cocd=gf2證明：作正三角形adm，連接mpmad=60°，pa

16、d=15°map=mad+pad=75°bad=90°，pad=15°bap=bad-pad=90°-15°=75°bap=mapma=ba，ap=apmapbapbpa=mpa，mp=bp同理cpd=mpd，mp=cppadpda15°pa=pd，bap=cdp=75°ba=cdbapcdpbpa=cpdbpa=mpa，cpd=mpdmpa=mpd=75°bpc=360°-75°×4=60°mp=bp，mp=cp bp=cp bpc是正三角形3證明:連接

17、ac，取ac的中點g,連接ng、mgcn=dn，cg=dggnad，gn=adden=gnmam=bm，ag=cggmbc，gm=bcf=gmnad=bcgn=gmgmn=gnmden=f1證明：（1）延長ad交圓于f，連接bf，過點o作ogad于gogafag=fg=f=acb又adbc，beacbhd+dbh=90°acb+dbh=90°acb=bhdf=bhdbh=bf又adbcdh=dfah=ag+gh=fg+gh=gh+dh+df+gh=2gh+2dh=2（gh+dh）=2gd又adbc，ombc，ogad四邊形omdg是矩形om=gd ah=2om（2）連接ob、ocbac=60boc=120°ob=oc，ombcbom=boc=60°obm=30°