初中拋物線經(jīng)典練習(xí)題(含詳細(xì)答案)

1、初中數(shù)學(xué) 拋物線 經(jīng)典試題集錦【編著】 黃勇權(quán) 【第一組題型】1、已知二次函數(shù)y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)a（2,0），c（0, -8）（1）求此二次函數(shù)的解析式，（2）在拋物線上存在一點(diǎn)p使abp的面積為15，請(qǐng)直接寫(xiě)出p點(diǎn)的坐標(biāo)。2、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=2x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（5，0-），b（2，-6）（1）求拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸（2）設(shè)點(diǎn)b關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為c，寫(xiě)出過(guò)a、c兩點(diǎn)直線的表達(dá)式。3、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線的頂點(diǎn)c為（2，4），并在x軸上截得的長(zhǎng)度為6。（1）寫(xiě)出拋物線與x軸交點(diǎn)a、b的坐標(biāo)（2）求該拋物線的表達(dá)式（3）寫(xiě)出拋物線

2、與y軸交點(diǎn)p的坐標(biāo)4、直線的解析式為y=2x+4，交x軸于點(diǎn)a，交y軸于點(diǎn)b，若以a為頂點(diǎn),，且開(kāi)口向下作拋物線，交直線ab于點(diǎn)d，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)c，（1）若abc的面積為20，求此時(shí)拋物線的解析式（2）若bdo的面積為8，求此時(shí)拋物線的解析式【答案】1、已知二次函數(shù)y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)a（2,0），c（0, -8）（1）求此二次函數(shù)的解析式，（2）在拋物線上存在一點(diǎn)p使abp的面積為15，請(qǐng)直接寫(xiě)出p點(diǎn)的坐標(biāo)。解：【第一問(wèn)】因?yàn)楹瘮?shù)y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)a（2,0），c（0, -8）分別將x=2，y=0代入y=x²+bx+c， 得 0=4+2b+c- 將x=

3、0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-將代入，解得：b=2-此時(shí)，將 代入y=x²+bx+c，所以：二次函數(shù)的解析式 y=x²+ 2x -8【第二問(wèn)】abp的面積= ab*yp-因?yàn)閍、b兩點(diǎn)在x軸上，令x²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：ab=x1- x2=2-（- 4）=6-又abp的面積=15-由 ，得 ： *6*yp=15yp=5 故有：yp= ±5即：p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5或-5.把y=5代入 y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8 x²+ 2x

4、 -13=0解得：x= -1± 那么，此時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)（-1+，5），（-1-，5）-把y=-5代入 y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8 x²+ 2x -3=0 （x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)（1，-5），（-3，-5）-由 得，使abp的面積為15，p點(diǎn)坐標(biāo)是：（-1+，5），（-1-，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=2x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（5，0-），b（2，-6）（1）求拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸（2）設(shè)點(diǎn)b關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為c，寫(xiě)出過(guò)a、c兩點(diǎn)直

5、線的表達(dá)式。解：【第一問(wèn)】因?yàn)閽佄锞€y=2x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（5，0-），b（2，-6）將x=5，y=0 代入y=2x²+mx+n，得： 0=50+5m+n-將x=2，y= -6代入y=2x²+mx+n，得：-6=8+2m+n-此時(shí)，由 、， 得：m= -12， n=10所以，拋物線的表達(dá)式：y=2x²-12x+10再將拋物線表達(dá)式進(jìn)行變形：y=2x²-12x+10y=2（x²-6x+9）-8y=2（x-3）² -8所以，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=3【第二問(wèn)】因?yàn)閎點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-6），c是b關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以，c點(diǎn)的坐標(biāo)

6、（-2，6）設(shè)過(guò)a、c兩點(diǎn)的直線方程為：y=kx+b因?yàn)檫^(guò)a（5，0-），c（-2，6），將x=5，y=0 代入y=kx+b，得：0= 5k +b-將x=-2，y=6代入y=kx+b，得：6= -2k+b-由 解得：k= - ， b= 所以，過(guò)a、c兩點(diǎn)的直線表達(dá)式為：y= - x+ 3、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線的頂點(diǎn)c為（2，4），并在x軸上截得的長(zhǎng)度為6。（1）寫(xiě)出拋物線與x軸交點(diǎn)a、b的坐標(biāo)（2）求該拋物線的表達(dá)式（3）寫(xiě)出拋物線與y軸交點(diǎn)p的坐標(biāo)解：【第一問(wèn)】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)c為（2，4），所以，對(duì)稱(chēng)軸是：x=2又因?yàn)閽佄锞€在x軸上截得的長(zhǎng)度為6，那么，對(duì)稱(chēng)軸x=2將6平分

7、，也就是說(shuō)，a、b兩點(diǎn)關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，且他們到x=2的距離是3所以，a的橫坐標(biāo)：2-3 = -1 b的橫坐標(biāo)：2+3 = 5故，拋物線與x軸交點(diǎn)a、b的坐標(biāo)是（-1,0），（5,0）【第二問(wèn)】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)c為（2，4），那么，拋物線的表達(dá)式直接可設(shè)為：y=a（x-2）²+4 【特別提示，這個(gè)非常重要，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算】再將a（-1,0）代入y=a（x-2）²+4， 得 ，0=a（-1-2）²+4解得：a= - 所以，拋物線的表達(dá)式為，y= - （x-2）²+4【第二問(wèn)】令x=0，代入y= - （x-2）²+4 ，得y= - （0-2）

8、8;+4 y= 所以，拋物線與y軸交點(diǎn)p的坐標(biāo)（0， ）4、直線的解析式為y=2x+4，交x軸于點(diǎn)a，交y軸于點(diǎn)b，若以a為頂點(diǎn),，且開(kāi)口向下作拋物線，交直線ab于點(diǎn)d，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)c，（1）若abc的面積為20，求此時(shí)拋物線的解析式（2）若bdo的面積為8，求此時(shí)拋物線的解析式解：【第一問(wèn)】直線的解析式為y=2x+4令x=0，代入y=2x+4， 得，y=4，所以b點(diǎn)坐標(biāo)（0, 4）令y=0，代入y=2x+4， 得，x=-2，所以a點(diǎn)坐標(biāo)（-2,0）設(shè)c點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yc（yc是負(fù)數(shù)），那么線段bc的長(zhǎng)度bc= 4 -yc abc的面積= *xa*bc= *-2* (4 -yc )=20 4

9、 -yc =20解得：yc = -16所以，c點(diǎn)坐標(biāo)（0，-16）-以a（-2,0）為頂點(diǎn),可設(shè)拋物線表達(dá)式：y= a（x+2）² +0 y= a（x+2）² ，它過(guò)點(diǎn)c（0，-16），將x=0,y= -16代入 y= a（x+2）²，解得：a= -4所以，拋物線表達(dá)式y(tǒng)= -4（x+2）²【第二問(wèn)】設(shè)d點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xd（xd是負(fù)數(shù)），bdo的面積= *xd*bo= *xd*4=8 xd=4 xd是負(fù)數(shù),所以，xd= -4，又d點(diǎn)在直線y=2x+4上，將xd= -4 代入y=2x+4，解得yd= -4d點(diǎn)坐標(biāo)（-4, -4）-以a（-2,0）為頂點(diǎn),可設(shè)

10、拋物線表達(dá)式：y= a（x+2）² 它過(guò)點(diǎn)d（-4，-4）將x= -4,y= -4代入 y= a（x+2）²，解得：a= -1所以，拋物線表達(dá)式y(tǒng)= -（x+2）²【第二組題型】5、若關(guān)于x的方程x²+2mx+m²+3m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，則x1（x2+x1）+x2²的最小值為（ ）6、平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)a（-5，0,），b（3，0），拋物線y=ax²+bx-30（a0）過(guò)a、b，頂點(diǎn)為c，點(diǎn)p（m，n）為拋物線上的一點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)c的坐標(biāo)。（2）當(dāng)四邊形apbc為梯形，求p的坐標(biāo)。7、已知拋

11、物線y= x²+bx+c 與x軸相交于點(diǎn)a和b（2，0），與y軸相交于c（0，-6）（1）求出拋物線的解析式和a點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）d為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)p點(diǎn)（t，0），且t2，如果bdp與cdp的面積相等，求p點(diǎn)的坐標(biāo)。8、在xoy直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)c（2，-3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為a，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為b，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)a、b兩點(diǎn)，且點(diǎn)d（3，19）在拋物線上?！敬鸢浮?、若關(guān)于x的方程x²+2mx+m²+3m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，則x1（x2+x1）+x2²的最小值為（ ）解：方程x²+2mx+m²+3m2

12、=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則判別式=（2m）²- 4*（m²+3m2）0即：m-根據(jù)韋達(dá)定理，x1+x2 = -2m-x1x2 =m²+3m2-又x1（x2+x1）+x2²= x1x2 +x1² +x2² （， ） =（x2+x1）²- x1x2 【將 代入】 =（-2m）²-（m²+3m2） =3m²- 3m+2 =3（m- ）²+ 則頂點(diǎn)（， ）其圖像為由知，當(dāng)m時(shí)，已經(jīng)把頂點(diǎn)包含在內(nèi)，故，當(dāng)m=時(shí)，有最小值是 6、平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)a（-5，0,），b（3，0），拋物線y=ax

13、8;+bx-30（a0）過(guò)a、b，頂點(diǎn)為c，點(diǎn)p（m，n）為拋物線上的一點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)c的坐標(biāo)。（2）當(dāng)四邊形apbc為梯形，求p的坐標(biāo)。解：【第一問(wèn)】因?yàn)辄c(diǎn)a（-5，0,），b（3，0）均為x軸上的兩點(diǎn)，且拋物線過(guò)這兩點(diǎn)，故拋物線的解析式可寫(xiě)為：y=a（x+5）（x-3） y=a（x²+2x-15） y=ax²+2ax-15a-又已知， 拋物線y=ax²+bx-30-根據(jù)恒等原理，式 與式對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等。那么它們的常數(shù)項(xiàng)相等，即：-15a = -30解得：a=2將a=2 代入式，解得拋物線解析式為： y=2x²+4x-30再對(duì) y=2

14、x²+4x-30變形即： y=2（x²+2x）-30 y=2（x+1）² -32所以，頂點(diǎn)c坐標(biāo)（-1,-32）答：拋物線解析式為： y=2x²+4x-30，頂點(diǎn)c坐標(biāo)（-1,-32）【第二問(wèn)】 四邊形apbc為梯形，有兩種情況，一是bpac，一是apcb（1）當(dāng)bpac，因?yàn)閍（-5，0），c（-1，-32）直線ac的斜率k1= = -8 -因?yàn)閎（3，0），p（m，n）直線pb說(shuō)完斜率k2= = -因?yàn)閎pac所以=即-8 = 化簡(jiǎn)：n = 24 -8m-因?yàn)閜（m，n）在拋物線上，所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中得：n=

15、2m²+4m-30-因?yàn)?，消去n，得：24 -8m=2m²+4m-30化簡(jiǎn)：m²+6m-27=0（m+9）（m-3）=0解得：m= -9，m=3將m= -9代入中，解得，n=96，則p坐標(biāo)（-9，96）將m=3代入中，解得，n=0，則p坐標(biāo)（3，0）與b（3,0）重合，舍去故：當(dāng)bpac時(shí)，p坐標(biāo)為（-9，96）（2）apcb同理：直線bc的斜率k3=8直線ap的斜率k4=由k3=k4，得8= 即：n=8m+40-因?yàn)閜（m，n）在拋物線上，所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中得：n=2m²+4m-30-由=解得，m=7，m=-

16、5將m=7，m=-5代入，解得n=106，n=0即p坐標(biāo)（7，106），或p（-5，0）與a（-5，0）重合，舍去故：當(dāng)apcb時(shí)，p坐標(biāo)為（7，106）7、已知拋物線y= x²+bx+c 與x軸相交于點(diǎn)a和b（2，0），與y軸相交于c（0，-6）（1）求出拋物線的解析式和a點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）d為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)p點(diǎn)（t，0），且t2，如果bdp與cdp的面積相等，求p點(diǎn)的坐標(biāo)。解：【第一問(wèn)】因?yàn)閽佄锞€與y軸相交于c（0，-6）將x=0，y= -6代入y= x²+bx+c，解得：c = -6那么，拋物線解析式為：y= x²+bx -6拋物線與與x軸相交于a（2，0）

17、，將x=2，y=0，代入y= x²+bx -6，解得：b= 故，拋物線解析式為：y= x²+ x -6將y= x²+ x -6變形y= （x²+2x -8）y= （x-2）（x+4）令y=0，解得x=2，或x= -4則與x軸相交的坐標(biāo)為（2，0），（-4，0）已知b（2，0），所以a坐標(biāo)（-4，0）【第二問(wèn)】將y= x²+ x -6變形y= （x²+ 2x）-6y= （x²+ 2x+1）-6 -y= （x+1）² - 所以，頂點(diǎn)d坐標(biāo)為（-1，- ） d點(diǎn)縱坐標(biāo)是- ，線段bp長(zhǎng)度為：p點(diǎn)橫坐標(biāo)-b橫坐標(biāo) = t

18、-2bdp面積= *yd*bp = *- *t -2(因?yàn)閠2） = （t -2）-設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于x軸于e，過(guò)頂點(diǎn)c作cf平行于x軸交de于f.梯形efcp面積= *ep+cf*ef= *（xp-xd）+（xc - xd）*yc= * t-（-1）+ 0- （-1）*-6= *（t+2）*6=3（t+ 2）-三角形cdf面積= *cf*df= *xc - xd*yd-yc= *xc - xd*yd-yc = *0- （-1）*- -（-6）= -四邊形depc面積=梯形efcp面積+三角形cdf面積= + = 3t + -三角形dep面積= *de*pe= *yd*xp-xd= *- *t -（-1）= （t +1） -三角形cpd面積=四邊形depc面積 - 三角形dep面積 = - = -又因?yàn)椋篵dp與cdp的面積相等即：= （t -2）= 解得：t = 答：如果bdp與cdp的面積相等，求p點(diǎn)的坐標(biāo)（ ，0）。8、在xoy直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)c（2，-3）關(guān)于