2019全國2卷理科數(shù)學(xué)試題及詳解

1、2019全國2卷理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。1.設(shè)集合a=xx2-5x+6>0,b=xx-1<0,則ab=( a ) a. (-,1) b. (-2,1) c. (-3,-1) d. (3,+)2.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面z對應(yīng)的點位于( c ) a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限3.已知ab=2,3,ac=3,t,bc=1,則abbc=( c ) a. -3 b. -2 c. 2 d. 34.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天 事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要

2、解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探 測器的通訊聯(lián)系。為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”。鵲橋沿著圍繞地月 拉格朗日l2點的軌道運行，l2點是平衡點，位于地月連線的延長線上，設(shè)地球質(zhì)量為m1 ，月球質(zhì)量為m2，地月距離為r，l2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定理和萬有引力 定律，r滿足方程： m1r+r2+m2r2=(r+r)m1r3 設(shè)=rr,由于的值很小，因此在近似計算中33+34+5(1+)233,則r的近似值為( d ) a. m2m1r b. m22m1r c. 33m2m1r d. 3m23m1r5.演講比賽共有9為評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個

3、原始評分中去掉1個最高分、一個最低分，得到7個有效評分。7個有效評分與9個 原始評分相比，不變的數(shù)字特征是( a ) a. 中位數(shù) b. 平均數(shù) c. 方差 d.極差6.若a>b,則( c ) a. lna-b>0 b.3a<3b c. a3-b3>0 d. a>|b|7.設(shè)，為兩個平面，則的 充要條件是( b ) a. 內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 b. 內(nèi)有兩條相交直線與平行 c. ，平行于同一條直線 d. ，垂直于同一平面8.若拋物線y2=2pxp>0的焦點是橢圓x23p+y2p=1的一個焦點，則p=( d ) a. 2 b. 3 c. 4 d. 89.下列函

4、數(shù)中，以2為周期且在區(qū)間4,2單調(diào)遞增的是( a ) a. fx=|cos2x| b. fx=|sin2x| c. fx=cosx d. fx=sin|x|10.已知0,2,2sin2=cos2+1,則sin=( b ) a. 15 b. 55 c. 33 d. 25511.設(shè)f為雙曲線c：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點，o為坐標原點，以of為直徑 的圓與圓x2+y2=a2交于p，q兩點.若pq=of,則c的離心率為( a ) a. 2 b. 3 c. 2 d. 512.設(shè)函數(shù)fx的定義域為r，滿足fx+1=2fx,且當x0,1時，fx=xx-1. 若對任意x-,m,

5、都有fx-89,則m的取值范圍是( b ) a. (-,94 b. (-,73 c.(-,52 d. (-,83二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。13.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進。經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的 正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng) 停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為 14.已知fx是奇函數(shù)，且當x<0時，fx=-eax,若fln2=8,則a= 15.abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,b=3,則abc 的面積為 16.中國有悠久的金石文化，印信時金石文化

6、的代表之一。印信的形狀多為長方體、 正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員孤獨信的印信形狀是“半正多面體”圖1. 半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體。半正多面體體現(xiàn)了數(shù) 學(xué)的對稱美。圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一正方 體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有 個面，其棱長 為 （本題第一空2分，第二空3分。）三、解答題：共70分。第1721題為必考題。第22、23題為選考題。（一）必考題：共60分17.（12分） 如圖，長方體abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形、 點e在棱aa1上，beec1. 1證明：be平面eb1c1; 2若ae

7、=a1e,求二面角b-ec-c1的正弦值.18.（12分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多 得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束。甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的 概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立。在某局雙方10:10后， 甲先發(fā)球，兩人又打了x個球該局比賽結(jié)束。 1求px=2; 2求事件“x=4且甲獲勝”的概率。19.（12分）已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. 1證明：an+bn是等比數(shù)列，an-bn是等差數(shù)列; 2求an和bn的通項

8、公式.20.(12分)已知函數(shù)fx=lnx-x+1x-11討論fx的單調(diào)性，并證明fx有且僅有兩個零點; 2設(shè)x0是fx的一個零點，證明曲線y=lnx在點ax0,lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線。21（12分）已知點a-2,0，b2,0,動點mx,y滿足直線am與bm的斜率之積為-12. 記m的軌跡為曲線c.1求c的方程，并說明c是什么曲線; 2過坐標原點的直線交c于p，q兩點，點p在第一象限，pex軸，垂足為e， 連結(jié)qe并延長交c與點g. i證明：pqg是直角三角形; ii求pqg面積的最大值.二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分

9、。22.【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】（10分） 在極坐標系中，o為極點，點m0,00>0在曲線c：=4sin上.直線l過點 a4,0且與om垂直，垂足為p. 1當0=3時，求0及l(fā)的極坐標方程; 2當m在c上運動且p在線段om上時，求p點軌跡的極坐標方程. 23.【選修4-5：不等式選講】(10分) 已知fx=x-ax+x-2x-a. 1當a=1時，求不等式fx<0的解集; 2若x-,1時，fx<0,求a的取值范圍.參考答案：2019全國2卷理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。1.設(shè)集合a=xx2-5x+6>0,b=xx-1<0,則a

10、b=( a ) a. (-,1) b. (-2,1) c. (-3,-1) d. (3,+) 解析：a=xx2-5x+6>0=xx<2或x>3,b=xx<1, ab=xx<1,選a2.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面z對應(yīng)的點位于( c ) a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限 解析：z=-3+2i，z=-3-2i,對應(yīng)點-3,-2位于復(fù)平面第三象限，選c3.已知ab=2,3,ac=3,t,bc=1,則abbc=( c ) a. -3 b. -2 c. 2 d. 3 解析：bc=ac-ab=1,t-3,bc=1+t-32=1,t=3 bc=1

11、,0,abbc=2，選c4.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天 事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探 測器的通訊聯(lián)系。為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”。鵲橋沿著圍繞地月 拉格朗日l2點的軌道運行，l2點是平衡點，位于地月連線的延長線上，設(shè)地球質(zhì)量為m1 ，月球質(zhì)量為m2，地月距離為r，l2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定理和萬有引力 定律，r滿足方程： m1r+r2+m2r2=(r+r)m1r3 設(shè)=rr,由于的值很小，因此在近似計算中33+34+5(1+)233,則r的近似值為( d ) a.

12、m2m1r b. m22m1r c. 33m2m1r d. 3m23m1r 解析：m1r+r2+m2r2=r+rm1r3，r=r, m1r+r2+m2(r)2=(r+r)m1r3 m2=m11+-11+22=m133+34+51+2m133=3m1r3r3, r3m23m1r3,r3m23m1r,選d5.演講比賽共有9為評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個 原始評分中去掉1個最高分、一個最低分，得到7個有效評分。7個有效評分與9個 原始評分相比，不變的數(shù)字特征是( a ) a. 中位數(shù) b. 平均數(shù) c. 方差 d.極差 解析：不妨把9個原始評分從小到大排序記作：x1,x2

13、,x9,去掉x1,x9,剩余7個 有效評分為，x2,x3,x8,由數(shù)字特征定義知，不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，選a6.若a>b,則( c ) a. lna-b>0 b.3a<3b c. a3-b3>0 d. a>|b| 解析：由函數(shù)y=lnx,y=3x,y=x3,y=x的基本性質(zhì)知，當a>b時，只有a3-b3 >0成立，選c7.設(shè)，為兩個平面，則的 充要條件是( b ) a. 內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 b. 內(nèi)有兩條相交直線與平行 c. ，平行于同一條直線 d. ，垂直于同一平面 解析：由面面平行的判定定理知，b正確，選b8.若拋物線y2=2pxp>0的

14、焦點是橢圓x23p+y2p=1的一個焦點，則p=( d ) a. 2 b. 3 c. 4 d. 8 解析：拋物線y2=2pxp>0的焦點為fp2,0,所以橢圓焦點在x軸上，由題知， 3p=p+(p2)2,p2=8p,又p>0，p=8,選d9.下列函數(shù)中，以2為周期且在區(qū)間4,2單調(diào)遞增的是( a ) a. fx=|cos2x| b. fx=|sin2x| c. fx=cosx d. fx=sin|x| 解析：由y=cos2x,y=sin2x,y=cosx,y=sinx的函數(shù)圖象可知，周期為2且 在區(qū)間4,2單調(diào)遞增的函數(shù)是y=cos2x，選a10.已知0,2,2sin2=cos2+

15、1,則sin=( b ) a. 15 b. 55 c. 33 d. 255 解析：2sin2=cos2+1，4sincos=2cos2,sin=12cos, sin2=141-sin2,sin2=15，又0,2，sin=55，選b11.設(shè)f為雙曲線c：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點，o為坐標原點，以of為直徑 的圓與圓x2+y2=a2交于p，q兩點.若pq=of,則c的離心率為( a ) a. 2 b. 3 c. 2 d. 5 解析：由題知，pq=of，2abc=c,c4=4a2b2=4a2c2-a2, c4-4a2c2+4a4=0,c2-2a22=0,c2-2a2=

16、0，c2a2=2,ca=2,選a12.設(shè)函數(shù)fx的定義域為r，滿足fx+1=2fx,且當x0,1時，fx=xx-1. 若對任意x-,m,都有fx-89,則m的取值范圍是( b ) a. (-,94 b. (-,73 c.(-,52 d. (-,83 解析：fx+1=2fx，fx=2fx-1,fx=12fx+1 x0,1時，fx=xx-1-14， x1,2時，fx=2fx-1=2x-1x-2-12 x2,3時，fx=2fx-1=22x-2x-3-1 ,xn,n+1nn時, fx=2nx-nx-n-1-2n-2, x-1,0時,fx=12fx+1=12x+1x-18, x-2,-1時，fx=12f

17、x+1=122x+2x+1-116 ，x-n-1,-nnn時，fx=12n+1x+n+1x+n-12n+3, 故當x2,3時，令fx=22x-2x-3=-89，得x=73,x=83，結(jié)合圖象 x-,73時，都有都有fx-89，m73,選b二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。13.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進。經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的 正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng) 停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為 解析：平均正點率估計值為0.97×1040+0.98×2040+0.99

18、5;1040=0.98，填0.98 14.已知fx是奇函數(shù)，且當x<0時，fx=-eax,若fln2=8,則a= 解析：已知fx是奇函數(shù)，且當x<0時，fx=-eax， fln2=-f-ln2=e-aln2=eln12a=12a=8,a=-3,填-315.abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,b=3,則abc 的面積為 解析：b=6,a=2c,b=3，由余弦定理b2=a2+c2-2accosb,知 36=4c2+c2-22cc12=3c2,c=23,a=43 abc的面積s=12acsinb=12432332=63,填6316.中國有悠久的金石文化，印信

19、時金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、 正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員孤獨信的印信形狀是“半正多面體”圖1. 半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體。半正多面體體現(xiàn)了數(shù) 學(xué)的對稱美。圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一正方 體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有 個面，其棱長 為 （本題第一空2分，第二空3分。） 解析：由圖知，該半正多面體的面數(shù)為26，設(shè)所求棱長為a,則由題知a+2a=1,a=2-1， 第一空填26，第二空填2-1三、解答題：共70分。第1721題為必考題。第22、23題為選考題。（一）必考題：共60分17.（12分） 如

20、圖，長方體abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形、 點e在棱aa1上，beec1. 1證明：be平面eb1c1; 2若ae=a1e,求二面角b-ec-c1的正弦值. 解析：1在正方體abcd-a1b1c1d1中，b1c1平面abb1a1 beÜ平面abb1a1，b1c1be，又beec1，b1c1ec1=c1， 且b1c1，ec1Ü平面eb1c1，be平面eb1c1 2底面abcd是正方形，若ae=a1e，由1知be平面eb1c1，則beeb1， abe為等腰直角三角形，取ab=bc=1,則ae=1，cc1=2 以c為坐標原點，以cd，cb，cc1分別為x,y,z

21、軸如圖建立空間直角坐標系c-xyz. 則c0,0,0,b0,1,0,e1,1,1,c10,0,2, ce=1,1,1,cb=0,1,0,cc1=0,0,2 設(shè)平面ceb的法向量n=x,y,z,則 nce=0ncb=0,x+y+z=0y=0,取x=1,則y=0,z=-1 n=(1,0,-1) 設(shè)平面cec1的法向量m=a,b,c,則 mce=0mcc1=0,a+b+c=02c=0,取a=1,則y=-1,z=0 m=(1,-1,0) cos<m,n>=mnmn=122=12 二面角b-ec-c1的正弦值為3218.（12分） 11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后

22、，每球交換發(fā)球權(quán)，先多 得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束。甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的 概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立。在某局雙方10:10后， 甲先發(fā)球，兩人又打了x個球該局比賽結(jié)束。 1求px=2; 2求事件“x=4且甲獲勝”的概率。 解析：1用甲表示甲發(fā)球時甲得分，用乙表示乙發(fā)球時乙得分，用甲表示甲發(fā)球時乙得分， 用乙表示乙發(fā)球時甲得分，甲先發(fā)球,x=2，甲:乙為10:12或12:10時比賽結(jié)束。 則px=2=p甲乙+p甲乙=0.5×0.4+1-0.5×(1-0.4)=0.5 2甲先發(fā)球，x=4且甲獲勝，則甲：乙為13

23、:11時比賽結(jié)束 則px=4且甲獲勝=p甲 乙 甲 乙+p甲 乙 甲 乙 =1-0.5×0.4×0.5×0.4+0.5×1-0.4×0.5×0.4=0.1 事件“x=4且甲獲勝”的概率為0.119.（12分） 已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. 1證明：an+bn是等比數(shù)列，an-bn是等差數(shù)列; 2求an和bn的通項公式. 解析：14an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. +得：4an+1+bn+1=2an+bn，即an+1+bn+1=12an+

24、bn -得：4an+1-bn+1=4an+bn+8，即an+1+bn+1=an+bn+2 又a1=1,b1=0，a1+b1=1，a1-b1=1 an+bn是首項為1，公比為12的等比數(shù)列，an-bn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列. 2由1知，an+bn=12n-1, an-bn=2n-1, an=12an+bn+an-bn=12n+n-12，bn=12an+bn-an-bn=12n-n+1220.(12分) 已知函數(shù)fx=lnx-x+1x-1 1討論fx的單調(diào)性，并證明fx有且僅有兩個零點; 2設(shè)x0是fx的一個零點，證明曲線y=lnx在點ax0,lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線。 解析

25、：1fx=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1(x>0且x1) f'x=1x+2x-12>0,fx在0,1上單調(diào)遞增，在1，+上單調(diào)遞增。 f1e=-1-1+e1-e=2e-1>0,f1e2=e2+1e2-1-2<0,fe=12-e+1e-1<0,fe2=2-e2+1e2-1>0 fx在0,1和1，+上各有一個零點.fx有且僅有兩個零點. 2設(shè)x0是fx的一個零點，則lnx0-2x0-1-1=0 y=lnx,y'=1x，y=lnx在點ax0,lnx0處的切線斜率為1x0, y=lnx在點ax0,lnx0處的切線方程為：y-lnx0=1x

26、0x-x0， 即y=1x0x+lnx0-1=1x0x+2x0-1 設(shè)該切線與y=ex切于bt,et，又y'=ex,et=1x0,且et=1x0t+2x0-1 1x0=1x0t+2x0-1，t=1-2x0x0-1=-2x0-1-1=-lnx0, 曲線y=lnx在點ax0,lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線且切點為b(-lnx0,1x0)21（12分） 已知點a-2,0，b2,0,動點mx,y滿足直線am與bm的斜率之積為-12. 記m的軌跡為曲線c. 1求c的方程，并說明c是什么曲線; 2過坐標原點的直線交c于p，q兩點，點p在第一象限，pex軸，垂足為e， 連結(jié)qe并延長交c與點g

27、. i證明：pqg是直角三角形; ii求pqg面積的最大值. 解析：1設(shè)直線am與bm的斜率分別為kam，kbm，點a-2,0，b2,0,動點mx,y kamkbm=yx+2yx-2=y2x2-4=-12，c：x24+y22=1x±2,曲線c是去掉左右頂點 a-2,0，b2,0,長軸長為4,焦點為±2,0的橢圓. 2(i)設(shè)px0,y0,則ex0,0,q-x0,-y0,由題知直線pq斜率存在且不為0，則直線pq的方程 為y=y0x0x,直線 qe的方程為y=y02x0x-x0=y02x0x-y02，且x02+2y02=4,x0>0,y0>0， 由x24+y22=1與y=y02x0x-y02，聯(lián)立得 2x02+y02x2-2x0y02x+x02y02-8