圣維南原理的概念及應用

1、高等巖石力學高等巖石力學第二講：特殊邊界處理與網格劃分問題平面問題的基本方程平面問題的基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程（2-2）2. 幾何方程幾何方程yuxvyvxuxyyx（2-9）3. 物理方程物理方程（平面應力問題）（平面應力問題）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）4. 邊界條件邊界條件位移：位移：vvuuss（2-17）應力：應力：（2-18）00yyxyxyxxfyxfyxysxysyxsxysxflmfml)()()()(例例1 如圖所示，試寫出其邊界條件。如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2),

2、 ax 0, 1mlysxysyxsxysxflmfml)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0) 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq說明：說明：x = 0 的邊界條件，是有矛的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結果：盾的。由此只能求出結果：. 0, 0vu0, 0yxff0, 0yxff0,xyffq例例3 圖示水壩，試寫出其邊界條件。圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側面：左側面：sin,cosmlsinyfycosxyf 由應力邊界條件公式，有由應力邊界條件公式，

3、有ysxysyxsxysxflmfml)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右側面：右側面：sin,cosmltanyxtanyx 0yxff0cossinxyyx0sincosxyx例例4圖示薄板，在圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點證明在板中間突出部分的尖點A處無應處無應力存在。力存在。解：解： 平面應力問題，在平面應力問題，在 AC、AB 邊界上無面邊界上無面力作用。即力作用。即0yxffAB 邊界：邊界：111sin,cosml由應力邊界條件公式，有由應力邊界條件公式，有ysxysyxsxysx

4、flmfml)()()()(0cossin0sincos2222xyyxyx（1）AC 邊界：邊界：1222sincosml代入應力邊界條件公式，有代入應力邊界條件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）A 點同處于點同處于 AB 和和 AC 的邊界，的邊界，滿足式（滿足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 點處無應力作用點處無應力作用ZSRock Mass Mechanics1.靜力等效2.圣維南原理及其應用2021-11-18ZSZSRock Mass Mechanics1.為什么要用圣維南原理？為什么要用圣維南原理？2.如何應用圣維南原理？如何應用圣

5、維南原理？3.圣維南原理中主矩的方向是如何定義的？圣維南原理中主矩的方向是如何定義的？4.圣維南原理中主矩是對那個點取矩？圣維南原理中主矩是對那個點取矩？5.圣維南原理中邊界的面力和應力的關系？圣維南原理中邊界的面力和應力的關系？6.什么是主要邊界？什么是次要邊界？什么是主要邊界？什么是次要邊界？7.為什么正應力對中心點取矩不為零？為什么正應力對中心點取矩不為零？問題的提出：問題的提出：PPP 求解彈性力學問題時，使應力分量、求解彈性力學問題時，使應力分量、形變分量、位移分量完全滿足形變分量、位移分量完全滿足8個基本方程個基本方程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，往往相對容易，但要使邊界條件完

6、全滿足，往往很困難。很困難。 如圖所示，其力的作用點處的邊界條如圖所示，其力的作用點處的邊界條件無法列寫。件無法列寫。1. 、靜力等效的概念、靜力等效的概念 兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為為靜力等效力系靜力等效力系。)(iOOFmMiFR 這種這種等效等效只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。確，但對變形體而言一般是不等效的。2.、圣維南原理圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的若把物體的一小部分邊界上的面力一

7、小部分邊界上的面力，變換為分布，變換為分布不同但不同但靜力等效的面力靜力等效的面力，則，則近處近處的應力分布將有的應力分布將有顯著改變，而顯著改變，而遠處遠處所受的影響可忽略不計所受的影響可忽略不計。PPPP/2P/2APAPAP3.、圣維南原理的應用圣維南原理的應用(1) 對對復雜的力邊界復雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。，用靜力等效的分布面力代替。(2) 有些有些位移邊界位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項：注意事項：(1) 必須滿足必須滿足靜力等效靜力等效條件；條件；(2) 只能在只能在次要邊界上次要邊界上用圣維南原理

8、，在用圣維南原理，在主要邊界主要邊界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界ZSRock Mass Mechanics例72021-11-18ZS例例7 圖示矩形截面水壩，其右側受靜水圖示矩形截面水壩，其右側受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應力邊界條件。水壩的應力邊界條件。左側面：左側面：0, 1ml0yxffysxysyxsxysxflmfml)()()()(代入應力邊界條件公式代入應力邊界條件公式0hxxyhxxy右側面：右側面：0, 1ml0,yxfyf代入應力邊界條件公式，有代入應力邊界條件公式，有00hxxyh

9、xx上端面：上端面： 為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP對對O點的力矩等效：點的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必須按正向假設！必須按正向假設！yPxyyx上端面：上端面：（方法（方法2）取圖示微元體，取圖示微元體，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可見，與前面結果相同?？梢?/p>

10、，與前面結果相同。注意：注意：xyy,必須按正向假設！必須按正向假設！由微元體的平衡求得，由微元體的平衡求得，例例9圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計體力。試根據作用，不計體力。試根據材料力學公式，寫出彎曲應力材料力學公式，寫出彎曲應力 和剪應力和剪應力 的表達式，并取擠的表達式，并取擠壓應力壓應力 =0，然后說明這些表達式是否代表正確解。，然后說明這些表達式是否代表正確解。xyxy解解材料力學解答：材料力學解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（式（a）滿足）滿足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否

11、滿足）是否滿足邊界條件？邊界條件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）顯然，顯然，平衡微分方程平衡微分方程滿足。滿足。00 yIPyIP0000式（式（a）滿足）滿足相容方程。相容方程。再驗證，式（再驗證，式（a）是否滿足）是否滿足邊界條件？邊界條件？0, 022hyyxhyy 滿足滿足00 xx滿足滿足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhhx近似滿足近似滿足近似滿足近似滿足結論：式（結論：式（a）為正確解）為正確解0)(2222yxyx代入代入相容

12、方程：相容方程：02222xyIPyx0上、下側邊界：上、下側邊界：右側邊界：右側邊界：左側邊界：左側邊界：ZSRock Mass Mechanics圓孔應力集中：應力集中程度2021-11-18ZSZSRock Mass Mechanics1. 孔邊應力集中概念孔邊應力集中概念 由于彈性體中存在小孔，使得由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應力遠大于無孔時的應力孔邊的應力遠大于無孔時的應力，也也遠大于距孔稍遠處的應力遠大于距孔稍遠處的應力。稱為孔邊的稱為孔邊的應力集中。應力集中。應力集中系數：應力集中系數：maxK與孔的形狀有關，是局部現象；與孔的形狀有關，是局部現象；與孔的大小幾乎無關。與孔的

13、大小幾乎無關。（圓孔為最小，其它形狀較大）（圓孔為最小，其它形狀較大）2. 孔邊應力集中問題的求孔邊應力集中問題的求解解（1）問題：）問題：max 帶有圓孔的無限大板（帶有圓孔的無限大板（B a），圓），圓孔半徑為孔半徑為 a，在無限遠處受有均勻拉應力，在無限遠處受有均勻拉應力 q 作用。作用。求：孔邊附近的應力。求：孔邊附近的應力。ZSRock Mass Mechanics（2）問題的求解）問題的求解 問題分析問題分析坐標系：坐標系：就外邊界（直線），宜用直角坐標；就外邊界（直線），宜用直角坐標；就內邊界（圓孔），宜用極坐標。就內邊界（圓孔），宜用極坐標。),(rA 取一半徑為取一半徑為 r

14、 =b (ba），在其上取一），在其上取一點點 A 的應力：的應力：OxybAqxArrrA由應力轉換公式：由應力轉換公式：2sin2cos22xyyxyxr2cos22qq2cos2sin2xyyxr2sin2q原問題轉化為：原問題轉化為：無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。rrbZSRock Mass Mechanicsrr新問題的邊界條件可表示為：新問題的邊界條件可表示為：xyba內邊界內邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）問題問題12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2co

15、s2qr2sin2qrba問題問題2將外邊界條件（將外邊界條件（a）分解為兩部分：）分解為兩部分：ZSRock Mass Mechanics問題問題12qrba 問題問題1的解：的解：內邊界內邊界0arr0arr外邊界外邊界2qbrr0brr（b） 該問題為軸對稱問題，其解為該問題為軸對稱問題，其解為2112222qbarar2112222qbara0r 當當 ba 時，有時，有2122qrar2122qra0r（d）ZSRock Mass Mechanics 問題問題2的解：的解：rrba問題問題2（非軸對稱問題）（非軸對稱問題）內邊界內邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrr2s

16、in2qbrr（c）2sin2qr2cos2qr 由邊界條件（由邊界條件（c），可假設：），可假設： 為為 r 的某一函數乘的某一函數乘以以 ； 為為r 的某一函數乘以的某一函數乘以 。 r2cosr2sin 又由極坐標下的應力分量表達式：又由極坐標下的應力分量表達式：22211rrrrrrr1 可假設應力函數為：可假設應力函數為：2cos)(rf 將其代入相容方程：將其代入相容方程：011222222rrrrZSRock Mass Mechanics02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdf

17、rdrrfdrdrrfdrdrrfd 與前面類似，與前面類似，令：令：)ln(rtert或有有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 該方程的特征方程：該方程的特征方程：01644234特征根為：特征根為：, 41, 22, 0324方程的解為：方程的解為：tttDeCBeAetf224)(2241)(rDCBrArrf2cos)(rf2cos1224rDCBrArZSRock Mass Mechanics2cos1224rDCBrArrrba問題問題22sin2qr2cos2qr 相應的應力分量：相應的應力分量：22211rrrr2cos)642(42

18、rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 對上述應力分量應用邊界條件（對上述應力分量應用邊界條件（c）, 有有內邊界內邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrrsin2qarr（c） （e）ZSRock Mass Mechanics264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解求解A、B、C、D，然后令，然后令 a / b = 0，得，得rrba問題問題22sin2qr2cos2qr, 0A,4qB,2qaC 44qaD代入應力分量式（代入應力分量式（e）, 有有

19、2cos31244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）ZSRock Mass Mechanics將將問題問題1和和問題問題2的解相加的解相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （4-17）討論：討論： （1） 沿孔邊，沿孔邊，r = a，環(huán)向正應力：，環(huán)向正應力：)2cos21 ( q （4-18）3q2qq0q906045300（2） 沿沿 y 軸，軸， =90，環(huán)向正應力：，環(huán)向正應

20、力：)23211 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar),(rAb 齊爾西（齊爾西（G. Kirsch）解）解ZSRock Mass Mechanics（3） 沿沿 x 軸，軸， =0，環(huán)向正應力：，環(huán)向正應力：) 123(22222raraq, ar ; q,3ar 0（4） 若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應力若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2ZSRock Mass Mechanics（4） 若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應力若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1

21、xyq1q1xyq2q2疊加后的應力：疊加后的應力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr （4-19）（5） 任意形狀薄板（或長柱）受面力任意形狀薄板（或長柱）受面力 作用，在距邊界較遠處有一小孔。作用，在距邊界較遠處有一小孔。只要知道無孔的應力，就可計算孔邊的應力，如：只要知道無孔的應力，就可計算孔邊的應力，如：ZSRock Mass Mechanics（5） 任意形狀薄板（或長柱）受面力任意形狀薄板（或長柱）受面力 作用，在距邊界較遠處有一小孔。

22、作用，在距邊界較遠處有一小孔。只要知道無孔的應力，就可計算孔邊的應力，如：只要知道無孔的應力，就可計算孔邊的應力，如：qqqqqqqq 45ZSRock Mass Mechanics應力集中是在機械制造、航空航天、造船和建筑等工程應用領域中最常見的問題，指構件中應力分布不均在局部增高的現象。開有圓孔或切口的板條受拉時，在圓孔或切口附近的局部區(qū)域，應力將急劇增加，但在離開圓孔或切口稍遠處，應力就迅速降低而趨于均勻。這種因桿件外形突然變化，而引起局部應力急劇增大的現象稱為應力集中。各種材料對應力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下，可以不考慮應力集中的影響。（塑性材料有屈服階段，

23、當局部應力達到屈服極限時，該處材料可繼續(xù)增長，而應力卻不增加。如果外力繼續(xù)增加，增加的力就有截面上尚未達到屈服極限的材料來承擔，使截面上其他點的應力相繼達到屈服極限。應力不均勻程度大大降低，也限制了最大應力值）ZSRock Mass Mechanics脆性材料沒有屈服階段，一直領先，首先達到強度極限，產生斷裂。所以要考慮應力集中對零件承載能力的削弱。但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時，不論塑性材料還是脆性材料，應力集中對零件都會產生嚴重的影響。（以上內容來自材料力學）ZSRock Mass Mechanics高人的見解：應力集中是指的在某一個區(qū)域內應力梯度較大，如果網格稀疏的話，就不會捕捉到梯

24、度變化較大的應力。有應力集中未必會是應力奇異。比如二維平面單元中間開有園孔，另一端受拉伸集度載荷，這樣園孔處有兩部分會發(fā)生應力集中。但是應力并不是無窮，即不存在應力奇異。但是應力奇異的地方一定存在應力集中。應力奇異是modelling過程造成的。我們知道實際問題中，奇異點處的應力不可能是無窮的。ZSRock Mass Mechanics應力奇異可以來自與很多因素，比如荷載，邊界條件，邊界的光滑性，材料系數的光滑性，等等。 奇異點的存在導致有限元解的收斂速度很慢，尤其對于均勻劃分的網格。有興趣的可以試一下L形的平面問題，檢查一下均勻劃分網格情況下應變能的變化。使用局部細化或hp方法的原因是因為這

25、兩種方法能使有限元解較快的收斂。但是注意應力奇異點是不能夠消除的。你的模型固定了，你的奇異點也固定了，通過計算是消除不掉的，計算是一個用估計解逼近一個真實解（精確解），精確解本身帶有奇異點，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應力奇異點的做法是錯誤的。如果想消除應力奇異點，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元，在某一節(jié)點處加集中力，那么此處就是一個奇異點。要消除它的話，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長度很小的線上，奇異點就沒有了。ZSRock Mass Mechanics奇異點的定義就是在某一個點處導數無窮。舉一個L形區(qū)域的平面問題，某一個邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載，我們會發(fā)現無論荷載多么小，角點處的應力都是無窮。這就是幾何形狀引起的奇異點。現在問題來了，一方面我們知道角點處的應力無窮，另一方面我們知道對于很小的荷載，角點處的應力不可能是無窮的。問題出在什么地方呢？ZSRock Mass Mechanics首先數學模型都是