固體物理學(xué)_電子在磁場和電場中的運(yùn)動之晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動

1、05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動第五章 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 問題的提出問題的提出晶體中的電子在外場的作用下晶體中的電子在外場的作用下 電場、磁場電場、磁場 摻入雜質(zhì)勢場等摻入雜質(zhì)勢場等 外場與晶體的勢場相比弱許多外場與晶體的勢場相比弱許多 用電子在晶體周期性勢場中的本征態(tài)為基礎(chǔ)分析用電子在晶體周期性勢場中的本征態(tài)為基礎(chǔ)分析 如何描述電子的運(yùn)動如何描述電子的運(yùn)動 ？01/3805_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動方法一方法一 求解在外加勢場求解在外加勢場 U 時電子的薛定諤方程時電子的薛定諤方程22( )2VUEm r 討論均勻電磁場中晶體中電磁

2、輸運(yùn)問題討論均勻電磁場中晶體中電磁輸運(yùn)問題方法二方法二 滿足一定條件下滿足一定條件下 將電子的運(yùn)動近似當(dāng)作經(jīng)典粒子的運(yùn)動來處理將電子的運(yùn)動近似當(dāng)作經(jīng)典粒子的運(yùn)動來處理05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動05_01 準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 1 波包和電子速度波包和電子速度 量子力學(xué)中對任意有量子力學(xué)中對任意有經(jīng)典類比的力學(xué)系統(tǒng)經(jīng)典類比的力學(xué)系統(tǒng) 如果對一個態(tài)的經(jīng)典描述近似成立如果對一個態(tài)的經(jīng)典描述近似成立 用一個用一個波包來描述這個態(tài)波包來描述這個態(tài) 粒子的粒子的坐標(biāo)和動量坐標(biāo)和動量滿足量子力學(xué)滿足量子力學(xué)測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動

3、動量取值為動量取值為 附近的附近的 范圍內(nèi)范圍內(nèi)0kk粒子在空間分布在粒子在空間分布在 附近的附近的 范圍內(nèi)范圍內(nèi)r0r波包中心波包中心 粒子中心粒子中心0r中心的動量中心的動量 粒子的動量粒子的動量0k粒子的波包構(gòu)成粒子的波包構(gòu)成05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 波包的波函數(shù)波包的波函數(shù) 晶體中波包由布洛赫波組成晶體中波包由布洛赫波組成()( , )( )iEtkkteu k rkrr以量子態(tài)以量子態(tài) 為中心的波包為中心的波包0k0 kkk0( )( )kkuurr將能量將能量 按泰勒級數(shù)展開按泰勒級數(shù)展開()Ek00kkEEE kkkk 很小很小勢場周期性函數(shù)近似表示

4、勢場周期性函數(shù)近似表示令令05/3805_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動22xyzkkkk的取值范圍的取值范圍 波包函數(shù)波包函數(shù)000222()222( , )( )iEtxyztdkdkdk eu kkkk rkkrr00()()()EEE kkkkk 小量小量()( , )( )iEtkteu k rkkrr05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動0000222()()222( , )( )kkiEtiEtxyztuedkdkdk e k rkrkkrr000222()()222( , )( )iEtxyzr tdkdkdk eu kk rkkkkr0( )

5、( )uukkrr05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 電子的概率密度分布函數(shù)電子的概率密度分布函數(shù)002/2/2/22()2/2/2/2( , )( )iEtxyztudkdkdk e kkk rkrr0000()111xxkyzyzkkEEiti kxtkEEi kyti kztkkkkkr05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動000111xkykzkEuxtkEvytkEwztk0000()111xyzxyzkkkEitEEEi kxti kyti kztkkkkkk r 令令05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動02/2/2/222/2

6、/2/2( , )( )yxzik vik uik wxyztuedkedkdk ekrr000111,xyzkkkEEEuxt vyt wztkkk 其中其中0222226sin/ 2sin/ 2sin/ 2( , )( )/ 2/ 2/ 2uvwtuuvwkrr10/3805_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動的曲線的曲線sin/2/2uuu2u 波包的限度波包的限度0222226sin/ 2sin/ 2sin/ 2( , )( )/ 2/ 2/ 2uvwtuuvwkrr05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動0226( , )( )tukrr000000111

7、xkykzkEuxtkEvytkEwztk 0222226sin/2sin/2sin/2( , )( )/2/2/2kuvwtuuvwrr0uvw000000111xkykzkExtkEytkEztk05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動001()Et kkr000000111xkykzkExtkEytkEztk 粒子中心位置粒子中心位置05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動粒子的速度粒子的速度001()kEkkv22xyzkkk2a001()Et kkrk很小很小粒子的中心粒子的中心第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動

8、2a 波包遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原胞波包遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原胞 在這一個限度里才能將電子看做是準(zhǔn)經(jīng)典粒子在這一個限度里才能將電子看做是準(zhǔn)經(jīng)典粒子2u 波包的限度波包的限度ua15/3805_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 一維緊束縛模型一維緊束縛模型電子的速度電子的速度001()Ekkkv01( )2cosiEJJkak12sinkJ avkadkdEvk1電子的能量電子的能量05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動12sinkJ avka0dkdE220d Edkak2aJvk12 電子的速度最大電子的速度最大 能帶底和能帶頂能帶底和能帶頂,0ka0kv 電子的速度電子的速度05_0

9、1_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 一維緊束縛模型一維緊束縛模型0dkdE 速度為零速度為零022dkEd 速度最大速度最大電子的速度電子的速度ak2,0ka12sinkJ avka05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動外場力外場力 對電子做功對電子做功FkdEdEk1EEkkkkvvdEdkkvdAdtkF v電子能量的增量電子能量的增量2 在外力作用下狀態(tài)的變化和準(zhǔn)動量在外力作用下狀態(tài)的變化和準(zhǔn)動量 05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動kdEdkv0kddtkFv根據(jù)功能原理根據(jù)功能原理kkdtdF vkvk具有動量的性質(zhì)具有動量的性質(zhì) 準(zhǔn)動量

10、準(zhǔn)動量()kdkv20/3805_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動3 加速度和有效質(zhì)量加速度和有效質(zhì)量 0kddtkFv電子狀態(tài)變化基本公式電子狀態(tài)變化基本公式()ddtkF1kkEv 1 Evkk電子的速度電子的速度電子的速度分量電子的速度分量Fdtkd)(1, 2, 305_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 1 Evkk 1 Edvddtdtkk電子的速度分量電子的速度分量電子的加速度分量電子的加速度分量1, 2, 3 1dkEdvdtdtkkk1, 2, 305_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 1dkEdvdtdtkkk加速度分量加速度分

11、量Fdtkd)( 221dvFE kdtkk1, 2, 305_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動加速加速度分度分量的量的矩陣矩陣表示表示 221dvFEdtkkk22222222222221xxxyxzxyyyxyyzzzzxzyzEEEdvkkkkkdtFdvEEEFdtkkkkkFdvEEEdtkkkkk 05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動加速加速度分度分量的量的矩陣矩陣表示表示與牛頓定律與牛頓定律 比較比較1ddtmvF電子的倒有效質(zhì)量電子的倒有效質(zhì)量22222222222221xxxyxzxyyyxyyzzzzxzyzEEEdvkkkkkdtFdvE

12、EEFdtkkkkkFdvEEEdtkkkkk 25/3805_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 電子的倒有效質(zhì)量電子的倒有效質(zhì)量22222222222221zyzxzzyyxyzxyxxkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkE kx, ky, kz 選在張量主軸方向選在張量主軸方向22222220000001zyxkEkEkE05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動22*2*222*21000011000010000 xxyyzzEkmEmkEmk 電子的倒有效質(zhì)量電子的倒有效質(zhì)量05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 電子的有效質(zhì)量張量

13、電子的有效質(zhì)量張量222*2*22*222000000000000 xxyyzzEkmEmkmEk05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動*100100100 xxxyyyzzzdvmdtFdvFdtmFdvdtm*xxxyyyzzzdvmFdtdvmFdtdvmFdt 加速度分量的矩陣表示加速度分量的矩陣表示05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動有效張量有效張量 是一個張量是一個張量 一般不相等一般不相等*,zyxmmm 加速度和外力方向可以不同加速度和外力方向可以不同*xxxyyyzzzdvmFdtdvmFdtdvmFdt*xxxyxyxzzdvFdtmFdv

14、dtmdvFdtm30/3805_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 有效質(zhì)量的特點(diǎn)有效質(zhì)量的特點(diǎn) 緊束縛近似下，簡單立方格子緊束縛近似下，簡單立方格子s能帶的有效質(zhì)量能帶的有效質(zhì)量)coscos(cos2)(10akakakJJkEzyxis20,0,Ekk 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證zyxkkk,在張量主軸方向上在張量主軸方向上05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 012(coscoscos)sixyzEJJk ak ak ak22*222122*222122*22212cos2cos2cosxxxyyyzzzEmka Jk aEmka Jk aEmka Jk a 波

15、矢的函數(shù)波矢的函數(shù) 電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動*221*221*2212cos2cos2cosxxyzzzma Jk ama Jk ama Jk a能帶底部能帶底部(0,0,0)k1000100012000000122*Jammmzyx 電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動有效質(zhì)量有效質(zhì)量*221*221*2212cos2cos2cosxxyzzzma Jk ama Jk ama Jk a電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量*2*21*0010000010200001xyzmma Jm 能帶頂部能帶頂

16、部(,)aaa k05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動有效質(zhì)量有效質(zhì)量*221*221*2212cos2cos2cosxxyzzzma Jk ama Jk ama Jk a電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量*2*21*0010000010200001xyzmma Jm布里淵區(qū)側(cè)面中心布里淵區(qū)側(cè)面中心X點(diǎn)點(diǎn), 0, 0ak35/3805_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 一個能帶底部附近一個能帶底部附近 電子的有效質(zhì)量總是正的電子的有效質(zhì)量總是正的 一個能帶頂部附近一個能帶頂部附近 電子的有效質(zhì)量總是負(fù)的電子的有效質(zhì)量總是負(fù)的 一個能帶的頂部有一個質(zhì)量為負(fù)的電子一個能

17、帶的頂部有一個質(zhì)量為負(fù)的電子布里淵區(qū)側(cè)面中心布里淵區(qū)側(cè)面中心, 0, 0ak能帶底部能帶底部0, 0, 0k2*12xyzmmmaJ2*12xyzmmmaJ,aaak能帶頂部能帶頂部2*12xyzmmmaJ 05_01_準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動 電子通過與晶格作用交換動量電子通過與晶格作用交換動量 有效質(zhì)量為什么為負(fù)有效質(zhì)量為什么為負(fù) ?m*m 0*m晶體中電子運(yùn)動同時受外力和晶體周期性勢場力的作用晶體中電子運(yùn)動同時受外力和晶體周期性勢場力的作用將周期性勢場的作用歸并到電子的質(zhì)量中將周期性勢場的作用歸并到電子的質(zhì)量中10J 1222*Jam 電子從晶格獲得的動量大于付給晶格的動量電