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文檔簡(jiǎn)介
1、高等復(fù)合材料力學(xué)Advanced Mechanics of Composite Materials陳玉麗陳玉麗 航空科學(xué)與工程學(xué)院航空科學(xué)與工程學(xué)院6.1 6.1 引言引言在考察實(shí)際復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時(shí),由于熱在考察實(shí)際復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時(shí),由于熱載荷和機(jī)械載荷都是施加在宏觀結(jié)構(gòu)層面,所以研究采用的細(xì)觀力學(xué)模載荷和機(jī)械載荷都是施加在宏觀結(jié)構(gòu)層面,所以研究采用的細(xì)觀力學(xué)模型必須能夠把細(xì)觀響應(yīng)和宏觀行為聯(lián)系起來。型必須能夠把細(xì)觀響應(yīng)和宏觀行為聯(lián)系起來。單胞模型通過在非均勻結(jié)構(gòu)中提取出一個(gè)代表性體積單元單胞模型通過在非均勻結(jié)構(gòu)中提取出一個(gè)代表性體積單元(RVE
2、)從而從而可以求得有效的材料響應(yīng)和演化過程。這里假設(shè)微結(jié)構(gòu)是周期性重復(fù)排可以求得有效的材料響應(yīng)和演化過程。這里假設(shè)微結(jié)構(gòu)是周期性重復(fù)排列的單胞,與復(fù)合材料的宏觀尺寸相比,它的不均勻性是很小的,此種列的單胞,與復(fù)合材料的宏觀尺寸相比,它的不均勻性是很小的,此種類型的材料被稱作具有周期性微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料類型的材料被稱作具有周期性微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料(第三章(第三章 ) 。但是,。但是,單胞法還是存在許多不足。周期性假設(shè)用于預(yù)測(cè)最優(yōu)材料性能非常有效,單胞法還是存在許多不足。周期性假設(shè)用于預(yù)測(cè)最優(yōu)材料性能非常有效,然而然而實(shí)際的非均勻材料很少具有完全的周期性微結(jié)構(gòu),宏觀結(jié)構(gòu)上不同實(shí)際的非均勻材料很少具
3、有完全的周期性微結(jié)構(gòu),宏觀結(jié)構(gòu)上不同的點(diǎn)可能具有不同的微結(jié)構(gòu)形態(tài)。的點(diǎn)可能具有不同的微結(jié)構(gòu)形態(tài)。這種假設(shè)在處理這種假設(shè)在處理復(fù)雜載荷條件復(fù)雜載荷條件下非線下非線性非均勻結(jié)構(gòu)變形問題時(shí)也存在不足。為了解決上述問題,單胞模型應(yīng)性非均勻結(jié)構(gòu)變形問題時(shí)也存在不足。為了解決上述問題,單胞模型應(yīng)該包含大的區(qū)域,采用大的模型。該包含大的區(qū)域,采用大的模型。26.1 6.1 引言引言20世紀(jì)世紀(jì)70年代,學(xué)者們?cè)谘芯糠蔷鶆虿牧蠒r(shí)引入了一種替代的數(shù)學(xué)年代,學(xué)者們?cè)谘芯糠蔷鶆虿牧蠒r(shí)引入了一種替代的數(shù)學(xué)方法,方法,Benssousan和和Sanchez-Palencia等稱之為等稱之為均勻化理論均勻化理論。這種方法
4、用。這種方法用于分析具有于分析具有兩個(gè)或者多個(gè)尺度兩個(gè)或者多個(gè)尺度的物質(zhì)系統(tǒng),它可以把含有第二相空間的的物質(zhì)系統(tǒng),它可以把含有第二相空間的細(xì)觀尺度和整體結(jié)構(gòu)上的宏觀尺度聯(lián)系起來。細(xì)觀尺度和整體結(jié)構(gòu)上的宏觀尺度聯(lián)系起來。通過對(duì)位移和應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行通過對(duì)位移和應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行漸進(jìn)展開漸進(jìn)展開以及適當(dāng)?shù)淖兎衷?,均勻化方以及適當(dāng)?shù)淖兎衷?,均勻化方法不僅可以求出等效的(均勻化)材料常數(shù),而且可以得到兩個(gè)尺度上法不僅可以求出等效的(均勻化)材料常數(shù),而且可以得到兩個(gè)尺度上的應(yīng)力和應(yīng)變分布。相對(duì)于單胞法,這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于的應(yīng)力和應(yīng)變分布。相對(duì)于單胞法,這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于不必作全局的不必作全局的周期性假設(shè)周期性假
5、設(shè),在宏觀結(jié)構(gòu)的不同點(diǎn)可以有不同的微結(jié)構(gòu)。然而,這種分,在宏觀結(jié)構(gòu)的不同點(diǎn)可以有不同的微結(jié)構(gòu)。然而,這種分析通過引入空間重復(fù)排列單胞作了析通過引入空間重復(fù)排列單胞作了局部周期性假設(shè)局部周期性假設(shè)。Toledano和和Murakami,Guedes和和Kikuchi以及以及Devries等成功地把有限等成功地把有限元方法和均勻化方法結(jié)合起來用于分析復(fù)合材料的線彈性問題。在這些元方法和均勻化方法結(jié)合起來用于分析復(fù)合材料的線彈性問題。在這些研究當(dāng)中,通過計(jì)算機(jī)模擬宏觀結(jié)構(gòu)的平均應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)得到了全局的研究當(dāng)中,通過計(jì)算機(jī)模擬宏觀結(jié)構(gòu)的平均應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)得到了全局的響應(yīng),同時(shí)借助局部應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)的描述得
6、到了微結(jié)構(gòu)的行為。響應(yīng),同時(shí)借助局部應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)的描述得到了微結(jié)構(gòu)的行為。36.2 6.2 多尺度模型多尺度模型4一具有周期性結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料彈性體一具有周期性結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料彈性體 ,受體力,受體力f,邊界,邊界 t 上受表面力上受表面力t,邊界,邊界 u 上給定位移邊界條件。上給定位移邊界條件。宏觀某點(diǎn)宏觀某點(diǎn) x 處的細(xì)處的細(xì)觀結(jié)構(gòu)可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復(fù)堆積而成。觀結(jié)構(gòu)可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復(fù)堆積而成。單胞的單胞的尺度尺度 y 相對(duì)于宏觀幾何尺度為小量。相對(duì)于宏觀幾何尺度為小量。xftu y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型50432104321xy=x/01
7、宏觀尺度:宏觀尺度: 微觀尺度:微觀尺度: 例如:例如:宏觀尺度為宏觀尺度為 m,微觀尺度為微觀尺度為 nm, = 10-9實(shí)際為實(shí)際為 1m 的尺寸,即的尺寸,即 x=1 (m), 在微觀尺度下在微觀尺度下 y=x/= 109 (nm)實(shí)際為實(shí)際為1nm的尺寸,即的尺寸,即 y=1 (nm),在宏觀尺度下,在宏觀尺度下 x=y= 10-9 (m)y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型6對(duì)于非均勻的復(fù)合材料,當(dāng)宏觀結(jié)構(gòu)受外部作用時(shí),位移對(duì)于非均勻的復(fù)合材料,當(dāng)宏觀結(jié)構(gòu)受外部作用時(shí),位移和應(yīng)力等結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時(shí)由于細(xì)和應(yīng)力等結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時(shí)由于細(xì)觀
8、結(jié)構(gòu)的高度非均勻性,使得這些結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量在宏觀位置觀結(jié)構(gòu)的高度非均勻性,使得這些結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量在宏觀位置 x 非非常小的鄰域常小的鄰域 內(nèi)也會(huì)有很大變化。因此所有變量都假設(shè)依賴于內(nèi)也會(huì)有很大變化。因此所有變量都假設(shè)依賴于宏觀與細(xì)觀兩種尺度,即:宏觀與細(xì)觀兩種尺度,即: , xx yy = x上標(biāo)上標(biāo) 表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。, x yx y+YY-周期性:微觀單胞的周期為周期性:微觀單胞的周期為Y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型7在在 中,彈性張量中,彈性張量 和柔度張量和柔度張量 分別為分別為 假設(shè)應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)都滿足平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程,有假設(shè)應(yīng)力場(chǎng)和
9、位移場(chǎng)都滿足平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程,有 其中其中 是細(xì)觀坐標(biāo)系是細(xì)觀坐標(biāo)系 y 中的具有中的具有 Y-周期的位移場(chǎng)。周期的位移場(chǎng)。同時(shí),在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足同時(shí),在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足 ijklEijklS( )( , )inijklijklEExx y( )( , )inijklijklSSxx y,inij jif 1in2klkllkuuexxinijijklklE e( , )uu x yonijjitntoniiuuu均勻化方法均勻化方法83 3)以傅里葉變換為基礎(chǔ)的多尺度方法)以傅里葉變換為基礎(chǔ)的多尺度方法2 2)泰勒)泰勒級(jí)數(shù)近似法(級(jí)數(shù)近似法(T
10、aylor Series Approximation)1 1)漸進(jìn)展開漸進(jìn)展開法法(Asymptotic expansion)6.3 6.3 漸進(jìn)展開法漸進(jìn)展開法9在均勻化理論中,在均勻化理論中, Y-周期位移場(chǎng)可以近似為宏觀坐標(biāo)周期位移場(chǎng)可以近似為宏觀坐標(biāo) x 的展開式,的展開式,漸進(jìn)展開漸進(jìn)展開是其中比較常用的一種展開方法中,其展開形式為:是其中比較常用的一種展開方法中,其展開形式為: 0122( , )( , )( , ),xuxux yu x yux yy1,iiixxy xx y注意到任意一個(gè)依賴于兩個(gè)尺度的函數(shù)注意到任意一個(gè)依賴于兩個(gè)尺度的函數(shù) 對(duì)宏觀坐標(biāo)對(duì)宏觀坐標(biāo) x 的偏微分為
11、的偏微分為0000111122223321011 1221,klklklklkllklklklkklklklkllklklklkklkluuuuuuuuexxyyxxyyuuuuuuuuxxyyxxyyeex yx122,klkleeyx yx y應(yīng)變張量應(yīng)變張量Asymptotic expansion6.3 6.3 漸進(jìn)展開法漸進(jìn)展開法10代入本構(gòu)方程,可得應(yīng)力場(chǎng)的漸進(jìn)展開式:代入本構(gòu)方程,可得應(yīng)力場(chǎng)的漸進(jìn)展開式:其中其中101221,klklklklkleeeee x yx yx yx y將應(yīng)力的漸進(jìn)展開式代入平衡方程,有將應(yīng)力的漸進(jìn)展開式代入平衡方程,有101221,klklklklkl
12、 x yx yx yx y,1,0,1,2nnijijklklE en x y110011222,111,110jjjjjjjjijijijijijijijijixyxyfxyxyx yx yx yx yx yx yx yx y6.3 6.3 漸進(jìn)展開法漸進(jìn)展開法11令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零,得到一系列控制方程:的系數(shù)為零,得到一系列控制方程:121010101211,:0,:0,:0,:0,:0,1,2,3jjjjjjjjjijijijijijiijijnnijijnOyOxyOfxyOxyOnxyx yx yx yx yx yx yx yx yx y(1 1)(2
13、2)(3 3)6.3 6.3 漸進(jìn)展開法漸進(jìn)展開法12根據(jù)根據(jù)Y-周期性,可以證明(周期性,可以證明(Devries et al. 1989)00kijkljluEyy可以得到可以得到00( )uux10ij(2)式00ijjy010kkijkljlluuEyxy(1)式 00klkijijluxy ( )0klijjyy ( )klpklklijijpmpmmETyy其中其中01( )klkiiluuxy1()2klijikjliljkT 細(xì)觀平衡方程細(xì)觀本構(gòu)方程110010(1)0(2)0(3)jjjjjijijijijijiyxyfxy6.3 6.3 漸進(jìn)展開法漸進(jìn)展開法13在在Y 內(nèi)積
14、分,有內(nèi)積分,有 00klkijijluxy00kijijklluExH 1klklijklijijYEdYYHy均勻化彈性常數(shù)(3)式00inijijfx110010(1)0(2)0(3)jjjjjijijijijijiyxyfxy均勻化的宏觀平衡方程00in,on,onijkiijijkljlijjitiiuufExxntuu H0令令宏觀彈性問題的解6.3 6.3 漸進(jìn)展開法漸進(jìn)展開法14xy=x/宏觀宏觀 微觀微觀尺尺 度度z=x/2對(duì)位移漸進(jìn)展開對(duì)位移漸進(jìn)展開0122uuuu代入平衡方程代入平衡方程,0ij jif得到控制方程得到控制方程不同階系數(shù)為零得到均勻化方程得到均勻化方程利用
15、周期邊條化簡(jiǎn)控制方程動(dòng)態(tài)問題怎么辦?動(dòng)態(tài)問題怎么辦?6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(1 1)15彈性動(dòng)力學(xué)問題彈性動(dòng)力學(xué)問題:,0iij ju012 2, , , , ,iiiituuuttutx yx yx yx y1( , , )( , , )niiix y tx y t 0( , , )( , , )niiiu x y tu x y t參考文獻(xiàn):Fish, J. and Chen, W. (2001). Higher-Order Homogenization of Initial/ Boundary-Value Problem. J. Eng. Mech., 127(
16、12), 12231230. 1;,xxyuuu;xeuEexy=x/6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(1 1)16令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零,得到一系列控制方程:的系數(shù)為零,得到一系列控制方程: 20,10,0,1,1,1,2,:0:0:00,1,2,3,yyyxyyxyiii xiyixiyxyOEuOEuEuEuOuE uuE uuin10,1,0,1,2,3,yii xiyEuE uuin不同階的應(yīng)力為不同階的應(yīng)力為:6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(1 1)1720,:0yyOEu00,uUx tdy0,0yyEu0u200,
17、0,0d0yyuEuE uy00,0,0,dd0yyyyuEuyuEuy00,0yu6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(1 1)1820,:0yyOEu00,uUx t10,0,1,:0yxyyxyOEuEuEu 110,xuUx tL y U00,1xyUEL0,1,0 xyyE Uu 110, ,xux y tUx tL y U 線性問題通解:線性問題通解: 代入原式得:代入原式得:,10yyEL00,1xyUEL110000yyyyuu110000yyyyuu 11( , , )( , )( )0u x y tU x tL y如何求解如何求解 L(y) ?提示:提示:1.
18、 周期性(周期性(Periodicity):):2. 連續(xù)性(連續(xù)性(Continuity):):3. 正交性(正交性(Normalization):):請(qǐng)求出請(qǐng)求出L(y)(分段表達(dá)),進(jìn)而求出(分段表達(dá)),進(jìn)而求出,1yEL6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(1 1)1920,:0yyOEu00,uUx t10,0,1,:0yxyyxyOEuEuEu 110,xuUx tL y U00,1xyUEL12,1211HyE EEELEE00,1,1,2,:0ixyxyxyOuE uuE uu121H 00,0HHxxUE U均勻化后的材料性質(zhì)與靜態(tài)問題是一致的。因此,均勻化后的
19、材料性質(zhì)與靜態(tài)問題是一致的。因此,0階問題是無色散階問題是無色散的。為了反映波的色散效應(yīng)(的。為了反映波的色散效應(yīng)(dispersion effect),必須考慮更高階的項(xiàng)。),必須考慮更高階的項(xiàng)。請(qǐng)證明請(qǐng)證明6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(1 1)20:O2:O222112222121121HdHEEEEEE11,0HHxxUE U 其中,其中,Ed 表征了非均勻?qū)暧^行為的影響。表征了非均勻?qū)暧^行為的影響。 Ed具有如下特性:具有如下特性: 1)正比于單元尺寸的平方;)正比于單元尺寸的平方; 2)均勻材料()均勻材料(=0 或或 =1) Ed =0。 右端力項(xiàng)正比于宏
20、觀應(yīng)變梯度,梯度越小,右端項(xiàng)越小。右端力項(xiàng)正比于宏觀應(yīng)變梯度,梯度越小,右端項(xiàng)越小。22,0,HHxxdxxxxUE UE U6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(1 1)213:O4:O2241122121244121,3601HgHEEEEf E EEE 其中,其中,Eg表征了微觀結(jié)構(gòu)對(duì)宏觀行為的影響。表征了微觀結(jié)構(gòu)對(duì)宏觀行為的影響。 Eg具有如下特性:具有如下特性: 1)強(qiáng)依賴于單元尺寸;)強(qiáng)依賴于單元尺寸; 2)均勻材料()均勻材料(=0 或或 =1) Eg =0。 如果材料的非均勻尺度很小,則色散效應(yīng)可以忽略。如果材料的非均勻尺度很小,則色散效應(yīng)可以忽略。 若若 ,界面
21、沒有反射,則波不發(fā)生色散。,界面沒有反射,則波不發(fā)生色散。(物理角度)(物理角度)44,2,0,HHxxdxxxxgxxxxxxUE UE UE U33,1,HHxxdxxxxUE UE U1122EE6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(2 2)2201空間尺度 0432104321xy=x/宏觀尺度:宏觀尺度: 微觀尺度:微觀尺度: 時(shí)間尺度 0432104321=2t = t慢尺度:慢尺度: 快尺度:快尺度: 彈性動(dòng)力學(xué)問題彈性動(dòng)力學(xué)問題:,0iij ju6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(2 2)23彈性動(dòng)力學(xué)問題彈性動(dòng)力學(xué)問題:,0iij ju012 2
22、, , , , , , , , ,iiiiuuuu x yx yx yx y1( , , , )( , , , )niiix yx y 0( , , , )( , , , )niiiu x yu x y 參考文獻(xiàn):Fish, J. et. al. (2002). Non-local dispersive model for wave propagation in heterogeneous media: one-dimensional case. Int. J. Numer. Meth. Engng, 54, 331346. 1;,2;,xxytuuuuuu;xeuEexy=x/6.4 6.4
23、 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(2 2)24令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零,得到一系列控制方程:的系數(shù)為零,得到一系列控制方程:20,10,1,00,0,1,1,2,11,1,2,2,3,22,0,2,3,3,4,:0:0:0:0:20yyxyyxyxyxyxyxyxyxyxyxyOEuOE uuOuE uuE uuOuE uuE uuOuuE uuE uu6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(含時(shí)間的漸進(jìn)展開(2 2)2520,:0yyOEu10,1,:0 xyyOE uu12,1211HyE EEELEE00,0,1,1,2,:0 xyxyxyOuE uuE uu121
24、H 0,0,0HHxxUE U1:O2:O1,1,0HHxxUE U2,2,0,0,212HHxxdxxxxHUE UE Uu222112222121121HdHEEEEEE高等復(fù)合材料力學(xué)Advanced Mechanics of Composite Materials高等復(fù)合材料力學(xué)Advanced Mechanics of Composite Materials第一章第一章 緒論緒論+張量基礎(chǔ)張量基礎(chǔ) 復(fù)合材料力學(xué)的三個(gè)重要特征、各向異性本構(gòu) 張量的基本概念、愛因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,張量方程 張量代數(shù),商法則 常用特殊張量,主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分、高斯公式(散度定理)高等復(fù)合材料力學(xué)Advanced Mechanics of Composite Materials第二章第二章 復(fù)合材料的有效性質(zhì)和均質(zhì)化方法復(fù)合材料的有效性質(zhì)和均質(zhì)化方法 尺度和代表單元(RV
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